А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Об этом свидетельствует табл. 3. Глава У11 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В этой главе рассмотрены разностные схечы для регпения уравнения тенлопронодвостн. Детально исследовано одномерное уравнение с ностоянными коэффициентами. Приведены рааностпые схемы для многомерного уранпення теплопроводностн с переменпымп коэффициентами. й 1. Уравнение теплопроводности с постояннымп коэффициентами 1. Исходная задача. Процесс распространения тепла в одномерном стержне 0(х(/ описывается уравнением теплопронодностп д« д / ди ~ .р — „=- —,.
(й —,)+/.(../), где и =- и(х, () — температура в точке х стержня в момент /, с — теплоемкость единицы массы, р — плотность, ср — теплоемкость единицы длины, /г — коэффициент теплопронодностп, /, — плотность тепловых источяпкон. В общем случае Й, с, р, /, могут зависеть не только от х и ), но п от температуры и=. и(х, Г) (квазплинейиое уравнение теплопронодпостн) и даже от ди/дх (нелинейное уран- ление). Если /', с, р постоянны, то (1) можно записать в виде д« .,д«, /« — =- и- —, д$ дхз ' ' гр где а' = й/(ср) — коэффициент температуропронодпостп, Без ограничения общности можно считать и = 1, / = 1, х а С 2 В самом деле вводя переменные х, =- — /, = —,, /, =- з — ~ ~ «= з 1= Р = — /, получим г — =- —, + /и 0 ( х, <: 1.
д«д« д!1 дхе ' и 1 3 ь угавненне с постоянными козФФнциентзми 333 Мы будем рассматривать первую краевую задачу (иногда говорят: начально-краевую задачу) в области )у = 10 ( ~ х ( 1, 0 ( г < Т), Требуется найти непрерывное в В решение и = и(х, 1) задачи — = —, + ((х, Г), 0(х< 1, 0 Сзе-.Т, дх И(Х,О) = и,(Х), Оа-.Ха-.1, и(0,1) = И„(Г)х (3) и (1, 1) = и (1), О ( 1( Т, 2.
Некоторые свойства решений уравнения теплопроводности. В силу принципа максимума для решения аадачи (2) имеет место оценка п1ах ( и (х, Г) ) х~ шах ( шах ) ио (х) (, шак ! и, (о) (, охх<ь охнет ~охххг охсхт гпак ! и, (1) )) + ) гпак / Г' (х, 1) / г)1. (4) охмхт ) о оххчг Рассмотрим однородное уравнение с однородными краевызш условиями: — — 0(х< 1, 0(г~Тх дхо и (О, 1) =- и (1, 1) = О, 0(1 а-. Т, (5) и (х, О) =- и, (х), О (~ х (~ 1.
Решение атой задачи находится методом разделения пере- менных в виде и(х, 8) =- ~~~ сзе '"'Х„(.г), (б) А=-Г где )о, и Х,(х) — собственные значения и ортонормнрованные собственные функции задачи Х" + ),Х = О, О ( х кс 1, Х(0) = Х(1) = О, равные Лх = )о'"я', Х,(х) = ) 2 юп )оях, (7) причем (Х„, Х,„) =- ( ХА (х) Х,„(х) Ых =- 6А~, о !, й.-т, 6 О, йтнт. гл. тп. гвлвнвнив ткплопеоводности 234 В самом деле, все частные решения (гармоники) ии(х, 1) -ьы = сие Ха(х) удовлетворяют уравнению и краевым условиям (5), Из начального условия п(х, О) = и,(х) = ч", сьХл(х) (3) находятся козффициенты с, = (а„Х,).
Из (6) и (8) следует 1 и (~) )' = (и (х, с), и (х, ~)) = СО ы = асиле )Хл~~(е 'л ~сл3=е ч $цД~,, и=-л и=1 так как 1пз<! = л.„и сю ).л) йл — ~) ° ° ° > ь1 = я ° а=! Таким образом, для решепкя задачи (5) верна оценка <<и(8))» е ' (ии~, Х, = я"', (9) Эта стадия процесса называется резуяярным релсимоль 3. Разностные схемы. В области б введем сетку ии =-((х(): х =Уцй=ут,(=0,1 .. )Ч Ь вЂ” '1ЬЧ 1 = О, 1,, Ь, т = Т~ л') с шагамп: Ь по х и т по й Заменяя производную по и разностным выражением < й~и и.„— 2и;+ и; — и дх ьз Лиь вместо (3) полу пгм систему дифференциально-разностпых уравнений (метод яря.чых) йи; — = Ло; + )ц 1 =- 1~ 21 з выражающая свойство асимптотической (при 1- ) устойчивости задачи (5) по начальным данным (т 4 п.
