А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В самом деле, невязка дчя схемы (11) равна ии ип-1 $~ = ~~1 ЬА1 (И~~-А, и~~ А)— ь.=о ГЛ, 1'. ЗАДАЧА БОШИ соответствует значенпям гя = 1, Ь, = Ь, = 1/2 и имеет второй порядок аппроксимации: >(>„= 0(т'). Для определения у„ надо решать (пря кажном и) нелинейное уравнение у. — '/ т1(/., у,) = Р„-„где Р„-1 у.->+ >/>т1(1„-„у.-,). Рассмотрим теперь двухшагоаые схемы Адамса, соответствующие п1 =2, Явная авухша>овая (т =2) схема имеет внд аи у»-1 3 т 21" 1 21" (17) т=2 Ь=О Ь = — ' Ь о > 1 2> 1 2' Ояа имеет второй порядок аппрокспмацпн; 3 $ в '»-1 Фч = 2 1(>»-1, иа-1) — 2 1(> -и н -1) — = = 0(т-), 11сследуем устойчивость соответствующей модельной схемы ав Гв — 1, /3 т гл'(2у 1 — 2у,11=0, (18) Подставляя сюда у„ = >)", получим >) — 111 — 2 )А1 у — —, )1 = О, р =- Лт.
(19) а Так как 0 = 1 — Р, + — )1') 0 пРи любых Р, то коРни до , действительны п различны. Устойчивость означает, что >),( ~1 и )у>~ ~1. Воспользуемся следующим свойством, которое проверяется непосредственно: корни квадратного уравнения д'+ Ьд+ с = 0 не превосходят по модулю единицу: (дь ( ~ 1, если (Ь( ( 1+ с, с:= 1. (20) Для уравнения (19) имеем Ь = З)А/2 — 1, с = -)1/2, и условие (З)1/2 — 1~ ~ 1 — )1/2 выполнено при )1 ~ 1, или тЛ ( 1, т. е.
схема (18) условно устоичива (шаг т должен быть в 2 раза меньше допустимого шага в схеме Эйлера). Напшпем двухшаговую (и=2) неявную схему Адамса. Требуя, чтобы квадратурная формула (10) былаточной для полнномов степени О, 1, 2, т. е. г"(1) =1(г, иП)) $ а многошАГОВыв схемы. методы АдАмсА 132 -(1, 1, 11), находим коэффициенты Ь,= 5/12, Ь, =8/12, Ь, -1/12.
Схема имеет вид Уе Уе-1 1 2 (5/е + 8/е-1 — /в-е). (21) Исследуем устойчивость модельной задачи '+ 12(бу +8у — у.— ) =0 (-2) Полагая у.-д, получим характеристическое уравнение 5 8 ад'+ Ьу+ с = О, а = 1+ — тЛ1 Ь = — тЛ вЂ” 1, 12 1 с = — — тЛ. 12 Условия (20), при которых )уье! ~ 1, принимают вид !Ь! ~а+с, с~ а. Отсюда следует, что схема (22) устойчива при тЛ ~ 6. 4. Задача Коша длв уравнения второго порядка.
Рассмотрим задачу Коши: "—;, =/(1, и(1)), 1)0, и(0) = и„ а11 (23) Е1 —" (0) = и . Наиболее распространенными яв чяются методы Шгермера; Уеь1 Уе Уе-1 1-=-1 т.МО, и = 1,2, ..., (24) У вЂ” У уе.— — иы у1= и или — 11 = и, т Значение й, (или й1) выбирается так, чтобы погрешность 1 аппроксимации т = — (и (т) — и (Ои — и (0) — и,имела оп- ределенный порядок, например, т 0(т"), где р — порядок аппроксимации схемы (24). Например, при р = 2 находим и(т) = и(0) + ти(0' +-,т'и(0) + 0(те), 1 т = и + т и(0) — й1 + 0(тз) = т /(О, и(0)) + + 0(т') — и1+ и1 = 0 (т'), гл.
х, злдхча ЙОши если положить й, = и, +'/утт»(О, и,), и, = и;+ тй,. Для получения ревностной схемы (24) вычислим интеграл 1»+1 уи УЮ-1 и»исуу == ~ и»на(1+ ) и"оиу=- 1у 1уу =- (и'уу — ио') (,„", + (и'1у — и1у') ~,,",, -! ~ и1у"М, (25) 1»-1 гзе о(1) — кусочно-линейная функция (1 — 4 1)'т пРн 1,, 1»»1»1„, у()) =- (т».11 — т)у'т при )„» ~Г ~ (Г„„т.
(26) Подставим (26) в (25) н учтем, что и" П) = О: 1»+1 и"1У йу= — (и„т — 2и„+ и»у у 1). (27) У»-1 Умножая затем уравнение (23) на 1у(1) и учитывая (27), получим тождество У»».1 = — 1 )Р (()) ( й). (28) 1» — 1 Погрешность аппроксимация схемы (24) па решении и = иУ»1), или невязка зля схемы (24), определяется формулой а„у — »уу».т ч» — 1 1)ч, = ~, Ь1)'(Гуу ж и, 1)— А= — 1 т которая в силу тождества (28) может быть записана в Если Ь, О, то схема (24) — явпан, так как в правую часть входят только известные значения у„у„„... ..., у„. Если Ь 1 О, то схема (24) — неявная н для онределепия у»+, надо решать уравнение У»у Ь-у)(т ууу У +у) = г(У» У -у ° У вЂ” ( ). з а многошлтовые схемы. Методы АдАмсл язв виде т 1е+1 вм — — ~ бл/(Г„л, и„л) — — ~ /(1, м(Г)) и(1) 1)1 (29) Л=- — 1 1 е — 1 Вводя новую переменную е= (1 — Г )/т, заппшем интеграл в более удобном виде: 1е 1.1 1 — г' (Г) п (Г) 1/1 .= ) /т (~„ + ет) и (е) еЬ, 1„ -1 (1+ е, е(0, у = /(~, ( )), '(.) = (, Из (29) видно, что первое слагаемое есть квадратурная формула для интеграла от функции Р(Г) Г(в, и(1)) с весом а(г) ге О.
