А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(3) о<о<о Здесь М» М, не зависят от Н, т, п. й«ы будем пользоваться более простым условием устойчивости по начальным данным: «д„«,» < «д„,«пп ..., «У,«~» < «до«О> (М, = 1), (б) где Я вЂ” оператор перехода со слоя на слой. Схема (2) устойчива в Но, если справедлива оценка «д о1))о < «У/о (10) Из оЦенки «д„„,«о = !!Од.«о < «О«„«д„(!о слеДУет, что а также условием р-устойчивости: !!д «О, < р«д„,!!О, «р"«у„!!„» р > О. (7) Очевидно, что схема устойчива в смысле определения (4), если р = е', где с, = сонат не зависит от и, т, Ж. В этом случае р" = е'о'"(е" = Лт,прн 0<1„< Т, с,>0 или р" <1 прн с,<0. В пространстве Н введем скалярное проиаведение (.) и норму «х!! = У(з, л), Пусть Р = Р* > 0 — самосопряжепный положительный оператор.
В качестве нормы .«У«О1 выберем энергетическую норму «у«с» =«у!!.= У(Рд,у). (8) В частности, Р = А, Р = В плн Р В (при В = В" > 0). Из (2) следует, что у„„бд„, В=Ив (9) 202 Гл. т. 3АЛАчА кОши неравенство (10) эквивалентно условию 1ЯПь ( 1. (11) Это условие, в свою очередь, зквивалс~тно условию ==-(у'1о — <~Бу$й = ту, у) — (Вду, Ву) )О для всех у е= Н (12) Таким образом, (10), (11) и (12) эквивалентны, т. е. выполнение любого нз них влечет за собой выполнение двух других, 2 Необхо ~имое и достаточное ус говне устойчивости Основная теорема.
Теорема 1. Если А =А* — салосопряженный положительный оператор и существует оператор В ', то ))ля устойчивости схемы (2) в Нэ: 1у -~ 1(~ь К ~~у 1А (13) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство (Ву,у) — —,(Ау,у) ) 0 для всех уен Н, или В= — А. (14) Д о к а э а т е л ь с т в о. Достаточно убедиться в эквивалентности (14) и неравенства т'., ) О, где вэ = (е!у, у) — (АЯу, Яу) = = (Ау, у) — (Ау — тАВ 'Ау, у — тВ 'Ау) = = 2 (АВ 'Ау, у) — '(АВ 'Ау, В 'Ау). Обозначив В 'А у = х, А у = Вх, получим ч'А =- 2т ((Вх, х) — — (Ах, х)) ~ )О для всех х ~ Н, (15) т.
е. неравенства (14), (15) и, следовательно, (13), (14) эквивалентны. Это значит, что пз (14) следует ('11), (12) при В = А и (13) (условие (14) достаточно для устойчивости). Если же схема устойчива, т. е. выполнено (13) илп йЯл < 1, то У„~ 0 п, следовательно, В ~ тА/2 (необходимость условия (14)). Э а меч анне. Условие (14) мегино пояснить на примере разностной схемы Ь '"+' " +ау =О, п=0,1,2,..., а~О, Ь>0 п 1 тстончивость двтхслоинон схимы 203 с числовыми козффицнентамн а, Ь.
Эта схема соответствует задаче Коши Ьи'(П+ ли(1) =О, 1) О, и(0) = и,. Из формулы у ь, = (1 — та/Ь)у„видно, что схема устойчива, т. е. (у..„! < (у ( «... (уп(, если (1 — та/Ь( < 1, — 1 < 1 — та/Ь < 1, т. е, Ь~ та/2, Аналогия с операторным неравенством В ~ тА/2 очевидна. 3. Примеры применения основной теоремы. П р яме р 1.
Явная схема: В = — Е. А =Аз ) О. Из ггеравенства Коши — Буняковского (Ах, х) < ПАхП ПхП < ((АП ПхПг следует А < 1(АПЕ, нли Е ) — А. ПА! (16) 1 1 Рассмотрим теперь разность  — —, тА =- Š— —, тА 2 2 / )~ —. А — —, тА = ~ —, — — 2 /А, Так как А ) О, то -- (~ лП 2 = (, 12П 1 т условие  — —, тА ) 0 будет вылолпено при —. — —,) ((Л~ 2- )О, т. е.прп т < 2/ПАП. (17) Это необходимое и достаточное ус:ювие устойчивости яв- ной схемы в /Хз(Пу„П, < Пу„П,), П р н и е р 2. Схема (9) нз $3 с весамн, 1 Для нее В= В+ отА н  — —,тА = Е+ (о 2 А=Аз>0 — + (о — —,) т) А ) ~О, если 1 19 '(о — — ) т((А((» )О. 1 1 (18) +Ау„=О, и=-0,1,2, ..., (19) В=- Е + отА.
