А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 36
Текст из файла (страница 36)
По аналогии с з 4 гл. 1 введем оператор А: о о о Ау = — /у, у ы (), у ы О, О где Π— множество фупкцвй у, заданных на сетке юз = (х,: х; =(Ь, (= О, 1, ..., )г', Ь = 1/Ж) и равных нулю па границе при 1=0, Ь', а у — мпох."ество фупкцпй, заданных во впутрепних узлах сетки х ы оп = (х,: л; = (Ь, (= =1, 2,, Х вЂ” 1, Ь=1/М.
Запишем схему с весамп в капонпческой форме: Вз, + А = ф(О, ( , „ г(О) = О. В = Е + отА. (ЗО) Для этого достаточно подставить зке = оз + (1 — о)з = з + + о(г — г) = з+ отг, в (18). Оператор А, как показано в гл. 1, самосопряжеп и положителен: А А*)О„если скалярное произведение в Е! определить по формуле и-1 (у, ь) — ~~ ук,Ь. 1=1 4 !. хглвнеиие с постояииыми козФФицикптами г45 Устойчивость схемы (30) исследовапа в гл.
тг, где показашг, что схема (30) устойчива в Па при о)о ! ! 2 т(А)!' (31) 4 яа Б даипом случае ))А)! = —,соз' —, Отсюда следует, что гхсма (17) устойчива ири любых т и Ь, если оЛ-"1/2. Если о ( 1/2, то схема устойчива ири ~ (1гв — о)1А1' Подставляя ск!да )!Л!! = 4Я", получаем !!гг'1!( Х т!)ф" (! Нри о'.О, о)о, 1--о с Подставив сюда Аг --.
г-, ' пайдем к ))г ((4 =- (Аг, г) =- — ( г-, г) =- (га, г~ = ~м Ь (гс,)о 1==1 и воспользуемся оцепкой )г х ~)ггг 1 !!г1с — - шах )г)( —,, „г„)г(г-,)а =- — )!г! . .Еиа В реву!!ьтате получаем (32) :! 1)! .= — ';У ):(! а.:о (ЗЗ) т. е. с."сема (17) сххгдится в сеточпой норме С со скоростью !/у' — и' )! с =- )! г'!)с —: 0 (Ь' + т) ири о ~ 1.'2, о ) о„ !)гг',)с = 0()гг+ та), о = 1 2.
Коли о„)0, т.е. г)Ь",о, 16 х. ь. Саоароаггп В частности, ирп сг=-о имеем 4(1,'2 — о )т = ИЗ()гг, т. с. схи ма повышенного порядка аппроксимации безусл!шио, устойчива. б. Входимость схемы. Для доказательства сходимости схемы (17) надо получить априорную оценку для аадачи (ЗО). Воспользуемся иеравеиством для г, полученным ири исследовании сходииости схем в гл. гг, в силу которого для (30) и (18) верка оценка погрешности гл, тп ьглвнвпив тхплопговодпости 242 то и для схемы о .—.—. оз верна сцепка (ЗЗО и ",,з'~~ == 0(Ь' —; — т-) при а = о„.
7. Асимптотпчссвая устойчивость. Свойство асимптотической (при ( — со) устойчивости аадачв (5) по пачалыпгм давным выражает опенка (9). При больших решение задачи (5) определяется первой гармоникой и (х, () с,е ~в~ Х, (х) (регулярпый режим). Естественно требовать, чтобы решение ревностной задачи у, = оду+ (1 — о)Лу; х = й, М =ут, (31) ( = 1, 2, ..., % — 1, 1 = О, 1, ..., у(0, П = О. у('1, () =О, у(х, 0) = и,(х), обладало аналитическими свойствачи.
В гл. Ъ для операторко-разиостиой схемы с весами Ву,+Ау= — О, (шю„у(0) =у„В=Е+отА, бЕ=А ~ЛЕ, б)0, А =Аз)0 установлена асимптотическая устойчивость схемы с ве- самп )) у~ ~ к е ) )) у ~ при дополнительном условии т ~ т,(о), где т,=2/(б+Л) длв явкой схемы (б=О), т,=- > (т— любое) для неявной схемы (а =- 1) и т„=2/)'бЛ для симметричной схемы (о = 1/2). Для'схемы (ЗЯ имеем 4, лв 4 .
