А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Такой метод и называется ингегро-тстсгерполят)ионным зпетодош нли зтетодалс с аланса, Проттллтострируем его па пряьтере задачп (йи')' — с)и = — 1(х), О < х (1, (йи') — п,и — — )21 прп х = О, и(1) = рп (1) 11аппшсм уравнение баланса тепла па отрезке О я-:х -. '1: хее1/2 хт2 1 те ит12112 — ш; нт ла 1 1(х) ах =- ) с) (х) и(х) с(х, хт-1/2 хт-т!2 и /си', (й) где ( — и'(х)) — поток тепла, т)(х)и(х) — мощность стоков (прн ст < Π— псточнпков) тепла, пропорциональная температуре, 1(х) — плотность распрсделеппя внеппптх пстоштпков (стоков) телла. В лево!! частп этого уравнения записано колпчество тепла, остиощегося за счет тепловых потоков па 'отрезке (х!-1аз хсес1) п за счет внешних псточнпков, в правой части — колпчество тепла, отдаваемое яя гч, 27.
РАзностные методы дтя кРАеВых ЕАдАч +( "1 В результате получаем из (2) схему 1 ( УН1 — У2 У2 — р2-11 — „~а;+2 — „— а; 1 — 21;ур =- — ~рь А х2.~.Н2 2Р;= > ) /(х) Их. 1 Х!-112 При выводе мы фактически предполагали лишь, что иСОПЗ1 ПРН Х; О2 ~ Х ~ Х,+„„Ю =СОПЗ$ ПРИ Х; —, <Х -Хь Вместо написанных здесь выра2кенпй для аь 2(ь 2р, естественно взять более простые формулы, как это н делалось в предыдущлх параграфах. Напишем разностну2о аппроксимацию для краевого условия третьего рода при х О. Для этого воспользуемся уравнением баланса прп О~х ~х,д Ы2 ХП2 хн2 к2П, — и — )р униях= — )р 1(х) 2)х.
Подставляя сюда и, = ()2й)2 =- О2и — )2„ х1,'2 2ап2 = атаюн хсх Дм2) - Узна — Ьх 1 / (х) )х - ~2 — й Г 1 внешней среде за счет теплообмена на боковой поверх- ности. Чтобы получить из (2) трехточечное разностное урав- нение, заменим юь н2, ю,+О2 н интегралы в уравнении (2) линейной комбинацией значений подынтегральных функ- ций в узлах сетки (х2 о хь х,2,), например, "2+1/2 х +21 — д(х) и(х)ихж Й2иь 2)2 = > ~ д(х)22х, Г 1 '"2-П2 22-1,'2 Проинтегрируем равенство и'= 22И по х от хео до х,: х2 22 1 и- — и2 2 = — аахм йк2 ,1 а (х) "4 — 1 5 1.
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТПЫХ СХЕМ 169 и заменяя всюду и на у, получим разностное краевое условие а,у„-,— О,уа+ Иэ — ЬЧ.уа/2 = — Ь/,/2, которое можно записать в виде оэу~,э = ",Уа — )11, где Оэ = "1 + Ьуа/2 р1 = рэ + Ь|а/2 (3) Оценим на решении и = и(х) уравнения (1) величину не- вязки т =- о,н-„, — нома + [1О Р Подставив сюда лэ =- й111+ 0 (Ьа) .= Ьа + 1/аййа + 0 (/1~) и, =- иа + Ьи, + Ьаиоэ/2 + 0 (Ь'), 11-„л (и, — па)/Ь = па+ +Ьиа12+ 0(Ь'), получим т = (йи')а + 'ай (йп')а — 111 ма -'г- рэ + 0 (Ь') = Нйп') а— — о ма + р,) -[- '/ Ь [(йи')' — ои + Ла + 0 (Ьа) = 0 (Ьа), т, е, разностпое к)эаевое условие третьего рода (3) аппрокспмирует условие йи' = Оэл — р, прп х = О с погрешностью второго порядка т = 0(Ь1).
Для практического непользования краевое условие (3) надо записать в виде лр, У„ =- »,У, — Рп », = ' , Рч = а,.йа а +ао Для повышения точности схемы следует использовать при вычислении интегралов интерполяцию более высокого порядка. 2, Метод аппроксимации квадратичного функционала, Ераевая задача Е,и = (йи')' — ои -/(х), О < х < 1, и(О) О, и(1) О эквивалентна задаче об отыскании минимизирующего злемента квадратичного функционала 1 1 ,7 [и) = ) (й(и')а+ два) Нх — 2 ~ /и аэх. а а Введем на отрезке О~х< 1 сетку оэа (х;=1Ь, 1 О, 1, ..., У) н аппрокспмируем функционал.
