А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Чисто пеявиая схема о = 1 беэусловно аспмптотическп устойчива, 3, Переменные коэффи((иенты. Рассмотрим задачу ()), предполагая, что Ь есть эллиптический оператор второго порядка с переменными коэффициентами и без смешан- ных производных: д 1 д о'ъ /и =- /(и+ / »и, /(и -= — ~/(1 (х, /) — ~, дх ~ ' дх~' д / ди1 /,и =- — ((/(о (.г, () — ~, дх ~ дх с (Ь„(л( /) (см (х, () ~(/т = 6>,(0, Т!. 6 х многомеРнык зАЛАчи теплопРОВОдности 249 Каждый из операторов Е, и Ц аппроксимпруем разност- иым трехточечным оператором; Лг ° Л„ 'г 21 Лги — (а>на ),, Лвп = (аег>„- ) где а, = а,(г',Ь„гг)г„г), а, = аг(г>Ь>, 11Ь„2) — некоторые функционалы от аиачений й> и Й, соответственно; в простейпгем случае а, =)с,((гг — 1/2)Ь„>,Ь„~), а, = )с,(г>Ь>; Ог — 1/2)Ь,. 2), что обеспечивает второй порядок аппроксимации: Лг,и — 1,.и — О (Ь'„,), а =- 1, 2.
Оператору 5 ставится в соответствие разностный оиоратор Л: Лс == Л,н + Лаи =. (агг>- )„+ (ази; )„. (15) ЗаПИШЕМ Лги И Лгс В ИпдЕКСНОй фОрМЕ Лгн =- — ~ а, ((11+ 1) Ь„гзЬ,;, () 1 1 ໠— а ° >,-1,11 — а, (г,Ь„>,Ь;, () г>г г г, . 1 1 г 1 л 'г Разпостг>ая схема с весами имеет тот же вид (51), что и в п. 1. Берется то же сеточное пространство 11 = гг со скалярным произведением (7) и вводится оператор А: о Ау == — Лу =- — (и,у- ) — (агу-, ), Учитывая, что длн одномерного случая оператора а А: Ау =- — (ау-) а а а о с,(Ау, у) ((Ау, у) (сз(Ау,у), Ау =- — у-, О < с, ( (а <~ см нетрудно убедиться, что такие же неравенства выполняются и для двумерного оператора (15): а а о о ур а' гл. т>г угхвпгник тГплопгоэодиости Отсюда вид~о, что бЕ ( А ( ЛЕ, б = с,б,.
Л = с,Л„, где б, п Л, определи>ется по формулам (10). Для определения у =у>е' па иовом слое получаем задачу (6), где Л определяется пз (15). В случае явной схемы у определяется в каждом узле х ж о>, по формуле у = р+ (1 — о)гЛу+ тгр. Для неявных схем (о Ф О) надо решать пятиточечное раэностпое уравнение с перемеипыгм| коэффициентами. Здесь пспольауются итерационные методы, паиболее экопомичпым из них является попсремсппо-троугольпый метод (см. гл.
У, з 5). число итераций для которого есть вели- ~' 1 г ') пша Π—, )и — ), еглп т = 0(Ь). Оппсаппе попеременпо- ~;.>> треугольного метода для разпостпых уравнений с перемеп~ымп коэффицпептамя дало в гл. >>1; применительно к уравнению В)) с оператором Л вида (15) его следует несколько видоизменить.
в 3. Экоиомичигае схемы 1. Метод переменных направлений, Срав>п>м явные и неявные схемы (5) по двум характеристикам: объем выпшлеиий для определения у"' и ограничение ка шаг т. Явная схема: для определепия Ч'>' па сетке ю, надо затратить число действий, пропорциональное числу узлов, т. е. число действий, приходящихся на один узел, пе зависит от сетки о>з. Однако шаг т жестко ограппче~ сверху условием т < т,Н>): т ( Ь'Ь1 при Ь, =Ь,= Ь для схемы (13).
