А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Задача Понти: Еи= — „.„+Хи ((Т), (~О, и(О) и. Разностнал схема Эйлера имеет вид Р1 уа 5ТУ= ', +Ьу,=-~~, уэ ™ у((а), Тп = лт~сзт, ".= (),1, ° ° Уе = из П р и м е р 2. Первая краевая задача: Х,и = и" — ((х), 0 < х < 1, и(О) ио и(1) = р,. (6) Воспользуемся трехточечным разностным оператором (2): йзуз = у-„„, = (у;,, — 2у;+ у;-1)Я' и получим разностную краевую задачу на сетке вз = (х, = (Ь, О«)<У, хн 1): йьу, = у-„„,. = — )о (= 1, 2, „)У вЂ” 1, уз=)г1 ул=рз (б) 3. Устойчивость. Пам удобпо персйтп к залнсп разнестной схемы (5) в операторной Форме. Для этого сначала запишем уравнения (5) з матричной Форме Луз = Ф„, (7) где У; — искомый конечномерный вектор размерности Л', равной числу узлов сетки, в ноторых неизвестны значения сеточной функции у, (для первой краевой аадачн (О') размерность Уз равна )т' — 1 — числу внутренних узлов сетки). Значения у,(х,) в узлах х, ы ю, являются компонентами вектора Уз, ф~(х;) — компоненты вектора Фн А — квадратная матрица размера,Т ХХ Введем )У-мерное пространство Н, сеточных функций, и пусть Л, — линейный ецератор, соответствуюп(ий 442 Гл.
Тч. РАзиостные методы для кРАевых 3АЛАч матрице А: А»: Н,- Н,. Вместо (7) можнонаписать А»У» = »Р», Ц» ш Нь (8) Пусть ~е~ ))(»л) и $ (~(лл) — некоторые нормы в пространстве Нл. Будем говорить, что разностная схема (8) устойчиво, если существует такая постоянная М>0, не зависящая от Ь и от выбора»р„что для решения ул уравнения (8) имеет место оцепьа ((ул(,',,„0(М) ~Рл(((лл) прп всех достаточно малых Ь: (Ь( ~ Ь,. Разностпая схема (8) называется корректной (корректно поставленной), если решение уравнения (8) существует и единственно при любых входных данных ~Р»ш Н« и если разпостная схема устойчива, т.
е. выполнено неравенство (9). Устойчивость схемы означает непрерывную зависимость решения ул от входных даняых, причем зта непрерывная зависимость равномерна по Ь. Коли у» — решение уравнения Л»у« —— «йч то Л„ф — у,) =-«Рл — «Рл в силу линейности А»', тогда нз (9) следует 3(ул у» л(!») «~ й! л«РА йл»(2л) (10) Малому иаменепию входных данных соответствует мачое изменение решения. Бсти схема (8) разрешима, то существует обратный оператор 4» и ул = Ал '»Рл, / ул~(»л) ~~)) Ал '((1»Р»/((лл)«(11) где «Ал '1 = ~( Ал ' 1(»л,л) — норма оператора Ал '.
Устойчивость означает равномерную по Ь ограниченность обратного оператора ~ Л~,'~'в-'ЛХ. (12) Схема неустойчива, если не существует такой постоянной М, не зависящей от Ь„которая превосходила бы ~ А-„»'~, )Ал'(), т. е. 1(А~,'); неограниченно возрастает при )Ь) - О. Может оказаться, что вместо краевого условия первого рода и )л прн х и Г задано условие !и р,(х), х»и Г, (13) $1. Основпыв цонятпя ТЕОРии Рлзпостпых схем 143 где 1 — некоторый линейный дифференциальный оператор, например, 1и = и' — щг, о>О плп (и = и' прп х= О пли х= 1), Тогда вместо задачи (3), (4) имеем задачу Еп = )(х), х ги б; 1и = )г(х), х гн Г. (14) Соответствующая разностная схема будет иметь зид Еьуг=грг прн хжегл, 1»уг=рг крн хе7м (15) где (г — линейный разностпый оператор, аппроксимирующий оператор й 51ожет оказаться, кроме того, что гу», и дв надо оценивать в разных нормах 'гуь~),т»„~))г»,0)гз»О Схема (15) устойчива, если для ее решения уг сираведлива оценка !!У» )(11) .
