А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Переход.к переменному шагу т.ь, =(„е, — („ носит формальный характер и для оэкоша|овых схем ве приводит к каким-либо новым принципиальным вопросам. Для многошаговых (т «2) схем формулы меняются. В общем случае решение может быть сильно меняющейся пемонотопной функцией. Естественно пользоваться неравномерной сеткой и умсныпать шаг (сгущать сетку) в области быстрого изменения функпии иП), чтобы обеспечить более точное приближение п(П сеточным решением. Однако заранее нам неизвестно поведение решения н = и(П.
Поэтому па практике поступают так: проводят сначала расчет на равномерной сетке; если видно, что решение и = и(Г) сильно меняетсн на некотором интервале (з ( Ю ( (*, то сетка сгущается на ((в, С*) и проводится решение задачи на такой неравномерной сетке. Вообще рекомендуется проводить расчеты на нескольких сгущающихся сетках. Если прн сгущении сетки решение мало меняется, то нужная точность достигнута.
Для повышения порядка точности применйм метод Рунге, использующий расчеты на разных сетках (если решение и = иП) обладает достаточной гладкостью). В ходе расчета может оказаться необходимым испольэовать схемы разного поряпка точности в разных областях изменения аргумента. 2. Часто приходится решать уравнения с сильно мепяющпмлся коэффициентами, например, — ", =- к(г) и, г О, и(0) =- и,. (36) Такое уравнение встречается прн описании задач хими- ческой кнлеп1кп.
Его решением является функция Если а(() «О, то можно пользоваться схемой Эйлера при 9 з. лппгоксимлция злдлчи коши 195 любом т у„л, = у„+ та„у„= (1 + та.)у . (37) Если же а(г) (О, то может оказаться, что 1+ та„, <О прп некотором и = л, и у„,+, СО, т. е. решение теряет смысл. В этом случае можно пользоватьсн неявной схемой У рр=ур+та У ео У»+р=у П1 — та ), 1 — 'га )1, (38) которая устойчива при любых т. Если аИ) меняет знак при некоторых значениях г, то в тех узлах, где а(() ) О, надо использовать явную схему (37), а в узлах, где а(Г)( (О, — неявную схему (38). й(отавы Адамса являютсн менее трудоемкими по сравнению с методами Рунге — Кутта, Невостатком методов Лдамса явлнется нестандартное начало вычислении; для определения у„ у,...., у †, обычно используется метод Рунге — Кутта.
Для двухшаговых (и тем более многошаговых) схем Адамса изменение шага т требует усложнения формул, в отличие от метода Рунге — Кутта. Е)а практике используется комбинации методов Рунге — Кутта и Лдамса с программой автоматического выбора шага для получения заданной точности. з 3. Аппроксимация задачи Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 1. Задача Коши.
В этом параграфе мы будем изучать линейные разностные схемы (одношаговые или двухслойные), которые появляются при аппроксимации задачиКошн для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, а также при аппроксимации дифференциальных уравнений с частными производными (метод прямых). Рассмотрим задачу Коши —, + «аопт=- ~'(8), С)0, и'(0) = ирм 1= 1,2.,,)т. рп )=ъ (1) Обозначая через А=(ар) квадратную матрицу размера ЛР Х Л) с элементами и;„не зависящими от Г, через и(Г) .
= (ръ'(р), ир(г), ..., и'"(р)) — искомый, а через /(р) = (/'(р), $96 ГЛ. Ч. ЗАДАЧА КОШИ )'(Г), ..., )"(С)) — ааданный векторы размерности )т', запишем систему в виде — ", + Аи = ) (~), г ) О, и (0) = и,. (2) Сохраним то же обозначение А и для соответствующего оператора, действующего в пространстве Н' размерности )г'(А: Нд — Н").
В пространстве Н" введем скалярное произведение (и, и) и норму 1Ш!! = у(и,.и). Будем предполагать, что оператор А положителен: А ~0, или (Ах, х) )0 длн всех хюН", хФО. Отметим одно важное свойство решения задачи (2) при /(г) — = 0: /!и(С)ф)~(е ' )и(0)~, если А= Ае)0, (4) где Ъ, — наименьшее собственное значение оператора А: А $д = Ъд9„)г = 1, 2, ..., )т', 0 < Ъ, ~ Ъ, (... ~ Ъ . Дла доказательства (4) будем искать решение и(Г) задачи (2) в ниде и (С) =- ~ ад (г) 9д, ~ и (г) ~и = ~ ад (8). д=г д-д Задача Коши ($) при условии (2) имеет единственное решение.