Неявная схема (о ~ 1>2); для определения у>+' надо решить систему (>т', — 1)(У. — 1) пятиточечпых разности>их уравнений; для этого, по крайней мере в случае переменных коэффпциептов, требуется число действий на одни узел сетки ю,„возраста>ощее ярп )Ы вЂ” О. Возкпнает задача -- построить схемы, сочетающие лучпше качества явных и веявпых схем: безусловно устойчивые, с числом действий па каждом слое, пропорциональным числу узлов сетки ю„.
Так>ге схемы принято называть экономичны.ии. Копечно, мы долятяы сделать оговорку: безусловно устойчивые в обычном смысле схемы должны быть аспмптотически устойчивы, что приводит % 3 ЭТТОНОЫТПТНЬТГ ГХГМЫ 251 к ограничению на шаг, значительно более слабому (например, т ~ (й/(2л) нрн и = 1!2, й, — — й, = й, й = 1. = 1), чем условие устойчивости (т -.= й'/1) для явной схемы.
Кстати, условие т = 0(й) естественно для схемы 0(т'+ +! й!') Первые экономичные схемы появнлнсь в 1955.— 1956 гг. и были названы методами пере.венных направлений. Основная а:тгорзтмичегкая идея нх зкошытнчностн состоит в тои, что для перехода со слоя Т, на слой Г„, надо решать методом прогонки трехточечные разпостные уравнештя сначала вдоль строк.
а затем — вдоль столбцов сетки ат„. Приведем формулы метода переменных направлений (нродольно-поперечной схемы Племена — Ренфорди) для задачи (1) с оператором /.: Ьи = Ь,и+ /аи, где ܄— один из операторов: Ьаи =- —,, нлн Ьаи = —. ~йа (х, () — ' ~, а == 1, 2. да а л ваа " ' даа~' а Пусть Л„Ае — соответствуюгцне трехточечные операторы и А = А, + Л,. Вводя промегяуточное значение у = у"'", формулируем разностную схему переменных направлений: ут-"'- вТ ХЕН ЫТн У =- Р Тым при т,.=. О, А/т, (1) Т."1 ч З' ' — ан ' 1,/втм 1 Тет ( Т йьт Тлт прн т, = О, Мь у" = и,(х), хте со„, (2) где р, — прометкуточпое значение функции )т(х, Т), равное — Ту -'- ТР т ( РТ! Т те1 — — — — Л.
((т' — и'). 4 длн определения у'"" и ун' имеем разиостные краевые задачи '/ тЛ,Т/'+'Н вЂ” уТ+и' = — Р, Р = у'+ 1/2т(А,у'+ т(/), х ы ым у "'=~ (,=-О Аь ю/ . Л ты тм /Н~-~М Гл »и. УРАВнкниГ тГплопРОВодностн Егмм =- у'+"«+ '/,т(Л,У'""'+ «а!), х »и юм у ю р»+! ! 0 Х» Первая задача ре«лается прогонкой по строкам (!',='1, 2, ..., й!,— 1), вторая — прогонкой по столбцам (0 = 1, 2, ..., )»», — 1), Число действий на один узел конечно и пе зависит от сетки.
Схема (3) устойчива как по начальпьы! данным, так и по правой части прп любых т п )/»( н имеет точность 0(тх+ ~ЬР). В этом можно убедиться путем иск:поченин у'+"' н сведения схемы (1), (2), к эквивалентной двухслойной схеме с факторизованным оператором В;: ье! ! В "+Лу'=-Ф', 1=0,1,..., у«=ти«енН, (4) В=~В+» Л!)~Е-!. ~ Л«), 4ау — Лау= У х а —.—.1, 2, где В = Й вЂ” пространство сеточных функций, заданных во внутренних узлах сетки е»».
Очевидно, что Ла.=. Аа ) 0 г» = 1»2, А»Л« = А«А!. Поэтому В = Е+ тА/2+ т»Л,А»/2 ~ Е+ тА/2) тЛ/2, и схема устойчива. 2. Факторизованные схемы, Оператор В, представленный в виде произведения несколыеях операторов В = =В,В....В„, будем называть //»акторизованным, а соотвотствуюгдую схему , «-';!»! ВУ ~ + 4у'=«р' 1=-0 1 ... У«=у(0) (5) — 4акторизованной гхемой. Если для решения задачи.