~1!г Й»(гь) + йзгг)г»»1(зг)~ (16) У;, — 2У1+ УЫ Укк1 = з а грг» г = 1, 2,..., »1» — 1, ул =- О, »гД» =- 1. (17) у,=о, Следуя 4 4 гл. 1, определим оператор Аь Пусть ггг — пространство сеточных функцкй, заланных во внутренннк узлах 0=1, 2, ..., Л' — 1) сетки. Возьмем ужНг (нпдеке Й у у„(х) пока опускаем) к функцию у, совпадающую с у во внутренних узлах и равную нулю на грае ° нице: уг = ук = О. Тогда оператор Аг определим прк помощи тождества о (А» у) .=- — у-,„н г =- 1, 2,, Л' — 1, и получим вместо (17) операторное уравнение Агу„гр»„ (13) где М, > О, М, > Π— постоянные, не завпсящпе от Ь и от выбора входных данных гуг н рм Следует отметиттч что разностная схема (15) также МОЛ1Ет бЫтЬ Занкоаиа В ОвсратарВОМ ВндЕ А,уг »У„Однако прн етом 'г !!(1„) в (9) п (16) могут не созналась, так же как и сами правые части (зто ясно уже для первой краевой задачи).
4. Пример устойчивой схемы. В кагггтве примерз устоггчпвой схемы рассмотрим разпоствую краевую за- дачу 444 ГЛ. ГС. РЬЗНОСТНЫВ МРТОДЫ ДЛЯ КРАДЕНЫХ ЗАДАЧ В вространстве 111 вводим скалярное иронзведеине Яг1 (У, с) = ~1 У1И16. ~1 Оператор Л, в 111 самосоиряжен н положительно определен н 6Е (Лл ( ДЕ, нли 61У(р ( (Л„у, у) ( Д)у'Р для всех у 1н 111, (19) где 6 и Д вЂ” напменьшое и наибольшее собственные значения оператора Л, равные 4 .
яь 4 яь 6 = —. Ягпь —, Д = (~Аь~ = — соз' — ', . (20) яь г' -1 * Обратный оператор Аь самосопряжен, если Аь = Аь. В $ 4 гл. 1 показано, что неравенства (19) эквивалентны операторным неравенствам ОЕ<Л '< Ь Е, Отск1да следуют равномерная ограниченность нормы обратного оператора АА1. 1Аьа((~(1!6(1,'8 и априорная оценка !Ь 1< —,!!Р1~Х з !~'Р4 (22) выражающая устойчивость схемы (18). Эту оценку можно получить методом энергетических неравенств, не прпбегая к оцс1ке сооствсиных значений ьь(АА ) В самиьг деле, умпожим уравнение Лгу~ = срь скалярно па у,: (Л ум УА) = Ф, уь) п воспользуемся неравенствами (1рь уь) ~('~(Ф (~((уь~,', ,",уь ~$'-=- 4 (Аь уь, уь); тогда полу'том иеРавенствс 61уь' ~ ~ргРА ~~ Уьь, Открла н слеДУет Оценка (22).
Схема (17) устойчива такгке в норме ьу),; ~~уь~~~с~~ —,, ~!ЦА~С ~!У)с = (~у)сь = шах ) у;(. (23) о<1<я Ото следует яз оценки решения трехточечной разностной краевой задачи, полученной в и. 3 з 5 гл. 1. В данном случае оценка имеет внд И-1 я ~уь~~с-..=, Х й:Е й( рь(~~11р~~с Х га)1~ —,. !)~рь)с, а=1 А=1 1=1 41, основньш понятия твовпи гьзггосгпых сха»1 145 так как лг л 2,1г = 1» г з = Ьл=- — ( —,. 'л г %»»У ),Ъ' 1) л 1 Л 1 2 2 л=г »=г 5. Пример некорректной схемы. Пусть дана схема А»У» = »Р» и ))Л»4- лл при !Ь! - О.