Для етого сна- г,о г;!. гт. Разпостпыг иктоды дня кгагьвых злд ! чала представим его в виде суммы интегралов ио интер- валам сетки: М х! у(и! = Х у (и1, уь(и1= ~ (Ь (и)з т ди — 2)и)агх ь=! чь после чего аппраксимируем .гь например, так: Ь (иь)згьх а; (и„-, )зЬ„ (дгР— 2)и) г(хм — 1(!)и! — 2ьи)г+ (азиз — 2ьги)! ь), Ь Хь где аь — некоторый коэффициент, например а = — ~ Ь(х) агх. ! а К 'г-! В результате получим Функционал к к-! .рг,(у1 =- ~ Ьа! (у„-„)т + ~ (уь,уь', — 2/гух) Ь, ь=! ь -.-! где у!= у(!) — произвольная сеточная г(гункцня, обрагцающаясн в нуль при ! = О, Л'. Уравнение Ау = ьр кли ~~"„а!,:у; = ьро А =- А*) О, ь — -! имеет решение, минимизирующее ьрупкцпопал к 1„(у) =- (Ау, у) — 2 (ьр, у) =-,,"~~ апуьу! — 2 ~~э игр!у!.
ь:- ! В этом можно убедиться, приравняв ну!по производную и, (р) — = 2 'Ч а, -у — 2гр; = Π— ~ ) О ау, ~ь 'Оь ь 'О ' а 2 ьэ у ° ' а так как аа.= О для всех ! = т, 2„..., )!' в сингу положительности А ) О. 6 5 МЕТОЛЫ ПОСТРОЕПИЯ РАЗНОСТПЬТХ СХВИ 171 Вычисляя производные д㻠— ' =. 2аэу-„, — 2аы.и- сьэ + (2д»э/! — 2Ы )э, а"У» 2»! 2РЫ вЂ” = — э+ — '~' + 2д;~0, ЗР!» убеждаемся, что злемепт у у(х) ьт//~,, мщэпьпэзнрующнй квадратичный функционал, является решением задачи (ау-„)„,э — д;у; =- — /э, 1 —.- 1, 2, ...,/э — 1, у» = ук =- О. 3.
Метод аппроксимации интегрального тоя<дества (метод сумматорных тождеств). Пусть Йц')' — ди+/(х) =О, 0 -х< 1, и(0) =и(1) =О, (4) Умножая уравнение (бэ) па произвольную Лнфферепцируемую фупкщпо и(.т), обращающуюся в нуль при х О, х 1 и интегрируя по х от 0 до 1, получаем тождество /(и, и) = ~(йи'а'+ дал — /о) Нх =-О.
» Заменяя по аналогии с п. 2 интеграл и производные и', ц', напишем сумматорпое тождество ч и-э 1»(у, г) = ~з ~а;у;,х-,.)э+ ~", (д,у,; — /;) г,й =-О. Полагая затем, например, гэ =- б;,.э,, 0< 1, /э', и учитывая, что э'„-,=-О при 1((„и 1)1»+ 1, г-э = — 1'6, г,-э ==- 1/й, получим /! 1 ЬэЭ вЂ” „аэ+эу. х — — ау/„-,)+ (д; — /э) й = 0 прн / = 1и т.
е. (ау„)„. — ду =- — /. 4. Методы Ритца и Бубнова — Галеркина (вариационно-разностные методы), Задача о мнннмуме функционала /[ээ) = (Аи, и) — 2(и, /), где А — саиосопряженный и положительно определенный линейный оператор в гильбертовом пространстве Н со скалярным произведением (х, у), .эквивалентна задаче о решения уравнения т72 Гл.
тч. РАзностные методы для кРАеВых ВАдАч Вводится последовательность конечпомерных пространств )т„с базисом (трт ), т=1,2, ..., и. оо1 Метод Ритца заключается в том, что ищется элемент и,ю т', минимизирующий функционал Ли) в т',. Приближенное решение и„ищется в виде суммы и„= ~ уу;т (б) Ли„) =Ф(уо у„..., у.) есть функция п коэффициентов у,. Приравнивая нулю производные дЛи„)/дуь получим систему и уравнений ,)~~ пну„— (3. = О, т = 1, 2,..., тгг для определения уо у„..., у.. Проиллюстрируем метод Ритца на примере задачи (4). В качестве функции трт(х) возьмем функцию: О, г « — 1, г'~ 1, 1+г,— 1(г(О, 1 — г,О(г 1.