7 гл. Ч). В силу возрастания Ьл = Ьля' с ростом А., начиная с некоторого момента 1, в сумме (6) будет преобладать первое слагаемое (первая гармо1шка), т. е. будет иметь место приблия'еппое равенство и (х, 1) ж с,е ~"Х, (х). у! Еглвнение с постояяпыын 110зФФициептлмп е"5 с краевыми и начальными условиями вр(1) — и,(1), ул(Г) = пр((), о,(0) = и„(х,).
Для численного решения втой задачи, по аналогии с гл. 11, ваменим производную по Г разпостным отношением рр (11+1) 1 1(1 ~) 21 11 Лр т 2 правую часть возьмем в виде линейной комбинации значений при Г = 11 (на у-и слое) н Г = Г,+, (па () + 1)-м слое): ГЕ1 1 = оЛУ,'+' + (1 — а) АУ, '-)- 1р';, (00) ур И1 (11) Ул — Ы (11)~ У1 ' пр (Х1) (11) ) =0,1,2,...,0(1(Х Слепа (10) определена па 6-точечном шаблоне (х1, 11ХЕ1) (х,+1, гь11) х х (Х1-1 Ср > 1) х (хь 11) х (хы.„0) (хрь1 11) Рассмотрим явную схему (о = О) на 4-точечном шаблоне: У1 1 У1,/1-1 У; - /ьр1 11 1 — 11 1( — 211 17 (12) ьр Значения на (1+ 1)-и слое палодятся по явной формуле В случае о 1 получаем полностью неявную схему— х х х.
схему с опережением на шаблоне 1+1 у1 1Е1 р ЬЕ1 2„~311 У' У1 У1 — '1 У УЫ.1 1 (13) где а — параметр, а ру,— некоторая правая часть, папри- 1 1 1' 11-1'2 мер, 1у = 11 ру1 =-1, и т. д. Сюда надо присоединить дополнительные условия гл. ! 11 углвненив теплопговодпостн Для определения у! из (13) получаем краевую задачу гь! К! = — у; + пр„уе — — и, (!;+,), Ун = иа(г!+!), ! ! , ! !-!-! р-!-! которая решается методом прогонки. Часто используется симметричная неявная схема (иногда ее называют схел!ой Кринка — Николсона) с о = = 1/2 н шаблоном „" к х: ус+! ! ! ( у!!.! 2У!ч- ! !!гь! о! ч!!! + у! (14) Значения у! на новом слое и в этом случае находятся !ч-! методом прогонки для краевой задачи: !+! ! !.! ус = и,((!!о), ун =- и.
П!ч.!), 1 — — У тс — ~у!-!+ Уи-!) + тЮ. ь) ' '2" ('1 5) В общем случае (прн любом а) схема (10) называется !!-! схемой с весами. Прп ат'-0 она неявная и у'; соре;!сляется методом прогонка как решение аадачн отАУ! ' — у,"!' = — г'!!, 0 < ! < У, у'„+' = и, ((!!.!), У~У' =- и,()!ь,), ( =-- О, 1, ... (10) , !е! у! ---. '— , у = — оу, + (1 — о) у„ '!! У! (е! Перейдем к изучению свойств схемы (10) с любым о.
й!. Оценка погрешности аппроксимации. Чтобь! оп!- нить порядок точности схемы с весами (10), пало сначала оценить погрешность аппроксимации (певязку) п найти априорные оценки, выражающие устойчивость схемы по правой части. Разностпая схема (10), (11) учитывает начальные и граничные данные точно. Перепишем схему (10) в безындексной форме, Вводя обозначения !ы аы. ! — ча! -" !!,-! у —.
у'!, у — у', ду = у- х д !. УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 237 полу. чаем у, = Ау'"+ ср, (х,г!) ~ ас., у(х, 0) = и,(х), (17) у, = )тс(1), уи = и.()) (( = (, = ут, 7 = О, 1, ,). Пусть и = и(х„с7) — точное решение исходной в~дачи (3), у — решение разностной задачи (17). 11одставляя в (17) у = г+ и, получим для погрешности г = у — и следующие условия: г, =Агсо+7р, (х, г) си ь7си, г(х, 0) =О, г(0, д) =г(1, 0 =0, (18) где 7р = Лис' + ср — и, (19) и+! ( 11 + (1 — о) и = —, + (о — — ) ти„ и (, 27' т 2- г иди т де, т' д'и т — + — — + — — + 0 (т ) д! 8 снг 48 дгг !: =- и ~х, г;+ —, т), стс! т ди т ди т т,! + „„з (-0(.г )с иоо = ои й 4 д с! Аи =- и- .= 7.и -) —, и'У + 0(64), ! и =-.
