А.А. Самарский - Введение в численные методы (1113832), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(12) 1'ошеннем задачи (11) — (12) явлвется функция п(г) = ии,((). (13) Каждое иа уравнений (11) аппраксимируем двухслойной раапостпой схемой с шагом т/2. Например, возьмем неявную схему У вЂ” У А а /ьпг /г )+их,) (11) , 1+г /ема + агу' Вычислим вевяаки ф, и ф для схем (11). Подставим в (11) '=г) ' и~ =-г' -' ' ~' ' — г'' ' и) г)" — г/ ,) "1,г г~и Р аггг' — -- — ф'„ / = О, 1,..., ег"' — и' '-"1!х +а,и Ымг 3 го, О,р( и)ьг — кг Подставляя сюда о о и'-'' = (и+ ти/2)ипг+ 0(т'), й = (и — ти/2)миг + О( г'), получаем 1гг' = — ~ '2+ а,и — /,)/ + 0( Э (15) ~Р4 = (и/2 + а,и — /,)'ьиг+ 0(т).
Отсюда видно, что фх — — 0(1), ф( = 0(1), однако ф~~+ ф', = 0(т) — ~-0 при т-~.О. (16) Гл. 1'1ь уРАВ вник теплопРОВОдностп чче Все проведенные выше рассуждения, начнпая с (!О), (11), (14), сохраняют силу, если а, и а, — матрицы плп операторы, а и, 1, у — векторы, Таким образом, стена (11), (12) аппраксимирует задачу (9) в суммарном смысле (16) (такие схемы мы называем аддитиань222и). Для доказательство сходимостн схемы (11), (12) кадо получит>, оценку для погре1пности х'+' = у1+' — й21, учитывающую свойство (16) суммарной аппроксимации.
Положим о 2 2Ра = 2Ра + 2(2а~ о 12 22222 = ~ и'2 ' а2п /22) 2 2ь2а = О (т)~ а = 11 2~ 1+1Г1 .1 1-1 х = 61+122+ 2ь'ы22 х = Ч1ь1+ 21ж12 где Ч1 „$О, — решения задач 2 о 2)1.,а = Ч, + т2ро Ч,, = Ч,ч „2+ т2р2, 1=0, 1, ..., Ч„=О, (17) (1+ а,т)Е1~„, —— $1+ тфо (1+ а2т)$12 = $Р2112+ тф,, )=О, 1, ..., (!Я) В,=-о, ,*1,1 21' 2р1 — — 2Г21 — а1тЧ1, 1 „2Р2 =- 2У2 — автц;,. (19) Отсюда находим Ч1ч1 — Ч1+т (2р1+ 2211 =Ч1 = ° =- Ч2 == О, т. е. 2), = 0 лля всех ) = О, 1, ..., и х' = е1.
+1м — ' т ~)2 =- О (т) 112' == О (т) ° (20) Из (16) получаем )~;21 ) .($,)+ т!2р1 ), ~ $1ь1) »<! $1;12(+ т! 1р2! » <!В1! + т 0 2р1 !+! 1)1!), так что справедлива оценка ~ г'" ~( ~~ т(( ф,~+ ~Ц2~), (21) иа которой в силу (17), и следует сходимость со скоростью 0(т) аддитивной схемы (14). а 3. окот>омпчные схемы 257 13мегто (1!) можно взять другую систему уравнений: деп > — + а! дг> =- )1(() т>~ г ~ (>+ ° 'и>(гг) =- ь'((г) л '~,> (22) + агиы> >з(~)г 1> ~ ~ ~~г->г г(т> ((>) гйг> (1>>г)г 7' =- О, 1, ..., оп (О) = и,.
Решеппем этой задачн является фупкцня и(1) = и,м(Е). (23) В отличке от (11) здесь оба уравнеппл интерпретируются на всем отрезке 1, ~ 1 ~ 1г.гг, н поэтому аппроксимация этих уравнений проводптся с шагом т (а не т/2, как в случае (1'1)) и дает те >ке схемы (14). Оба способа сведения задачи (9) к системе задач (11) плн (22) используют одно и то же свойство (2й) н условие ) =,>г + /г, которому всегда можно удовлетво)ш ть.
Рассмотрим в качестве примера уравнение теплопро- водкостн — 1 и + ) (х, >), х =-.. (х„х„), Л гг Ви — Ли =. Х„и+ 1>гг, !„гг.=- — „', а == 1, 2, дх (25) г.г и г.г — «одномерные» операторы. 1'ешенпе уравнения (26) ниы> =- г г гдг> + 1тг г Ъг Г; (1( 1,„, „> — Х„, гег у+г = ь<з> . очевидно, является более простой задачей, чем решение уравнення (25). Условпн В = йг + Е г. >' = >', + /г гарантируя>т суммарную аппрокспмацшо дзя схемы, получающейся прн обычной аппрокспмацпн, папример, с помощью двухслойной схемы с весамп каждого из уравнений снстемьт г>г'г и у > -- ~Р(г> + 1> 1> ~ ~г ~ ~(ю.г ь<П -- и, 258 тл. тгг.