Применяя оператор А ' к обеим частям уравнения (19), Отсюда видно, что схема с весами устойчива в П, при любых т ) 0 (безусловно устойчива), если о ~1/2, иусловно устойчива при т < 1/((1/2 — о)ПА(О, если а < 1/2. П р н и е р 3. Устойчивость в Н (прн В = Е) схемы с весами (9) пз $3: (Е+ отА) ' "+' тч. ч. задАчА кОши получаем В "+' " +Ау„=О, п=0,1,2,..., (20) В=А '+отЕ, А=Е.
Эта схема устойчива в силу теоремы 1 в ХХ- = ХХ(А 1 - ! / =А=Е>0) при  — —,тА=А +(о — — ~ тЕ'э )( —,+(о — —,)т) ЕЪО, т. е. при выполнении И8) 1 (А1 (при этом мы учли оценку А-!)~ — Е, которая сле1А1 дует из И6)). Таким образом, из И8) следует, что длн И9) верна оценка ИО) при Р =Л, т. е. 1!у„1 ( 1у,!8 (21) Схему И9) !южно зашзсать в виде у,+! = Юу„Я = (Е+ отА) ')(Š— И вЂ” о)тА), А = А*) 0 (22) Поэтому для нее при условии И8) верна оценка (21), что означает () (Е + о сА)-' (Ь' — (1 — о) тА) ) <= 1, если 1+~о — ~ ) т)А(ЪО (23) Эта оценка понадобится в дальнейшем. 4. Устойчивость в ХХв. Теорема 2. Если А=Аз)0, В=Вв)0, то длн устойчивости схемы (2) в Нв'.
!~у +!1в ~ (!у 1~ (24) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие И4). Дока за т ель от во. Схему (2) аапишем в виде (9) и покажем, что условие (Щ ~ 1 (25) эквивалентно неравенству И4) т, е. Из И4) следует (25) н, обратно, из (25) следует Ий!3. з» устойчивость дВухслОйнОй схемы Пусть у — произвольный вектор из В; представим его в виде М у=Хай„ где ($») — собственные векторы задачи: А»ь» = Л»В»и», Л» ) О, 1 , й=т, сс,т=1,2,...,1)с. (26) (В$», $т) = Ь»м = О, сс~т, ВЯ4,— Учитывая, что Я$„= $„— тВ-'А $„= (1 — тЛ»Ц», = (1 — тЛ»)В$», найдем я М (В„, у) = ~ч", а, (Ау, у) = ~ч~ Л,„„, »=1»=1 (27) (ВЯу, Яу) = ~~~~~ а7 (1 — тЛ»)»(1$)а ~ а»~ = 15/)вв (Ву,у), 4=1 »=1 где '1' ,Я )в = гаа х (1 — тЛ»)». (28) 1»:»ен Перавенство (25) эквивалентно условию тЛ»~2, у=1, 2, ..., М, (29) которое, в свою очередь, эквивалентно неравенству (14), так как (Ву,у) — — „(Ау,у) =,д, а» ~1 — — ! »=ч Тем самым эквивалентность (24) к (14) доказана.
5. р-устойчивость. Т е о р е и а 3. Если А = А* ) О, В = Вв > О, то необходимым и достаточным условием р-устойчивости схемы (2) с любым р~ О: "у. 1е~р1у 1», 0=А, В, (30) являются операторные неравенства (31) гл. 7 злдлчл кОши Доказательство. Неравенства (31) эквивалентны условиям (см. гл. 1, з 4, и. 4): где Лг — собственные числа задачи (26). Допустим, что 0 = В и верны (31) нли (32). Из (32) следует — р - тЛ, — 1 - р, !1 — тЛ,! < р, и в силу (22) !!Я!!„< р (так как !!Я!!в — наименьшая постоянная, для которой верно неравенство (Вду, Яу) < «М(Ву, у)), т.