— „, (2 получаем дГ), ди Р— -~7. -) — —,(--. (! — 7 — (о — )ту. 2/ д7 + —,, Тзи+ 0(те+ и!). 12 Так как в силу уравнения (3) имеем 7.7г -г сс — — =- О, д7 есть погрешность аппроксимации схемы (17) на решении и = и(х, !) задачи (3) (невязка схемы). Найдем рааложение 7р по степени Ь и т в окрестности 1 ! = 77+ Е т). Ъ'чнть7вапс !сто гл.
г11. углвннпнв тГпло1тговодности то Ь д" =Ели +ьг и Ф = ~рр — У' -Р ~а — ~ ) тЦ) + ~ 1,, -Р ~а — ~ ) т) Ели + +0(тл+Ьл). Отсюда видно, что З; = 0 (т + й') прн а == 1 и а ~ —,, 1 и = 0 (т' + й') прп з. = ) и а = —, Если выбрать а так, чтобы коэффициент при Гй был равен нулю: ьл 1гт ' ( О) а ~р положить равным ~р = /+ — Ц пли гр =- /+ — Л/ (21) (оба выражения отличаются па величину 0(Ь'), так как Л7 — Ц = 0(Ь')), то мы получим схему повышенного (по х) порядка аппроксимации: ф 0(й'+ тл) при а = аю льл Эта схема также неявная, и поэтому у находятся нз уравнения а тЛр — у =- — Г методом прогонки. 5.
Устойчивость схемы. Обратимся к изучению устойчивости п сходимости схемы (17). Рассмотрим сначала явную схему (а = О) и чисто неявную схему (а = 1). Уравнение (17) для явной схемы запишем в виде Рл = ~1 — —., )У; + — л(з,-л+У,„,) 1 т~уь О(~~)У, (22) р',ы О, у~~' = О, р'„= и,(х;), О(1(Х Если коэффициент прн у', пеотрпцателен, т, е. т ~ Ь'/2, (23) то из (22) следует, что )!у ~ 1с » «1р ~ с + т1<у лс, (24) где (у()с = шах (у;(.
Суммирование по й от О до ! — 1 з змл $ ь уРАВыение с постоянныме козФФициептАмп 229 дает Жс«1у )ю+ Х т~) ~2~~' (25) Это неравенство и выражает устойчивость в сеточной норме С явной схемы по начальным данным и по правой части при условии (23) (явная схе:на условно устойчива). Неявную схему (17) прн а = 1 перепишем в виде нлп — зу, — ~1+ — "., ~у, О«1«Л2 Воспользуемся теперь теоремой 3 из з 5 гл, 1: для решения задачи А,у,, С,у, Ам,у„, — — С„ С;=А,+А„,+0„0<1<)У, у„=у;=О верна оценка В нашем случае А; =А,.„= т/й2, О;= 1, 1У 1е ~ 1~У 1е < ~1У ~1е + 2921 1е. (26) от;+1 2' 2от '1 Р21 от —., у,', — ~1+ — т~у, + —., у... = — У,', О«1«~У, у) ' =- у',~е1 =- О, / 2(1 — о)2'1 ), (1 — о)т 1, ) 2 )У1 чс .
(У1-1 + Уее1) + т1( . ! ' а Отсюда видно, что коэф4шцнепт прн у~ пеотрпцателен, если 12 2 плн а) 1 —— (27) 2(( — о) ' 2т ' Отсюда суммируем по у = О, 1, ..., ) — 1, получаем оден- ку (25). Таким образом, чисто неявная схема безусловно устойчива, т. е. устоичива прн любых т и Ь. В случае произвольного а разностпое уравнение имеет внд 240 гл. тп, гглвпвпик твплопговодпости Прк этом условии ()Р(с ~ 1у((е+ т(эрзс; пользуясь затем теоремой 3 из з 5 гл.
1, получим оценку (25) при условии (27). В частности, для симметричной схемы устойчивость в С имеет место при т( Ь'. Фактически же схема (17) с о~1/2 безусловно устойчива в С по начальным данным, так что ()у (~с ~ ~о" у"с, где М,=сопз1) 1. Однако зто неравенство доказывается довольно сложным способом. Ниже будет показапо, что в другой норме условие устойчивости схемы с весами имеет вид Ь о)о =- — —— 2 4т' (28) так что схема с о Р- 1/2 безусловно устойчива, а при а ( ( 1/2 вместо (27) ставится условие устойчивости Ь 4 (1/2 — о) ' (29) Указанный результат (29) получается на основе общей теории устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
