А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 28
Текст из файла (страница 28)
МЕТОДЫ РУНГŠ— КУПА 181 Поясниос, ьак вести счет по этой схеме. При я=О известно у, = и,. Можно вычислить последовательно Уо йо, )со )с, и найти с Ус = Уо + 6 т (йс (Уо) + 2)со (Уо) + 2йо (Уо) + )со (Уо))1 после чего вычисления повторяются прп я 1, 2..., Для невязкн получаем выражение фо = 8 ()гс(ио) + 2)со(ио) + 2)го(и„) + йо(ио))— где й,(и„) В=1, 2, 3, 4) определяются по формулам (18), в которых вместо у„ подставлено и„. Проводя разложение и„о„Х',(и„), )г,(и„), )с,(и„,) в окрестности 1=Г„, убеждаемся в том, что сГ,=О(т'), т. е.
схема (7), (18) имеет четвертый порядок аппроксимации, если и =иП) имеет четыре непрерывных производных, Все методы Рунге — Кутта являются явными (для определения у.„надо провести вычисления по явным формулам) н одношаговыми (для определения у„ы надо сделать один шаг па сетке от г. к с.+,). 5. Устойчивость разностных схем, В и, 1 мы рассмотрели важное свойство дифференциального уравнения (1)- устойчивость (по начальным данным н по правой части). Для изучения устойчивости по начальным данным нелинейного уравнения (1) будем рассматривать модельное уравнение — +),и =. О, )..= сопзс) О, г) О, и(0) = и .
(20) сп Его решение иИ) = и,в " убывает при Х ) 0 и 1и(с)! ( (и,! при й>0 для всех г>0, (21) т. е. уравнение (20) устойчиво при ). ~0, что соответствует условию 1„~ О. Вводится естественное требование: для разностных схем, аппроксимирующих модельные уравнения, долясен выполняться аналог неравенства (21): !У„! ~ 1у,! для всех п 1, 2, ... (22) Мы увидим ниже, что это не всегда выполняется. Рассмотрим ряд примеров. гл. т. зздзчх кОши 182 1) Явная схема Эйлера: ' + Лу = О, увез = (1 — тЛ) у„. (23) Отсюда видно, что условие )у.„) <)у„) =-...<)у„) (24) выполнено прп ) 1 — тЛ) < 1 плп — 1 < 1 — тЛ < 1, т. е.
прл тЛ -2. (25) Если, например, тЛ > 3, то )у.„,) = )тЛ-1~)у„) >2)у„) >... > 2"+')у,), !у„! >2")у„( при п Схема неустойчива, условие (21) пе выполнено. Таким образом, схема Эйлера (23) условно устойчива прп т= «2/Л, г.>0. 2) Пеявная схема Эйлера: ув.~-З ув 1 т + Лув ы =- О, уве у, (20) 1+тЛ ' Так как 1/(1+ тЛ) < 1 прв любых тЛ > О, то схема безусловно )сгойчнва. !у,) <!у,) прн любых т в Л>0, н=О, 1, 2, ...
(27) 3) Схема с весами: ув-~з у в + Л (оув+, + (1 — о) у„) = О, у„„, = ду . (23) Схема устойчива при 1 — (1 — ) Л 1+ втЛ Видим, что ) д) < 1, если — 1 — отЛ < 1 — (1 — о) тЛ «1 + отЛ пли 1+т(о — 1/2)Л>0, так что 1+отЛ>тЛ/2>0.
Таким образом, схема с весами безусловно (при любых т) устойчива при о>1/2 и условно устойчива при а «1/2, если т < 1/((1/2 — а)Л). 4) Схема Рунге — Кутта второго порядкаа. Подставляя в формулу (13) /= -Лу, получаем (29) «. з У„ет= УУп, д = 1 — тЛ+ в-ттЛ2. а к методы Ранги — куттх 1ЗЗ Схема устойчива, (у„! !у„(, если ! д ! — — 1 — тЛ + ~ тай< ~(1, что имеет место прп т).