ль б = —., 5п! ., Л = —,соз Для явкой схемы (о =- О) т„= й"/2 и условие асимптотической устойчивости совпадает с условием обычпой устойчивости; пеяввая схема о = 1 по-прожлему безусловпо устойчива. Однако симметрнчпая схема (о = 1/2), будучи безусловно устойчивой в обычиом смысле, асимп- д х мпогомегпьп. Задачи твплопРОВОйности 243 тотпческп устойчива прп условии ь )с т ~(тю т — - и —. 1ила л В атом случае решение разностной задачи (34) с о = 1/2 прп больших 2 определяется первой гармопикои: у> с>р>яп лх; яе с,е '1> яних. Здесь р =- (1 — 1/2тб)/(1+ 1/226) = е ~" (1+ 0(т')). Если условие т» т, нарушено, т.
е. т ) т„то при болыппх 2 преобладает не первая, а последняя гармоника: у', = с р1 яп л (Л> — 1) х, ж с>р1 ( — 1)' зщ яхь 4>'йта — 2 где р ==, + ( е ', что, конечно, ие имеет ничего 2>'Вта+ 2 общего с решением дифференциального уравнения. Требование асимптотической устойчивости тесно свнзано с точностью схемы и фактически означает п требование асиаштотической точности. Особенно четко это проявляется при расчетах па реальных сетках для больших й Отметим, что условие т = Й/л для симметричной схемы не является обременительным.
Доказывается, что чисто иеявпан схема (о = 1) может обеспечить приемлемую точность в случае больших значений г только прп шаге т, сравнимом с шагом явной схемы, что лишает чисто неявную схему при проведении расчетов для больших 2 ее основного преимущества — устойчивости прп любых т н )>.
5 2. Многомерные задачи тенлопроводностп 1. Разиостные схемы е весами. На плоскости х = =(хо х>) рассмотрим область 6 с границей Г. Ьудем искать решение задачи теплопроводпости в области 6= = 6+ Г для всех 0 ( >» Т. Требуется найти функцию п(х, (), определенную в цнлнпдре (/, = 6 Х [О, Т) =((х, 2)1 х>н6, О»(» Т), удовлетворяющую в ()г= = 6 Х(0, Т) =((х, ))1 хя6, 0((» Т) уравнен>по теплопроводностп — =- Ьи+/(х, (), Ьи= —,, -) —,, (1) ди ди, дзи дх- сх; 1 244 гл, г1г. РРАвпвпиг тгплопРОВОдпости краевым условпяк первого рода па границе Г области С и=О(х, г), хшТ, 0(г.--.Т, (2) и начальному условию при г = 0: п(х, 0) = и,(х), х ш С. (3) Предположим, что (х — прямоугольник: 6 =(Х=(Х„Хг): О~Х, =(О О=Хг:=)г).
Введем в 6 прямоугольную сетку ('г) Ог) ('а) юл =. (хг — - (лхг, хг ) ха — ' Майи. ги = О, 1...., Ха, Ьа = )а/Лги~ и = 1 2) с границей хгл = (хг = ((гЬгг (гЬг): гг = О, )уг О ( ( ( Хг', (г=О, Лгг, 0<),СЛг,). Лппроксимируем оператор Лапласа 5и = Ли разностным оператором на пятиточечном шаблоне (см. гл. лг1, з 1) Ти Ли= к- +ихгхг ' хгх . Задачу (1) — (3) заменим дифференциально-ревностной задачей (методом прямых): агй (О =- Лпг:(О+ 7г(0, г =-= (гг, (,), гч (О) =-= ко(хг)1 х;~ юю о (() )ть -- р~((), 0~ ~(( Т.
