А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Прнведем пример схемы, ьозффпцненты которой вычпсляются путем питегргтроваппя по интервалам сетки: х1ъ1З грг =. — „~ / (х) Ых =- ~ 1(г1 -'; зЬ) с)з, т — 1,. г -1'г дт х1 11 111 111 = — „) 11(х) агх =- ~ г, (х,,'- зб) 1)з. -1! г Очевидно, что условня (3), (4) выполнены. вбй гл гт. Рхзностные хштоды для кгхввых згдяч 2. Погрешность аппроксимации. Рассмотрим консервативную схему второго порядка аппроксимации. Пусть и = и(х) — точное решение задачи Е.и = ()ги')' — д(х)и = — )(х), 0 < х (1, и(0) =- ро и(1) = рм (6) з у, = у(х;) — решение разностнои краевой задачи (5).
!'ассмотрпм погрешность схемы, т. е, сеточную функцию г(х) у(х) — и(х), х ~п вм Подставляя у(х) = г(х) + и(х) в уравнение (5) и предполагая, что и(х) — заданная функция, получим для погрешности г(х) задачу Лг =- (аг-),— Нг = — ф(х), хек юю г(0) = О, г(1) =-О, а)с, > О, И)~0, (6') где ф (х) = Ли + ср (х) = (аи„-)„— гКи + ср — невязка схемы (5) на решении и= и(х) исходной дифференциальной задачи. Учитывая, что 1.и + ) = О, напишем ф =- (Ли + ~р) — (Х и + )) = (Ли — Ьи) + (~р — )) =- =- [(аи-„) — (йи')'1 — (д — д) и + (ср — (). По предполон ению, схема (5) удовлетворяет условиям второго порядка аппрокснмацип, ,"-)то значит, что ф = = 0(Ь'), если й ш С"', у, ~ я С'~', и ш С'", и, следовательно, 1')'Р = 0(п') Прп зпгх предполоя'енпях схема имеет второй порядок точности. Однако зтот ьке порядок точности сохраняется п прп более слабых требованиях гладкости: й(х), у(х), )( ) С'г', и С"*.
(7) Лемма. Если выло.тены условия (7), то справедлива форгвула = (йи'); + О ()Р), (8) где и= и(х) — реи~еяие уравнения (6), (зб в 3 консевватывнгге Разно('тггые схем11 Доказательство, Воспользуемся формулой Тейлора: 1 ~ гг", и цз —— . г'; ~ — йг; .). — „, г,"+ —,з г; (х, * %), Р 0(0~~1, — (гчю, — гч.гм) = — ц;+ 0(Ьт). Подставляя сюда и = йц и учитывая, что 1йи ) = (дц — 1)', Огггг)'" = (ди — 1)", получаем формулу (8).
В силу леммы погрешность аппроксимации г) можно предстзвпть в виде г) = г)ю + 4'~г,т) = (аи;),.— (Лц');,,~м 4'г = 0(й') прн условиях (7). Учитывая далее, что о; = Л;,, -)- 0()гг) прп й(з) енС'", ц. — ц ц -- ' ' ' = (и');,. -'0(йг) при цен Смг, х,г л получаем гр = 0(гг'). В самом деле, и, =- и;,, + — г,ли; г 2 + г, вггггг! г ч -'; О (йг), 1 1 г Ф ц и., йц., ь !гзц' г О ()гз) Ф и-, = и;,, — , '0 (!гг), йд гпгг-,, (Л ... —; 0(Ч)) (ц;,.
+ 0(Угг)) = (Ли')г, -'- 0()ге), г); =- 0(У). Ппже будет получона апрпорная оценка (з)1, непосредственно через г) и Ч*. 3, Априорные оценки. Перейдем к оценке погреьппостп г через гг. Прежде всего напомним оценку, полученную в $5 гл. 1 с помощью метода прогонки: я-г откуда следует ,';з',,'с ~ з —.) гг,'!с 'г яче гл, тч. Рлзностныз ывтоды для кглевых 34дач Покажем, что дчя решения задачи (аз-„)„— аз = — р„хан ооо, з(0) = з(т) =- О, а) с,) О„д)0 справедлива оценка фз)с< '((,(р!), 1 где ебозпачено (у, и! = 2„'доо;)к Представим х в виде суммы з = ш+ о, где ко и ив решения задач (аос„-)„м — р„, хенов, и (0) = ш($) =. 0; Ла = (аь-) оЬ = — йи, ха <со, о(0) = и(() = О, Фуннциоо в мы найдем в явном виде, а для оценил о воспользуемся принципом максимума.