В самом деле, пусть существуют два решения й(8) и и(г) задачи (2). Тогда их разность удовлетворяет однородным условиям у+Аз =О, г)0, г(0) = О, г(г) = и(г) — и(г), (3) Ы Умножая (3) скалярно иа г и учитывая, что (г, —,) = ч' = 9 „— (г, г), получаем — — )(г )т+ (Аг, г) = О, ~ г(г) ~/г+ ~ (Аг (г'), г(г')) г)г' = $г (0))г.
о Так как А ) О, г(0) = О, то отсюда следует, что Иг(()~Р = О, г(г) — = О, й(Г) = н(С). з з. лппгоксимлция злдлчи коши 197 После подстановки этого выражения в уравнение (2) с )(!) =0 найдем л, (-ал + Х а ) $ = О, л=1 дал — + ).лал =. О, ал (!) = ал (0) е и, следовательно, так что и(!) 1г = ~ алг(0)е ' е ',' ал(О) = е ' (и(0)Р. л=1 л=1 2. Разностиые схемы. Введем сетку с шагом т по переменному (; ы, =- (г„= пт„п = О, 1, 2,...) и обозначим через у = у((,) сеточную функцщо аргумента ! = пт (нли п) со значениями в В .
Напишем явную схему У" +Ау„= („, н=0,1,2, ..., у,=и, (5) так что у„л, находится по явной формуле у„„=у„— *(Ау„— )„), и=О, 1, 2, ..., у,=и,. (5') Решение у„задачи (5) зависит не только от т, по н от% или от параметра )г= 1/)г': у„=у„, в. Фактически мы рассматриваем не одну задачу (5), а совокупность задач (5,,) для всевозможных т и Й. Это и есть разпостная схема.
Ее решением является семейство функций (у.,л). Чтобы не усложнять запись, мы будем в тех случаях, когда это не вызывает педоразумеынй, индексы т и Ь опускать. Схема (5) является одношаговой (нли двухслойной) рагностной схемой. Вообще под двухслойной схемой понимают уравнение, связывающее значения вектора у(Г) для двух значений аргумента ! = Г, и 3 =- Г +, (для двух слоев): Ву„„=Су„+г"„, и=О, 1,..., где В, С вЂ” квадратные матрицы !т Х Ж (линейные операторы В, С: Н" ~ Н"), у„, Ä— векторы размерности Ж. Это уравнение можно всегда переписать в следующем каноническом виде: Уи.~.1 Уг В „+АУ„=. ~У„, п =.0,1,2 з Ус = ис.
(6) гл. т. ЗАЛАчв коши Для определения у „, надо решить уравнение Ву„в, Ф„, Ф„=Ву„— т(Ау„— ф„). Будем всюду предполагать существование обратного оператора В '. Если В = Š— единичный оператор, то мы получаем явну»о схему (5). В случае В сь Е схему (6) называют неявной. Часто встречаются схемы + Ау„, = в»„(чисто неявн я схема), (7) т У„.ю Ув» т + — А(у„+у в,) =-ср„(симметричн я схема). 2 (8) Онп являются частными случаями (при а = 1 и а = 1/2) схемы с весами + А (ау„е, + (1 — а) у,) = <р„, и =- О, 1,..., (9) которую мо'кно записать в каноническом виде (6) с В=Е+атА, (10) где "»» »(»„= <рв — Аив — В т (12) есть невязка, или погрешность аппроксимации для схемы (6) на решении и = и(») исходной задачи (2).
Пусть 1иЦц,!И໠— некоторые нормы в 11"=Н». Схема (6) сходится, если !!з„(໠— О при т — О для всех и 1,2,... Схема (6) имеет т-й порядок точности, или сходится со скоростью 0(т"), если (~г 1!О> 0(т ) т е 1Ь 2О» ~ Мт (13) где М = сопя( не зависит от т. если учесть, что ау.„ + (1 — а)у„ = у„ + ат(у„в, — у„)/т. 3. Погрешность аппроксимации. Пусть и = и(1) — решение аадачи (2), у, = у(г») — решение задачи (6); подставляя в (6) у. и + х,ч для погрепшости г„=.