(- 2. (25) С сема Рунге — Кутта второго порядка устойчива притом же условии, что и явная схема Эйлера. 5) Схема Рунге — Кутта четвертого порядкака, Нодставляя ) = — )у в (17), (!8), получаем Ук. ~ = Чую д — — 1 — тй + —, т'-'),з — —, тз).з -; — тМ. (30) в " в ' 24 у„„= дй„+ щ„, д = д(тй), (32) порядка схемы. где выражения для д н ~р„зависят от Так, для схемы второго порядка имеем ! Ч --. 1 — т).
-,'- —,, т.-).-, с(ь, =. (1 — и) ((80 !. п7(г„-'. пт), ао = —,. 1 2' Для погрешности з„= у„— и„получаем 2 'пы ' я ~! Хт! плп -„„, =-дз„+ тйе, и-= 0,1,2,...,з,= О, где ф„ — невязка, равная ф, = гр„— (и„., — и„)ут — 0(т'). Неравенство !д! -1 выполнено прп тй< 2,78, т. е. условие устойчивости схемы четвертого порядка немного слабее условия (25) для схемы второго порядка.
Этп примеры показывают, что явные одношаговые схемы условно устойчивы, а среди неявных схем имеются безусловно (абсолютно) устойчивые (напрпмер (28) при а ~1!2). Если й ~0 велико, то шаг т, в силу (25), длн явных схем надо выбирать достаточно малым. 6. О сходнмостн и точности. Схема Рунге — Кутта для неоднородного уравнения — -(- Хи =- /(О, ( >О, и(0) =- и, (31) имеет впд гл, т, з.4ЧхчА кОши В силу условия устойчивости (25) ) ф «1 н ) за+~ ) (» ! зя ! + т Йп!»» Х т ) Фь ) а=в откуда и следует, что схема (32) сходится н имеет второй порядон точности (сходится со скоростью 0(т'), плн сходится со вторым порядком): И~с = 0(т'). Таким обрааом, если схема устойчива и аппроксимирует уравнение (1), то она сходится.
Ото утверждение, докааапное для модельной задачи, имеет общее значение и справедливо для любой из схем второго порядка. Аналогично доказывается сходимость со скоростью 0(т') схемы Рунге — Кутта (13) при условии /„«»О. В атом случае для з. у.— и, при оа '/., получаем задачу (34) где (). /„((„, и,+8,г„), („=/.((.+ т/2, и„+ 8,з„) (О « «8~ ~1, ( 1, 2), а ф. определяется по формуле (13'). Перепишем (34) в виде г„д„г +т~„, о.=1+ тр.(1+ тт./2).
Условие устойчивости ~д„~ «1, пли — 1 «д. -1, будет выполнено, если 2 — т1~.(+ '/~т'~().((т.( > О, / т~5,~!(„( « -.- =)3„), или т!1,( «2. Первое неравенство выполнено также при тф.) «2, я, следовательно, достаточно, чтобы т/(«2, если /. «О, ~/! «А', ((, и) ыВ. Условие (35) аналогично (25) и обеспечивает выполнение оценки (33), пз которой и следует сходимость схемы (13) со вторым порядком, 1з1» й 2.
Многошаговые схемы. Методы Адамса 1. Миогошаговые схемы. В $1 мы рассматривали методы Рунге — Кутта для численного решения задачи Коши —; =- /((, и), О()(Т, п(О) .—.— и, (1) г х многошАГовык схемы. методы АдАмсА 185 Вычисления начинаются с и= т, Чтобы найти у, надо задать т начальных значений у„у„..., у„„их можно лапти, например, методом Рунге — Кутта, который использует лишь одно начальное вначение у, = и,, Если Ь, чьО, то схема (2) павывается неявной (интерполяционной): для нахождения у.
при каждом и надо решать нелинейное уравнение .,у„-ь,)((„, у„) =Р(у„„у„„„,, у„.). (2) Ото нелинейное уравнение можно решать, например, методом Ньютона. Погрешность аппроксимации схемы (2) на решении и иН) уравнения (1), или невязка, определяется по формуле и ТВ т %1 ф = )' Ьг/(( -ю ис-А) — — „~ аги„г, гс-В А=О Говорят, что схема (2) имеет г-й порядок аппроксилачии (илн просто, что схема (2) имеет г-й порядок), если ))ф))с = 0(т') или ()ф))с < Мт', г) О, (5) гдв М сопз( > О пе зависит от т. Козффициенты ам Ь, подбирают, исходя нз требований аппроксимации и устойчивости.