Погрешность аппроксимации схемы полностью определяется погрешностью квадратурпой формулы. Построепаые на основе етого методы называют также лветодави Адамса — Штермера. Самая простая 'формула прямоугольника дает схему Уеь1 Ее + Ее — 1 /( те 1„+1 — п(Г) е11= С так как 1а — 1 Для молельной задачи —.,1+ ) и = О, Г) О, Ев и (0) =- О, „-" (О) =.. и, Ыв имеем ЕЕ+1 УЕ Ь Уа1 — 1 ~ * г -- йу„= О.
11 Подставляя сюда у„= д", находим у' — 2(( — т')1/2)д+ 1 =0; /)<О при )т'(4, т(2/У).; прп атом ~Ч,! - ~д,) и схема устойчива прп условии т ~ 2/У). или тУ) <'2. 5. Системы уравнений. Многие методы переносятся без изменения на задачу Коши для системы уравнений — „, =- /(О и)„/~О, и(0) =- и„ (30) гл, ч, задача коши где и= (и'(х), и'(х), ..., и'(Й) — искомый, /= ((', ~', ...
..., Я вЂ” заданный векторы. Запишем (30) поконконентно: — о. =(~(х, и), ()О, и'(О) =по, (=1,2,.,„Х (31) Ы %~ — =-,д ип (х) хУ, Ю 3 — -! где ае — значение производной д1'/ди' в некоторой сред- ней точке (х, и;), й~= (о', и', ..., о' ', и'+ О, х', и'~', ..., и') (О ( 0~ ~ 1, 1 = 1, 2, ..., Х). Поэтому линейной моделью системы нелинейных уравнений (30 является линейная система и й + Х Опп) = Г' (0 )=х или, в векторной форме, о'в ях — + Ли == / (х), А = (ли). (32) (33) Для устойчивости этого уравнения по начальным данным достаточно, чтобы матрица А была неотрицательной.
В следующем параграфе будут найдены необхозимые и достаточные условия устойчивости схем для систем пикейных уравнений (33). На практике часто встречаются системы уравнений, которые называются жесткими и решение которых обычными методами представляет большие трудности. Пусть (),,) — собственные числа матрицы А (есл~ Л вЂ” несимметричная, то )., могут быть комплекспымп). Систему уравнений (33) называют жесткой, если ВеЦ>0 (й = 1, 2,, Ж) и если отношение $= шах Венк/пнпВе Хх велико.
х а Коли матрица А симметрична, то все собственные числа вещественны и жесткость системы (33) означает, что матрица А положительна и что система (33) плохо обусловлена, т. е. юах ).„ Пусть и, о — дв» решения задачи (30) с начальнымидан- ными и(0) = ие о(0) = о,. Для их разности х = и — о по- лучивх систему линейных уравнений $ 3. МНОГОШАГОВЫЕ СХЕМЫ. МЕТОДЫ АДАМСА 199 Жесткими, в частности, являются уравнения, получающиеся при сведении уравнений с частными производными к системе обьпшовеняых дифференциальных уравнений путем разностной аппроксимации оператора, содержащего производные по пространственным переменным (например, оператора Лапласа в случае уравнения теплопроводностн). Явные метоцы оказались непрнгодпымк для численного решения жестких систем, так как они приводят к большим ограничениям па 1паг кз-за требований устойчивости в ущерб требованиям точности.
11оясиим зто на примере системы двух уравнений ПП 011 ГП, 92, (34) аз)0, а,)0, а2>)а1, Решение этой системы есть вектор и(1) = (и1(1), из(8)), и1 (Ю) = и1 (0) е ', из (1) =- из (0) е его компоненты убыва1от с ростом 1, причем 1и2(1)~ 'и ~ !и,(1)1 при постаточпо большом й Возьмем явную схему ,П+1 2 ПЕ1 П У1 У1, п,2 У2 У2 П +ау,=О, +ау,=-О, и=0,1,...,у,"=у1(1„), 1.=1,2.
(35) Система распадается па цва уравнения, каткдое из которых можно решать отдельно, ознако онв связаны выбором общего шага т. Схема устойчива, если одновременно выполняются два условия а,т ~ 2 н а2т < 2. Так как а, >> а„ то оба условия выполнены, если т ( 2!а2. Допустимый шаг т определяется фактически той компонентой и2('1) решения, которая быстрее уб11вает. Для решения системы (34) пригодна неявная схема П2-1 и П21 У1 У1 п21 У2 У2 ь п21 + а,у, ' = О, †, 'а,у, = О, которая устойчива прп любых т и а2 Р-О, а2 > О. В последнее время появился ряд новых неявных схем, алгоритмов цля пих н программ, пригодаых пля решения ГЛ.
Ч. ЗАДАЧА КОШИ жестких систем линейных н нелинейных дифференциальных уравнений. 6. Общие замечания. 1. При выборе того или иного численного метода учитывается много обстоятельств, таких, как объем вычислений, требуемый объем оператнвпон памяти ЭВМ, порядок точности, устойчивость по отношению к ошибкам округления и лр. Мы рассматривали всюду методы с постояным шагом т = ( ~, — ( .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