е справедлива оценка (30) (достаточность). Если верна оценка (30), то !1--тЛ,! < р п, следовательно, выполнены (32) н (31) (необходимость). Аналогично доказывается теорема и прн В = А, если учесть, что (Аду, Яу) = ~'„агЛг(1 — тЛг)г( игах (1 — тЛг)г(Ау,у). г —— .ч 1сйль Из (30) следует !!у. !, < р"!!у,!!.. Возникает вопрос, прп каких условиях имеет место априорная оценка (30) с р < 1? Ответ па вега дает следующая теорема. Те о р е м а 4. Вусть выполнены условия А =Ав) О, В=В*)0, тВ<А «'(гВ, Т, )О. (33) Тогда для решения задачи (2) верна оценка !!у„,1!!о «р!!у„1в, р = 1 — туе В =А, В, (34) если тчч Ъ тг (35) тг Для доказательства надо вычислить норму !!Я!в =- =-)!Я!!л — — гаах )1 — тЛг! прн условии, что (, < Лг « '(г, глглл 0 «т, = Л, < Л, «...
Лв = тг. Рассмотрим разность грг = (1 — тЛ,)' — (1 — тЛг)' = 2т(Лг — Л,) ~1 — — (Лг+Л,)). т т Отсюда видно, что срг 0 прп 1 — 2 (Лг+ Лг) Ъ1 — ~ Х и (у .+ у,) в1 г (у, ! у ) — О, т, е. гпах (1 — тЛг! = = 1 — ту„если т «т,, Теорема доказана. а ь гстончивость двгхслойнон схвмы 2о7 6. Устойчивость по правой части.
Метод энергетических неравенств. 1'ассмотрим задачу (3) и перепишем се в виде у,; =Яу„+тВ '~р„, п=0,1, ..., 5 Ь вЂ” тВ 'А, У,=О. (36) Воспользуемся неравенством треугольника )~у.+1()в «1БУ.))о+ т)!В-'ф.))в:= ~~Я)в~~у.~)а+ т))В 'ф.)~о. (37) Если выполнены условия теоремы 2, то В = В*) О, Р = =В и Ы)о )Я!), -1 при В> —,А !!В 'ср ° !!в=- = (В (В цт )~В ср~) = (В ~п сри)= )! ц~и)!д и и из (37) следует )!у, ))в<)!у ))в+т)! р )!,-ь Суммируя по п О, 1, 2...
и учитывая, что уо = О, получим 11 — г !У.()в = Х т))Чь)),-1. (38) а=-э Эта априорная оценка выражает устойчивость схемы (1) по правой части прн том же условии (14). Можно получить и другие оценки. Для этого воспользуемся весьма общим методом энергетических неравенств. 1 гам э| Подставим у = —.(у„+у +,) — —, ' в (1): ) уп<-1 Гп  — 2 А ! + ~ А (Уи ~, + Ун) = Чл Умнея<им это уравнение скалярно на 2(у„а, — у„) и учтем, что (А(у, + у ), у„,~ — у„) = (Ау„ао у,е,) + +(Ау„, у„+,)+(Ау ео у„) — (Ау„, у„) =(Ау а„у„е,)— — (Ау„, у„), так как (Ау, у„т,) = (Ау.аь у„) в силу самосопряжснности А. В результате получим «энергетическое тождество э "~(--') -"-- "-У-~-"в,»= =- (Ауьоу ) + 2(~р„, у„„— у„).
(36) Отсюда видно, что при ~р, = О и В) —.А верна оценка (13). гл. т, зхдхчл коши 208 Воли выполнено неравенство г) ) Е+ ~ А е > О, (41) то из (40) следует (с заменой п на й) Ьо+, Ь а= (! Ро !!л + — 2о !! Р >'.
Суммируя по й = О, 1, 2, ..., п — 1, получаем оценку о — о !!Ро(!'~<!!Уо(л+ — 2о 2'.тН РО!!', ' о=о (42) которая выражает устойчивость схемы (1) по правой части и по начальным данным в Н„. П р и и е р. Схема с весами (1): В = Е + отА. Для нее условие (41) означает, что (1 — е) Е+ ~о — 2) тАЪО, Ф~ В частности, оценка (42) верна при е-1 и а Э-1/2. 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