Расслготрпгг обратную задачу— оггРедедить пРавУю часть »Р» по пзвестномУ Решению У,: Влгрл = Уъ Вл = А,'. Она является некорректной, так как 3Вл'1=~!(Аг»') '!!=~А»,!!-+ оо прп (1»!-лО. Это значит, что дая любой постоянной М, пе зависящей от Ь, можно указать такое Ью что )!Вг, г>М при -г)! !Ь! ..Ье. ПУсть гр,— Решение УРавнениЯ Влгрл =Ул, а »Р»вЂ” Решение УРавненин Влгрл = У „тогда Ь~.- Р,)! МВ г4))У,— У,)!.
Если же ~ Вл '!! < М !! врн ~ Ь ~ ) Ь„ так что справедливо неравенство !'»Р» — »Рг'! ~ й» 'У» 1)лл, то будем говорить, что схема квазиустойчива. Можно яи попьзоваться этой схемой для определения »Р» с требуемой точностью е, если ул аадано с некоторой точностью е,: );ул ул)! ( Еу Пз неравенства !!»Р»» — »Рл!~()Вл !'!;ул — уг )! следует, что Репгоппе ааДачи Вл~рл = Ул опРеДепЯетсн с точностью ;Вл'!!ел. Пусть требуется найти »Р» с точностью е>0, так что !)глч — грл)! ~ е; зто возможно пРи Условии )!Вл ((е я' з. Отсюда определяем допустимый шаг Ь > Ь„т. е. Ь„ Пояснны это на конкретной задаче Иу), Дггя нее пмееы ~!Вл !~ !,Ал~ — Л = —,соз- — ( —.„ 4,агл 4 Лг' 2 (4З гл.
гу. Рлзностные методы для кглнвых задач и условие "„Вл )гее — — Лев~(е выполнено. если 4ег/Ь'~ ~= е плп Ь ) Ь, 2Уе,/е. Отсюда видно, что точность задания входных данных е, должна быть более высокой, чем точность е определения решения. Пусть, например, заданы погрешность правой части еь = 10 ' и требуемая точность е - 10 '. Тогда Ь, = -2 10 '= 1/50, т. е.
точность е = 10 ' можно получить только на сетке с шагом Ь ~1/50. Если же, например, е,= — 10 ", в=10 ', то Ь„=1 п точность в=10 г о— нельзя достичь нн на какой сетке при такой точности задания входных данных. 6. Аппроксггмация и сходнмость. Прн решении задачи (14) разпостным методом надо знать, с какой точностью регпенне разностной задачи приближает решение походной задачи. Для оценки погрешности, допускаемой прп замене (14) разностной схемой (15), надо сравнить решения этих задач.
Это сравнение будем проводить в пространстве Нь сеточных функций. Обозначим через гг,(х) значения функций и(х) — точного решения задачи (14) — на сетке ю,г игги Нь. Рассвготрггьг погрешность еь = уь — иь, где уь — решение аадачн (15). Подставляя уг = ег + иь в (15) и считая и=и(х) ааданной функцией, получим для зь разностную задачу Егз,=гч, хаю,,; Ьзг=с,, ажт„, (24) где фь = гсь — Егиг называют поерешноетью апггроггегьчаг(игг для уравнения Цу„— — гр„на решении и = и(х) уравнения Еи /(х) (невязка для ревностной схемьг на региении), ть рл — (лил — погрешность аппроксимации для разностного краевого условия Ьу, р, на решении задачи (14).
Будем говорить, что.' разностная схема (15) сходится, если ~) зь))(гь) -~ 0 при ~ Ь ) -~ 0; рааностная схема (15) имеет точность т-го порядка З 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 117 или сходится со скоростью О(!Ь)«'), если ~,зь))(1ь) =-,', уь — иь1(1ь) ~ (йт ( Ь) илп (~ гь 1(1 ) =- 0 () Ь )™), т ) О, где М > Π— постоянная, не зависящая от Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