Из уравнения (аы-„+ )о)„= О, (аи„-),.+, + рт+, = (аю-), + р„ следует, что аоа, -+ р сопзФ = с,. Проведем очевидные преобразовании: о 1 (о — р;) а чо а ого ро ю = ш -т т — ' = со,~ —,хо — й + и, а 4ао а ~йо о о. о „, о Ж М чкт Ь 'Ю ра 0 = йл =- с,~„— — ~„- Ь. о а ~ о о=-т о о=ч о=т о Вводя обозначение 0<со,;<1„ найдем и ~~ "ро и1= а;,~ —— а о, о оо $3. нонсвгватнвньте Разностный схемы Отсюда следует )'рь, Ьрь ~.,~-! — с —.,)2 —.-у., 2 —,!< ь 1 ь а=-чт~ 1 У » «(1 —. оц) ~ — + сс; "!рь|, т "(рь! т "(Ра! а=т а ь=.~ет ь ь-т Датее остается учесть, что а, ~ с, > О, и мв~ получаем (и('с~-,'„'> Р!р.(=- (1,(р!!.
(10) те т 1 Для оценки и воспользуемся теоремой 4 нз 1 5 гл. П 1с~), '-ь !~ ю~),. (11) Объединяя неравенства (10) н (11), имеем !!з!!с=!!ю+с!с«-2!! '!!с< —,' (1, (р(1, т. е. доказана оценка (9). Обратимся теперь к задаче (б'), где ~р = ц. + ~у*. Цредставим ф в Миде Ф = Рх где р1 = т)1 + Х Ки~ (12) а=т и воспользуемся оценкой (9). Тогда для рещенпя задачи (6') получим следующие априорпвге оценкй: 2 ~ Я )1-1 Ы.-;)(1,!ц!)+ХЬ ХЧ., 1( а=1 ь=г 0 (13) $з!!с-.аР((1, И!]+(1, !Ф*!И.
Остается показать, что имеет место Формула ((2). В са- 1 — 1 мом деле, обозначая р~ = ~ Ьфь, видцм, что р,~1 — р",= а=1 =Ьф', т. е. ф1" = р,; н ф = 1), + р,. =- р„, где р; = т); + рь 4. Оходнмость и точность рязностнай схемы. Перей- дем к оцщгке точности разностной схемы. Прелнолдгвя, что Ь(х), д(т), )(х) ~я С"', и(х) ~С"', получаем 1)(х) =0(Ь'), ~у*=- О~В').
Теперь остается вос- 166 гл, /т. Рлзностные метОды для НРАевых зздАч пользоваться априорной оценкой (13), которую можно заменить и более грубой оценкой ~! с 1с ( — (1 О.,'с + ~~ Ф'" (с) г, Отсюда следует, что схема (5) равномерно сходится со вторым порядком, т. е. 1г1а = зу — и1, ~ 11Ь', если выполнены условия (7), Более трудным является доказательство сходпмостп схемы в классе разрывных коэффициентов Ь(х), д(х), 1(х). Для простоты будем рассматривать случаи, когда /г(х) имеет разрыв первого рода в одной точке, а о(х) и /(х) непрерывны и принадлежат классу С'".
Обозначим через 0'м(а, Ь) множество кусочно-непрерывных функций, заданных на отрезке (а, Ь) и имеющих па (а, Ь) Ь кусочно-непрерывных производных. Итак, пусть Ь(х) ю ()'", д(х), 1(х) ю СОЯ и Ь(х) имеет разрыв первого рода в точке $ па отрезке (х„, х„е,), так что $ х„+ ОЬ, 0 ~ 0 ( 1. Прн х = ь выполнены условия сопряжеппя и = и„, (Ьи') = (Ьи )„= и„ где и„. = п($+ О), и = и($ — О). Тогда т),=0(Ь') при /4=и+ 1, ф~ = 0(Ь') прп всех = 1, 2, ..., Л' — 1, ц,т, = а...脄— (Ьи'),е:, Подставляя сюда и„,, =- и $) + (1 — О) Ьи + 0 (Ьз), и„= — и ($) — ОЬи '- 0 (Ьз), ию„= (и„, — и„)/Ь.= Ои + (1 — О) и~+ 0(Ь) —-- (ьи') (Ььл)е А = 8 — + (1 — 0) — -,'-0(Ь) .= Ь =-.,~ —,, + —,, )+О Ь), /6 1 — 6~ (Ьи'),е,~, = (Ьи') + 0(Ь) =- ю„+ 0(Ь) при О) Ьм (Ьи )„е,/, = (Ьи )е + 0 (Ь) =.
и „+ 0 (Ь) при О ( Чм получаем /6, 4 — 01 О.-т — — и„~аа+,(„— + — / ~ — 1~+ 0(Ь), 11, одногоднык схвмы н1 нквлвноиквных сктклх 100 т, е. О, 0(1) для любой схемы, и только для схемы с коэффициентом х а, =- имеем О„+, —— 0(К). В самом деле, ххх1 1 1 Ых, 1 Г Их О, 1 — 0 — — т — ) —.