у„— и»а и„и(г ), получаем В "+' " +Аз„= ф„, и= .0,1,2, . „ее= О, (11) З 3. АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ а99 Напомним, что схема (б) имеет и-й порка/ок аппроксимаиии на решении уравнения (1), если для невязки ар„ выполняется оценка 1)р„'»,а) — — 0(т ). (14) Выясним условия аппроксимации схемы (6) с т = 1, 2. Предполагая, что и = иО) имеет нужное но ходу изложения число производных, находим т а' и+а — — (и + — и + — и~) + О (та)а 2 8»~иа и„= (и — —. и -р — и~) + 0 (т')„ 2 »э)н 1 — (и„+а — и») = и„,и, + 0 (т'), аь» = »р„— (Аи + Ви1„„+ — Аи»»а~а + О (т') = »р„— 1„ь, + (1 — Аи — и) „„, + +(Š— В+ —, А) и»+а»а+ 0 (т') = 2 т = »Р„— 1»»ааа + (Š— В + — А) и„».ааа + 0(та). Отсюда видно, что условие (14) будет выполнено, если ~!»р» — 1»+ )а Ь) = О (т ) Š— В+ — А и, — О( ), =12. >(а) В частности, для явной схемы (в случае В =В) имеем — Аи~~~ = 0(т), аа 3)р4<а) = О (т) при (»р» — 1 .».пав= 0(т), например, при р.
=1' Для симметричной схемы (а-1/2) В= В+ тА/2, если )~»Р 1»+»д1'»а) — — 0(т ), то )))Р»))»а) = 0(т ), посколькУ !ИŠ— В + тА/2)и)!и, = О; прн этом можно взять, например, »р 1»»- »)а ГЛ. У, ЗАДАЧА КОШИ Схема с опережением (о=1) имеет 1-й порядок аппроксимации, так как !~(Š— В+ тА/2)и!!>„= т~~Аи~~<л/2 = 0(т). 4.
Устойчивость и сходимость. Как отмечалось выше, схема (6) устойчива (по начальным данным и по правой части), если ее решение непрерывно зависит от входных данных (от у, и от >(>„), причем зта зависимость непрерывна по т н >У, или по Й. Для оценки решения задачи пользуемся нормой >>и>>»„ а для оценки правой части— нормой Ь1>л>. Воспользуемся более строгим определением устойчивост».
Схема (6) будет устойчивой, если для любых у„ >р существуют такие постояннные М, - О и М, ) О, не зависящие ни от т, ни от )У, у„>р„, что для решения задачи (6) выполняется неравенство ~ у„(>ы (~ М, ~ у, (г» + ЛХА шах 1 >рл 1<ю. (16) азл<о Если схема (6) устойчива и обладает аппроксимацией Ц.1„> - О при т-' О, то она сходится: »у„— и„>>>„- О при т- О, о=1, 2, ...
(17) (пз аппроксимация н устойчивости следует сходимость схемы). В самом деле, если схема (6) устойчива, то для решения г = у„— и задачи (11), согласно (16), выполняется оценка ~1 з„(н» < 61> ла- '1 >гл Ь) (18) озл<» Отсюда и следует, что 1г„»»> - О, если 1Ф.»>л>- О прн т- О. Изучение сходнмостп и порядка точности сводится к изучению по> решпости аппрокспмацип н устойчивости разноствой схемы (6). 4 4. Устойчивость двухслойной схемы 1. Устойчивость по начальным данным. Будем рассматривать двухслойную схему в канонической форме вадино начальное значение у, ы Н, (1) где А, В: Н- Н (Н=Н"). Решение аадачн (1) поясно представить в виде суммы у = у'о + усе решений двух $ О. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНОЙ СХНМЫ 201 вадач В ""' " +АУ„=О, и=0,1, до=пою (2) Уо+г Уо В + Ад„= гд„, п = О, 1, ..., у = О, (3) (усе — решение задачи (2), дсп — решение задачи (3)). Схема (1) устойчива по начальным данным, если для решения задачи (2) верна оценка «у «О> ~ М «уо«О» (4) Схема (1) устойчива по правой части, если для решения задачи (3) верна оценка !!уо)!М ( Лт гпах !! %о !«2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
