А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 25
Текст из файла (страница 25)
и; пз— — Ь;и; н,/2+ Ь!и! и,/8+ О(ЬА!), их! = (и; — и;,)|Ь! .—— Интеграл, стоящий справа, представим в виде суммы ДВУХ ИНтЕГРаЛОВ: От Х!,и До Х, И От Х; ДО Х!Р|и! РаЗЛаГаЯ затем подынтегральную функцию / = ои — / в окрестности узла х = х„найдем 1б2 гл зт. Р ипостные метОды для БРАевых зАДАч =. и, „, + Г)(Ь;) получаем (аи-), — (Епд);,:, =— — (1~! тм 0 (Ь1)) (и~ не + 0 (Ь')) (Ьи )' пе - 0 (Ь ) Таким ооразом, спраеедлпва оценка тп .=- 0 (Ь) при 1с (х), о (х), / (г) ~ С"', и (х) ~ С'", 3 а м е ч а к и е, Мы предполагал п, что д, н ~р~ опреде- ля1отся по простешнпы формулам: д, дь еь=)ь Колк же используются более сложные формулы, напрнмер липе Ьдь пт-', ЕЧ,Е,,, ~тл =- " . ", Ег = — ~ 1(х)г)х, 2т; ' ь; "~ — и то сеточную функпзио Ф = 0(Ь() — (г) — д') и~+ (сР~ — Ев) ьь ьь можно представить в виде ф, =- р„-,, -'; ф;, где =-0(й;). р;= 0(Ь~), и заменить в формуле (4) т(, на сумму и;+ ра Ф' -- ((ь + ц )„+ Ф*ь (4') р; = 0(Ь;), Ро == 0(Ь;), ф; == 0(Ет;) прн Ь, д,1еп См~, ияС '.
3. Оценка скорости еходнмости. Для задачи (2) — (4) справедлива априорная оценка , !~с( —,' ((1, (1()-г(1,(р*(И, (б) '1 где (у, о) = ~рачЬР Гслп выполнены условия (7) из т 3, то 1р =- 0(Ь;-'), Ць* = 0(Ет1). Полсзавляя ть п ч( в (6), убеткдаеися в том, что справедлива следующая теорема. Теорем а. В классе гладких коэффициентов Ь, д, )~н ~С'о любая схема вида (1) сохраняет второй порядок точногти на произвольной последовательности неравнол~ернььх сеток, Учитывая ззмечанпе п. 2, ф~ можно представить в виде ф~ =.
р„,+ ф;*з где р, = 0(Ь;), ф; = 0(Ь1). Тогда Ф С. ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ НЛ НПРЛВНОМЕРПЫХ СЕТКЛХ )63 вместо (6) верна оценка теорема о втором порядке точности на неравномерной сетке сохраняет силу. Если коэффициент Й(х) имеет разрывы первого рода в конечном числе точек, то всегда можно выбрать такую неравномерную сетку сох()с), что точки разрыва будут узлами атой сетки. Тогда любви охеиа будет иметь второй порядок точности. Итак, любая однородная схема второго порядка аппроксимации (ср = 0(Ь1)) на равномерной сетке и в классе гладких коэффициентов имеет второй порядок точности при специальном выборе неравномерных сеток се1()с) в классе разрывных коэффициентов.
4. Точная схема, Для задачи (!) из 4 2 москпо построить точную трехточечную схему, решение которой в. узлах произвольной сетки совпадает с точным решением и = и(х) краевой аадачп для дифферессциалъного уравнения. Проиллн1стрируем возмоскность построения точной схемы на частном случае задачи прп с)(х) =0: (Уси')' = — )(х), 0 ~ х С 4, и(0) = О, и(() = О. (7) Проинтегрировав уравнение от х, до х, получим уравне- ние х (йи') — () ')с+ ~ )'Я) дс =-. О. х! Разделим его на )с(х) и проинтегрируем по х сначала от Х1ДО Хсс, хС х1 х; х' исс.с — ис — (йи'); (, — + ~ — ', /' (Ь) с)Ь =.
О, (8) л(х),С 1 (х ).~ х; х~ хс затем от хс —, до хс: ис — ис 1 — Яи')с ~ —, — , '~ („.) ~ 1(х) с$ = О (О) 1го гл 1и Рлзностяыс методы для кРАеВых ЗАдАс1 Введем обозначение Умножпм (8) па а~о,1'Ььь„(9) — па а~ /Ь; и вычтем пз первого результата второй. Получим уравнение 1 ~ и — и и — о. о ~ 1 — 11 Г1 Ь или (аои-„);, + ср; = О, где х1 х! хы1 х' ~ — „', ~ ) (1) В + — "" ~ —,', ~ ~ ( ) (й х; г х' х; х; (10) Ф Кслп положить х'=х,+аЬ; ври х,, ~х ~х; и х'=х,+ + гЬ,о, при х;~ х'~ х, „то эту формулу мшкно переписать так: о — — ~~(х, +Ь)1) а, + -1 х „о Таким образом, схема (10) является точной на произвольной неравномерной сетке н для любых кусочно-непрерывных функций Ь(х) и )(х).