Без нарушения общности (й) Этн методы являются одношаговыми летодали: прп определении нового вначения у з, испольвуется лишь значение у„. В общем случае для определения приближенного решения у„можно рассмотреть т-шагоеые разностные слелы (т > 1), т. е. уравнения вида — "у, „=~ЬА(е ы п=т,т+1, ..., (2) а=о а=о где а„܄— числовые коэффициенты, Л,-,=1(г„-н У„,), а,чьО, Ь„,чьО. В частности, при ое =1, Ь, =О, Ь, = — а„а, = -а. получаем схему Зилера.
Схема (2) называется явной (экстраполяционной), если Ь, =О и значения у. определяются через предыдущие значения у. „ у. „ .. „ у„ .,по явной формуле 1 с ' (Ьхтгк-А агук-4) = Р (Ув-т Ук — г ' ' ~ун-т) ах а с гл. ч, злдлчх коши можно считать, что Х Ь,=-1, а.=о (6) так как коэффициенты уравнения (2) определены с точностью до множителя.
Разлагая ф„по степеням т и требуя, чтобы невязка имела заданный порядок, получаем условия для определегиш а,, Ь,. Поскольку и=1 ость решение уравнения и~ = (((, и) при ) = О, нз (2) следует, что ~~. ал — 0 (7) л=-л Обычно для построения схем (2) применяют друп1с приемы, использующие ннтерполяцпопные и квадратурные формулы. Так, интегрируя дифференциальное уравнение (1) по с в пределах от Гп и, до (и, получаем ~п ип — и„„=- ) ) ((, и(1)) с(й (8) сл- и, — ип, = ~ У (с, и (Е)) дт, (9) которое соответствует тождеству (8) при и, = 1, интеграл квадратурпой формулон: гп т !((,и(())д)=т2; Ь,!(тп „,ип,). (10) 1п-г Учитывая (9) и (10), можно написать разиостную схему Адамса: Лп уп 1 Ч;и =~~~ Ьл) ((п-п, рп-л).
а=э (11) Чтобы получить отсюда разностную схему, можно использовать для интеграла какую-либо квадратурпую формулу. 2. Метод Адамса. Каясдая квадратурпая формула поронсдает соответстнуюшнй метод численного решения обыкновенного дифференциального уравнения (1). Заменим в тождестве 1 а миогоп1хговые схгмы. метОды Адамса 187 Подставляя сюда из (9) выражение гг — — 1(1, и(1) Ж, 1а-1 получаем формулу для невязка: ж А Ар„=- ~'„Ь1,~ (С„-ю и»-А) — — ) ) (1, и (С)) й. 1 Г А=А °,)) (12) 3, Явные и неявные схемы.
Коли ЬА О, то схема(11) является явной и ~н у =-" у»- — т Х ЬА) -А. (13) А=1 Простейшим примером явной схемы Адамса является схема Эйлера у.— у.,=т!„, при а=1, Ь,=О, Ь,=1. (14) Воля положить в (11) т = 1, Ь, =1, Ь, = О, то получим неявную схему Адамса Ва ил †= 1„пли у,,— т/(1„, у„) у„,. (1О' г Неявная сил1,иегри'1иая озпошаговая (гл = 1) схема ип Ги-1 ,1 = 2 (1 (1 У") +1(1»-11У»-1)) (1б, Опа может быть получена пз (2), если полов1ить а„=О при й 2, 3, ..., т и а, — 1, а, — — 1, Квадратурная формула (10), на основе которой построена схема Адамса, содержит узлы сеток, пе принадлеявап(ие швтервалу 11птегрпрованпя 1„1»1 » ~1„. Обычно используется требование, чтобы квадратурпая формула была точной для мпогочлепа стеиенп лг, При атом выбирается идтерполяцпопдый в1ногочлеп с узлами г., т*-» При таком построении схемы ее погрешность аппроксимацин совпадает с погрешностью квадратурной формулы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