(4) Введем па отрезке 0 < ( < Т сетку ю, =- (гг =- )т: 0 =. гг < ~ Т) с шагом т. Напишем слепу с весапп 7л! .г = Л (Оугт' -';- (1 — о) уг) -'- гр' )' .= О, 1, ..., (5) х = (ПЬ„г,Ьг) ш огл. у(хь Г) = ра(()г х Тлг г Отсюда видно, что для определеппя у = у'+' па новом слое где у' = у(хь 0) == у(ОЬ„ггЬ.;, О), Прпсоедппим к уравнениям (5) у(х, 0) = кл(х), х — — (ОЬг ггйг) ш ец, (5') =/тшагь В ". миогомег!гыг зхдх'ги твгшопговодносгл! 245 ! = !.„, надо решить разпостпое уравнение у -- атЛУ = Р', Е =- у+ (1 — а)тЛУ+ тг(5 У=У, хш7л. х гн ыг„ (О) «г.="'л лг-! кг-г —;5~ Ь, ~; Ьгу(гг)г„ггЬг) гг(г!)г„ггйг) (7) н учитывая, что (Ау, у) - ИАУИИУИ ( ~гАИИуИг, находил! ((Š— атЛ) у, у) = ((Е-,'- атА) у,у) =- =. )1 у Ил -Р ат (Ау, у) ) ~ — — , 'ат) (Ау, у) ) О, так как (Ау, у) ~ бИУИг ) О (см. гл.
лг1, $ 1, и. 3), Запишем подробно в шгдекспой форме разпостпое уравнение . ~ у,— дл ла у, д.) — (1 + 2 ( -'- уг)) у, г + + ау; (уг, „.-! + Уг,!.,е!) — — Ег, (8) где у;,ы =. у (ггЬ„глЬл), у, =-- т'Ь,-", у. = тгЬ.'-', Гг,г„= (1 — 2 (1 — т) (у, + ул)) у;, г„+ (1 — а) у, (д!. г г, -(- - - у;, лг, гл) + (1 — а) ул (у!о!, ! + у;, г,,) + г(гг,г,, уг г, .— Н! г, х! -- (ггЬг, г,Ьл) ~ уы Зто разпостпая краеная задача решается относительно у теми же ыетодалгн, что и разностпая аадача Дирихле для уравнения Пуассона (см, гл. лг1, $ 2). Здесь коэффнциеп- !'азрешпмость этой задачи следует из того, что оператор (Š— атЛ) является положительно определеппыи прп а ) — 1/(тИАИ), в силу того. что (Š— атЛ)д = о = (Е+ атА)у в пространстве сеточных функций у, заданных па сетке ыл и обращающихся в пуль па граштце 7л (ср.
гл. гг1), Р[окашем это, Вводя скагпгриое произведение (у,г) - ~, у(х;) о(х,) )г,Ьг = 246 гл. Чм. УРАвнвние ткплопговодности ты уравнения постоянны, область С вЂ” прямоугольник, позтому наиболее зкопомичпыми являются прямые методы решения разностных уравнений (8). Итерационные методы менее экономичны. 2. Устойчивость и сходимость. Пользуясь определенным выше в гл. о'1 оператором Л: о о о Ау== — Лу=- — у- — у-, уе=Р, ус=И вЂ” Н, орн ооху запишем схему (5) в канонической форме: ого В' ' +Ау .-~р, 1= — 0 1,..., уо=и„уенН, (0) В .—. Е+ атл.
Оператор Л язучеп в гл. У1, Оп является самосопряноепным н положительно определенным в пространстве Н = Й размерности (Х, 1) (Л~,— 1), А = Ло, боКв..АКЛоВ, где 4 ., "а~ 4 о ав о ." 2! о! а~о '! Ь. о зА, т,ва, д,: — — ', созо —,' -'- —, гоз',—,', Ло .— — -1Л1. Ьо 2~~ Ь; 1 (10) 1 1 а)а, о' о 2 т1Л!Г В частности, для явной схл мы имеем условие 9 /2 21 т( — ", илп т( — + —., до' ~,Ь~ й-.,~ (1 2) На квадратной сетке (Ь, = Ь.