Конечно, практическое использование этой схемы затруднено тем, что коэффициенты выражаются через интегралы от Ь(х) п )(х) и поэтому для их вычнсленпл надо пользоваться квадратурпыми формулами, 5. Повышение порядка точности. Из предыдущего ясно, что для повышения точности прпближенного решения пало либо уменьшать шаг сетки Ь, либо повышать порядок точности схемы. Однако схемы повышенного порядка точности целесообразно строить лишь для уравнений с постоянными коэффициентами, так как написание таких схем для уравнений с переменными коэффициентами 5 е Одногодные схемы НА неРАВпомегных сетках 165 сопряжено с большими техническими трудностями и часто приводит к трудоемким алгоритмам. Мы уже приводили пример схемы 0(Ь') для уравнения и" -)(х).
Рассмотрим теперь уравнение и" — ди = — )(х), д - сопзс ) О. Напшпем разностную схему на равномерной сетке: лу у„- — иу =- — ~р (. ) н выберем й и ~р так, чтобы она имела аппроксимацию 0(Ь'). Погрешность аппроксимации равна ф = Ли + <р = (Ли — и") — (д — д) и + гр — / =- = —",, и" — О( — ю) -(- р — У+0()4).
Подставив сюда игт ои" — /" = у(ди — ~) — (" о'и— И вЂ” ~", получим 12 Д ) Р ~1 + 12 Ч! + )2 ~ ) + 0 (Ьа); а' следовательно, ~р 0(Ь'), если положить И =- д + — 2 д', ~Р т = ) +,2 (ч) + )"). Порядок точности сохранится, если ааменить в формуле для ~р производную 1" ее разностной аппроксимацией 1-„„, так как Ь') = Ь')- + 0(Ь'). Повышение точности схемы путем уменьшения Ь ограничивается также требованием акономпчностн, т. е. зкономии времени получения решения с заданной точностью.
Поатому на практике часто применяется расчет по одной и той же схеме на последовательности сеток, позволяющий повысить точность без существенного увеличения времени счета (метод Рунге), в предположении достаточной гладкости решения. Предположим, что дчя решения разностной задачи на любой равномерной сетке справедливо асимптотическое рааложенне у~=- и;+ а(х) Ь ~+0(Ь '), Ь, >Ь1.а О, (11) где а(х,) не зависит от Ь. Требуется найти сеточную функцию Дь для которой уз = и; + 0 (Ь ~) (12) на некотором множестве узлов юа. яее гл. 1г. Рлэиостпыг метОды д:п1 КРлквых злдл'1 Рассмотрим две сетки гол и юл, с шагамп Ь, п Ьп имеющие общие узлы; множество общих узлов обозначим л, л, е1л, ПУсть У; н У; — РешепнЯ Разностпой заДачи па сетках сэлг и е1л, соответственно.
Образуем пх линейную л, л. комбппацшо у1 = Оу; -; (1 — о) у, и подставим с1ода разложение (11): у1 = и1+ а(х;) (ОЬ,'+ (1 — о) Ь,') + 0(Ь '). Приравнивая пулю коэффициент прп а(х;), найдем о = Ь, /'(Ьа — Ь„); (13) прп этом в узлах х;ы 1е, выполняется требование (12). Таким образом, для повьпиепия точности сеточного ре- ШЕНИЯ На НЕКОТОРОМ МПОжЕСтзс УЗЛОВ Е1л ПаДО РЕШИТЬ задачу двантды па сетках ыл, и «1л,, пересекающихся по этому множеству, и составить пх линейную комбинацию с коэффпцпеитамп о и (1 — о), где и определяется согласно (13), В частности, можно взять Ь, = Ь,/2, Ь, Ь; тогда э1, = = — е1л, Для схемы второго порядка точности имеем Ь, 2, /'.
/л и о- — 1/3, 1 — о 4/3. Возмо1кность получения разложения =; = у, — п, = а(х;)Ь' + О()Р) следует из разложения иеаязкп 1(; = р(х~)Ь'+ 0(Ь'), кото- рая является правой частью задачи Лг- — 1Р, з„=та=О. Использование неравномерных сеток открывает большие возможности эмпирического повышения точности без увеличения числа узлов, если имеется предварительная информация о поведении решения исходной аадачи. Так, в области сильного изменения коэффициентов и правой части уравнения естественно сгустить сепсу. Вблизи границы разрыва коэффициентов обычно сетку сгущают по закону геометрической прогрессии.
Чтобы получить предварительную информацию, моя1но провести сначала расчет па грубой сетке н после этого окончательный расчет — нл специальной сетке. 5 2 ъштоды постРОгн1тп Рлзпостпых схем !67 й 5. Методы построения разностных схем Из предыдущего ясно, что разпостные схемы для конкретного дифференциального уравпепия долткны правильно отражать в пространстве сеточных функций основные свойства исходной задачи (таяне тсак самосопряженпость, зпакоопределенпость я т.
д.). Для рассмотренной налтн выше краевой задачи важным требованием оказалось свойство консерзатквпостк, эквивалентное свойству самосопрлженпостп разпостпого оператора. Важной задачей является получение разпостпыт схем с заданным качеством. Для построения такпх схем в настоящее время попользуется ряд методов, о которых расскааывается в атом параграфе. 1. Интегро-пнтерполяцнонный метод. Обычно дифференциальное уравпенпе выражает некоторый физический закон сохрапеппя.
Этот закон моткпо папнсать з интегральной форме для интервала (ячейки) сетки (уравнение баланса). Днффсрепцпалт,пое уразттеппе получается пз уравнения баланса прп стремлеппп шага сетки к пулто в предположения существования непрерывных пронзводных, входящих в уравпекпе. Входящие в уравнение баланса па сетке производные п нптегралы следует заменить прпблпжсппымп выра'т епнямп па сетке. В резулттате получим однородную схему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