/х — х~т ~р; (х) = т) ( — „) = ту (х), т) (г) =- оГ Подставляя в формулу для ие Атрт = — (/ттр;) +утрьимеетт 1 ичт дч. ая (А~ртч тр,) = ) (/г — ' — ' + ут);т);) Нх, 1 (1; = ) / (х) т); (х) йх. о Вычисления дают ИГΠ— О при х(х; т, х>хьыт (1//т при х~ т (х(хь лх ( — 1!/т при х;(х х,тм Где уо,, у„— неизвестные коэффициенты. Вычисления дают в х /(и„) = ~~"., мну;у; — 2 ~ ();ум ьэ=т 1=1 ан = ая = (Агро гр;), (); = (/, е)т); Ь ь.
Методы пОстРОения РАзностных схем 173 Отсюда и из (6) видно, что ььатрица (ач) трехдиагояальна, так как от нуля отличны лишь те ан, для которых 7 = ь — 1, 1, ь+ 1. Поэтому для у, получаем систему ао 1 ьу1, + я, ьуь + ис» у» ор = О. Вводя обозначения а; = — Ьпь 1, + Ььг(; = Ьа,, + Ь(ис 1-, + ас»1), р; = — Ь'ьр, и замечая, что и»,; = по „;, получаем схему а;у;, — (а;+ аььь-1- lьоаь;) у, + аы ьу,.~ь+ Ь'грь =О, ИЛЬ1 (7) :ау„-). Ау+ р = О, где а; = ~ Ь (т; + гЬ) ь(г + Ь' ) д (х; лг гЬ) г (1 + г) г(г, -1 -1 о 1 ь(1 = ~ д (х; -г г)ь) (1 + г) г(г + )р д (х; -(.
гЬ) (1 — г) Аг, — 1 о о 1 ьр; = ~ 1 (хь + гЬ) (1 + г) аз + ~ ~ (х; + гЬ) (1 — г) аг. Это — схема второго порядка аппроксимации. В .кетоде Ву1бнога — Галеркина решение и„также ггпьется в виде (6), однако коэффициенты у1 находятся из условия ортогональности невяэки Аи„— 1 к базисным функциям ьрь(х): (Аи„— /, ор) =О, 1=1, 2, ..., и; (8) при этом самосопряжепность оператора А не требуется. Для задачи (4) снова выбираем те же базисные функции.
Подставляя (6) в (8), по.тучим систему уравнений для у1. Вычисляя ае и рь, приходим к той же самой схеьге (7), которую мы получили методом Ритца. Т(ри укаэанном выборе координатных функций ор1(х) = = ь) ( — ') методы Рнтца и Бубнова — Галеркнна совпадают с методом конечных элементов. Глава У ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ Б этой главе мы рассмотрим разностные схемы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (вообще говоря, нелинейных) первого порядка с начальными данными (задачи Коти). Зто — классическая область применения численных методов. Имеется много разностных методов, часть из которых возннкла в домашинную эпоху и оказалась пригодной н для современых ЗВМ. Иы ограничимся кратким изложением основных разностных схем, которые широко используются на практике и для которых имеются соответствующие стандартные программы.
5 1. Методы Рунге — Кутта 1. Задача Коши для уравнения первого порядка. )1усть требуется найти непрерывную прн 0 < ( ( Т функштю п и(О, удовлетворяющую дифференциальному уравнению при () 0 н на ~альному условию нри ( = 0: -~- )'(т,и(0), 0((~Т, н(0) =-к„(1) где 1О, и) — заданная непрерывная функция двух аргументов. Если функция 1(ц и) определена в прямоугольнике Л (О ~ т ~ Т, )я — и„( ~ И н удовлетворяет в области И по переменной и условию Липшица; ) И(, н,) — (((, и,)) ~ К) и, — п,) для всех (г, и,), ((, и„) я П, (2) где К-сопз()0, то задача (1) имеет единственное решение. Для доказательства этого утвергндения уравнение (1) интегрируется от 0 до (: н(0 =не ( т(з н(з))сз, о а 1.
метОды Рултг — куттх 175 а получеипое иитегральпое уравнение решается методом последовательных приблпя'еиий (методом Пикара): с и„, (1) = и„л,- ~ /(г, и„(г))отз, й где и — номер приближения (птерацпи). а)етод Пикара сходится п определяет едипствешн~е решение уравнеппя (3) изш задачи Коши (1). Этот метод позволяет найти приближенное решение задачи (1), если в (4) заменить шпеграл какой-либо квадратурной формулой. Одпако объем вычислений для иолу.еппого алгоритма велик, таь как для пепитой итерации (прп 1фпкспроваипоы 1) вгоб1ходпмо вычислять интеграл. Иногда Для приближенного решения:1адачп (1) исполыуетгя апаш1тический метод, основанный па идее разложеипя в ряд Тейлора решения задачи !(Оипг (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