Ва Е„, с«=12, с заданной правой частью Е требуется О()!'!/!») число действий, то и для определения у!+' по известному у' надо О(/т!)!») действий (оператор В «экономичен!!). Так как Ву' -В,В,~" =Е, то алгоритм сводится к последовательному решению уравнений Вв ~ Ву у е 3. экопоыг!чнык схемы 253 Опираясь на теорию устойчивости двухслойных схем,нетрудно, отправляясь от схемы с весамп, построить экономичную факторпзоваппую схему (методом регулярпзацин).
Итак, пусть А =- Л, -(- А„В:: Š—;- атЛ = Е + от (А, + Ла), Л„=- Лг', Лг — — Лт. 1 Тогда схема (9) пз $ 2 устойчпва при о'~ о 2 т!! 4)!' Замеггим в (9) оператор В факторизоваппым оператором В = (Е+ атА,)(Е+ отА,), отличающимся от В членом а'т'Л,А., В =В+ агт."ЛгЛг. Б результате получим факторизованнуго схему чгег дг В,— +Адг Фг / О 1 Уо ' ива=И (6) того же порядка аппроксимации 0((а — 1/2)т+ т'), что и походная схема с весамгг. Так как исходная схема с весами устойчива (а ~ о„), то п факторпзоваппая схема (6) устойчива в силу условяя В> В > тЛ/2, которое выпогшепо, еслп А, п Лг перестаповочны и Лев -=. Л„~О, сг = 1,2.
Дгггг определения у"' мы получаем уравпеппе Вуы' = = — /г', плп (Е+ атЛ,)(Е+ атЛ.)д+' =- 1", /г' = Вуг+ т(Фг — Лд'), которое решается последовательно: (Е+ отЛ,)у =-Ег, (Е+атА,)д' ' =у (с соответствующими краевыгш условпямп). Более экономичным (экономия па вычпсленпп правой части г") является следующий алгоритм: (Е+ атЛ,) игьегг Ег = Фг — Ау', (7) (Е + атА,) игг+г иг' ", уг+' = уг + тгиг+'. Однако при етом надо хранить не адин, а два вектора ГЛ. 1 П. УРХВНГПИК ТВПЛОПРОВОДПОСТИ (ш'+'" или шаы и у1). При о = 1 из (7) следует вторая схема переменных направлений (схема Дугласа — Рекфорда) 1+1М, 1 -',- А1у'~'~1+ А,,у' = Ф', 1 Н РЬР1 1 1 1+1И Р1 (Е+ тА„) У 3.
Метод суммарной аппроксимации. Чтобы получить зкономичные схемы для широкого класса задач (уравнения с переменными козффицнептами, области сложной формы и т. д.), необходимо изменить понятие разносткой схемы. Мы отказываемся от обычного понятия аппроксимации, которое мы рассматривали выше, и заменяем его более слабым понятием гуьчмарной аппроксимации. Поясним его. Пусть переход от слоя )' к слою ) + 1 осуществляется в несколько зтапов, на каждом из которых используется обычная двухслойная схема, пе аппроксимирующая исходпоо уравнение, однако сумлга кевязок для каждой промежуточной схемы Р (1-Х фа а. 1 где а ) 0 — *шоно. Предположим. что а=а, +ам л,)0, а,)0, )(1) = (<(Г) +)',(1).
(10) Очевидно, что такое представление возмоягно всегда. Введем сетку ы, = (1, = гг, ) = О, 1, ...) и па каждом шаге (1„1, 1) будем решать вместо (9) последовательно два уравнения ~ аам1 — — + аглн1 — — 71 (1), 11» (» »11-'1м = 11+ —. (11) Ьиз»» 8»» (1+1 4 ар() + птг1м = )т(1)1 стремится к нулю прп стремлении к пулю шага т по переменному й Идею метода суммарной аппроксимации мо1кно положить на примере задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения — + аи — -- 7(1), 1) О, и(0) .=- им (9) в 3. зкопомпчпьп". схкмы с пачальпывпг даппымп ьи;(О) = и(О), пи,(г,.,о.) = п~ (г и) 1= О, 1,, п„,(О) = и,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