= — т —. т 0 (11)1 = 113 Ь(х) Ь ) 0()=Э Л 'х х1 хх 10, 1-01 т. е. а,ч1( —, — ':) =- 1+ 0(й) и, следовательно, 1)..11- =- 0(~1). В правую часть неравенства (13) входит величина (. 1))() = Х Ь1О,~ Ь1„„„(. 1-1, 1и-х-И Тем самым доказана следующяя теорема. Т е о р е ъ1 а. В классе разрывных коэффициентов Ус(х) ~ 0п1, о(х), )(х) се С"' любая однородная раэностная схема (б) второго порядка аппроксимации имеет первый х порядок точности, а схема с коэффициентом а,= а1 имеет второй порядок точности, 5 4.
Однородные схемы на неравномерных сетках 1. Консервативная схема на неравномерной сетке. Выберем на отрезке О ( х - 1 произвольную неравномерную сетку 1О1=(Х„(=О, 1, ... Ж, Х,=О, Хх =1). Дяя получения трехточечной консервативной схемы на неравномерной сетке напишем уравке1ьие баланса на отрезке (х1-111, хн.„,1: х,11,1 х -'1!1 и11з1,1 — иц п1 — 1 цидх == — ~ )(х) ах, и' =" ),и'. х1-1/1 х1-112 Око пнщется одинаково как для равкоиориои, так и 1[л11 1зо гл. тт, влзностныв зтвтошл для кэлквых злдлч неравномерной сеткн. Остается аппрокспм~ровать входя- щне в уравненне баланса пптегралы и производные: и.
— е. и 1.-1 и~;-пт.= ()ги й, а; —, !н = х; — х; „- а, «т«ьв «~ н.'т днах ° с),и,й„ «$-1/т + )нет) 1(х) дх ~у,йо «1-ъ'2 2 ( у,— гч ~ л; —,т — гч с;,~ — у; «л ь,, л, «~ я затптшем разпостную схему в впде (ау-)„— Иу = — ~р, х = х, ен сгл, у, = рп ум =-- рх (1) Полагая с =у — и., полу пгм для з уравпенпе (а~-„).-„— И~ = — ф, х ен ~л, з, — — зя = О, (2) где ~р = Ли + <р .= (аи-) — Ии + <р (3) есть невязка для схемы (1) на решешш и=и(х).
Лемма 1, Если да~С'"', /етСи', то для погрешности аплролсшнауии р сжраведтива фарнука р= )с+Ф*. (4) где т);=-(ли„-),. — (Уи'); пт — Я((ри — У);/8, ф" =- 0 (А,') лРи <Р< )е И~ = т)ъ где 4 и ~1, — некоторые сеточные функшш, В результате получаем разностнуто схему тыт гч Уг ' У'-~ 11 — ать, — а, — — аъу, == — р, л„, л; 1=1,2,...,)У вЂ” '1, у,=р„у., =)лз (1) Для д; н ~р, воспользуемся простейшими формулами ~у, 1ъ Н; д„)=1, 2, ..., )т* — 1. Кеэффнцпент а, опреде- ляется значЕниями й(х) на пптервеле (х~-и х;), поэтому его моткно взять таяли же, как и на равномерной сетке; так что аю = Л -тм+ О(67) прп )с(х) ез С"'.
2. Погрешность аппроксимация. Введен обозначеппя 6 К ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ НА ПЕРАВНОМЕРНЪ|Х СЕТКАХ |6$ Воспользуемся тождеством пз и. 1, записав его в виде хеь1Н 0 = и|;1 — — ) (Л!и — /) дх, 1 и|; = (Ли')! нче х; Вычтем это тождество из равенства (3): хИ.1|З 1| = ((аи-)! — (Ли')! 1|,~ — (!Ли)1.+ |р + — ~ (уи — /) !(х. | (5) х!+!73 х! — / (х) !)х =-.
— ' ~ [7! + (х — х;) /';~ !(х+ О (ЬЗ) + х; |М х; ьз Х|-!|М + ~ ~71 + (х — х,) /,'1 )х + О (Ь|„) ~ -= х! =- /;+,— ', ()11„— Ь',) /; + О (Ь";), так как Ь,'+ Ь',,((221)з. Замена Ь!+17; = Ь';.1/,',1-(- + О (Ь!Р1) дает х!Р|М вЂ” ~ 7(х) ) =-/;+И');!+О(Ь). х! 1'З Подставляя это выражение с / = !)и — ! в (5), приходим к формуле (4). Для оценки |р по порядку рассмотрим разность (аи-)1 — (Ли')...прп условин Л !и С"', и !и С"'. Пользуясь предположением а; = Л; нх + О (Ь9 п формулами и| =- = и| и, + Ь!и; 1!1/2+ Яй1,,/8 + О (11~!), и; ! .-=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