= Ь) условие устончпвостп явной схемы имеет впд т < Ь-'/4 (ср. с условиямп т < Ь /2 для одномерной задачи). Из ('!1) видно, что схемы с а Р- '1/2, в том числе чисто неявная (а = 1) и симметричная (а = 1/2), безусловно устойчивы. Явную схему (а =- О) В силу общей теории (см.
гл. У) схема (О) устойчива в Ио прп (11) а г. хгногомкгныв алдхчп ткплопговодности 2ат могкпо записать в виде у(~ а =- (1 — 2 (у~ + 7а)) уй , + уг (уй-и й + у й -г,~,) + + уа (Уггд — г + 1/йэес1) + т<Иг». (1") Сумма коэффнцнентов прн у в правой частя (!2) равна единице. Еслн все коэффициенты неотрнцательпы, т. е. выполнено условие у, + ух «( 1!2, у, =- т/йн уа=- т!й.,', эквивалентное условию устойчнвостн (12), то нз (13) следует неравенство !!у' )!с .
!!у'))с + т))ср ))с Суммируя по /с = О, 1, ..., / — 1, получаем оценку (ср. 5 1) 1-1 Ь'!!с()ЬЪ+ Х т11 р'Ь (14) которая сохраняет силу прн любых гиагах сетка для чисто неявной схемы (а =- 1). Во всех других случаях оценка (14) нмеот место прн а 3-1 — 1/тЛ,. Для доказательства сходкмостн надо, как обычно, последовать певязку $ = Л(си + (1 — а)и) -( ~р — и,, Учитывая, что Ли = /и+ 0 Ой)з), (й(с =- йг -,'- й'. по аналогии с одномерным случаем находки ~: = 0()й)г -',— т'),— (а — ~~ 0 (т). Для погрешностн г =- у — и нмооы задачу г) "г — г~  — — +Аз'== ц', /.—. 0,1,..., гс —.— г(О) .— О, Отсюда и пз априорных оценок следуот сходимость а 0 схемы (5) со скоростью 0(т+ )й)с) нрп аФ1/2 н 0(тг+ +)й)г) прк а = — 1/2 (полная аналогия с одноиерпыы слу- 1 чаем), осли а ) 1 — —. Для решения задачп, в силу оценкн, полученной в гл.
У, выполняется неравенство ~~г'+'(!л ( ~„т!,ф'(~ прн а)а, =- —, — —, а>О, а=а 9 248 гл тп угавненик ткплопговодности где И.'1 =-!)1()Ь1+!!161 А(У == — У„-„, А У = — У; х, К вЂ” 1 И !!З)!Ь вЂ”... Х ~,, Ьо(з. (1„11)) + ~о и~э Ьо(э- (1„1'.,)) . х1 0=1 1,,=-1 Отсюда следует безусловная устойчивость сходню стп схемы (5) в //* со скоростью 0(т+ )Ь!') при о оа 1/", о ~ 1/2 п 0(то+ )Ь!о) прп о =-1/2. Проведенное выше исследование надо дополшги усло- виями асимптотической устойчивости. Поскольку этп ус- ловия т К т, были получены для операторно-раэпостпой схемы с весами с произвольным оператором А =- А» ) О, боЕ ( А ( Лохи то пми можяо воспользоваться и для нашей схемы (5).
Пользуясь выражениями (10) для б, н Л„получаем ус(и (11,,1' 4 повии асимптотической устойчивости т ~( т,, то ,„' -1 (И (Ы вЂ” для явной схемы (а =-О), т(~то, т, Ь )/Ь„л„, о„Ло иэ (10)„дла симоютРичиой слепы (о = 1/2). В частности, ирп Ь, = Ь. = Ь, /, = — /о =.! имеем 1(Ь .. в .2 до 6 -.—,э(по —,, Л =.— со. —,' т о ' о- 21~ о —" о ' 2(~ о Предельное апачеш(е т, в два раза меньше, чем для Ы1 одномерной схемы (5) из $1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