телвпкпии твппопроводпости В результате мы получим аддитивпую схему, локально-одномеркую схему пли схему расьцепления .=.= Л, (агу' ' ' + (1 — а!) у!) + «р'„х ~ юг, г -!-с Ь!-! со Уг У Л ( 1«с+ (1 ) тассо) + хаааа, 1==0,1,..., (27) уо —. ио (х), х е= «ого гысс ! / гс/о 3+! ! Нг У (то =)с У !та =- Рс Здес! Л,у= у-,, Лоу = — у- „. Параметры о, и оо определяются пз условий устойчивости и аипроггсимации. Например, ирп о, = ос = 1 получаем схему с оиереженпет! гс ' а 1.«сlо ! ! г-г«о = Льр , с«ге —:- 1.,у''+«р'., 1=-0 1 Подставляя сюда у'= г'+ и', у'+"' =г' ""+ (ьу+игы с/2, ус+! =го+'+ иы', получим для погрешности г уравпеппя о' 'гы — ог == Л,г! + «р!', сг! сог!г где и — регпеипе походкой задачи (25), грг и гро — певязкгг, равпые ! и-';и 1и — и 1 1и — и гр! — Л,:,; — — — ( гр„сро == Л,гс — — „, — + грм п=п"', п=и', Ото!ода видно, что гр! = 0(1), «р! =-0(1), т.
е. каждое пз уравнений (27) в отдельности ие аппроксивгирует уравнение (25). Возьмем сумму иевязок и+и и — и 2 + о ' рг+ро т = (Е! + со) и — —" + гр! + «ро + О (т + ()с (о)г Я 3 ЭКОНОМИЧГСКИГ СХЕМЫ 9чо где й = и'+". Учитывая уравнение (25) прп (=(;+он по- лучим ~р = ~р, + <р, — Р'и+ 0(т+ )й!') = 0(т+ (я!'), )Ч = Ь,'+ Ьг, осли ср, + (р, = у"+п2+ 0(тв), Этого можно достигнуть, полагая, например, ~р, =О, гр, =~""" нли ср, =<р~ =)Ч2. Можно показать, что схема (27) сходится равномерно со скоростью 0(т+ (й!'), т.
е. ))у'" — и"'!)с = 0(т+ )й!'). Из приведенных примеров видно, что метод суммарной аппроксимации позволяет проводить расщепление ело;нных аадач на последовательность более простых и существенно упрощать решение многомерных задач математической физики, ДОПОЛ11ЕЕ!ИЕ Марш-алгоритм и метод редукции для решения системы линейных уравнений с трехднлгоналъной матрицей Во многих приложениях вгтрсчаготсн задачи, приводящие к ре!иеншо систем линейных алгебрап*иски! уравнений специального вида (с разреженной мзтрнцей, имглощай много ггулевых элементов) высокого порядка. Такие системы возникают прн разностной аппраксимацви эллиптических уравнений илт~ ирв нспальаовании неявны:г схем длн уравнении теилоирооодности и лр.
После аппроксимации обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка па тргхточс ~ноас шаб:нии. в нь !Ч было получено разиостноа урззи~ ииа второго порядка. которое представляет собой систему линейных алгебраичсски. уравнений порядка Л' — 1 (У вЂ” 1 — число внутренних узлов) с тргткиаганальной матрицгй. В 1 3 гл. ! для решения такой системы был построен метод, для реализации которого требуется О(т) арафметичегних операций. Прп аппроксимации двумерного уравнении Пуассона нв иятиточечиои шаблоне в гл. Ч! бьша получена разностизя сы ма. которой сжывстствуст система линейных а.игбраичсских уравнений с !штпдизгоижн пой матрпцей парлдка Д = (У~.-. 1)(Л -- !), гто Л', — 1, Лг — '! — чис.ю внутрсшшх уздав на кшш!аму направлению.
Нри разбиении вектора неизвестных на блоки, содержшциа ио Л'~ — ! элементов. мы получим зашив системы с блочио-трюдпзгоиальиой матрицей, число блакан которой равно Лз — !. Дли такой системы и ! 2 гл. У! бь(л рассмотрен метод разделения ир~ мгппьж с оценкой о(л'!онл) для числа операций. при многакратпам решении систем подобного тина важное значение приобретает экономичность вы ишлитсльиых а:иоритмов. Ниже ау,ит иост1юси прлмой мета;! решения специальных сигтем с трсхдиаганальиой матрпцей, для которого требуется всего 0(Л) операций как н случае, когда элементы матрицы суть скаллры, так и в случае блочпан матрицы.
1. й!арнаазгоритхь Сначала рассмотрим случай. когда элшшиттл матрицы — скаллры. Запишем систему с трехдиагональнаи матрицай в зидс трсшачечнаи разпостпой задачи: — +Су; — у„=у„1 = ~~Л' — 1, у =Ц у, =О, где С вЂ” число, и предположим, чта Л = 2й+ !. Вслп разпасююе уравнение второго порядка (!] записать а виде рекуррептных соотношепнй уы,=Су,— у~,— Га !~~1, уе=-о, (2) то нетрудно заметить, что все неизвестные у; можно найти последовательно ио формуле (2). если наги!м-либо способом вычислить аначенне уг. При зтам любое у; будет линейно выражаться через рз и ув Сказанное дает нам основание записать для я!абати 261 Г[ОПОЛПКПИН < ) 1 соотношение у«, = а,у< — р«-уг О< (8) с неопределенными пока коэффициентами а<, 6» р<, Если положить ,„, =- 1, 6, .= О. р, = О, (4) то (3) будет справедливо и прл < = О.
Г!таь, решение задачи (1) будем искать в ниде (8) для любого < =- .О. Запксынан (1) в виде ракурреитлых соотношений у;,=Су,— у „— Р» < Л' — 1, у, =О (6) И проводя аналогичные рассуждения, получим, что решение задачи (1) для любога < рр <<ажио искать а виде (6) если положить 6<=-1, ц- =О, а<=О. (7) Зазштим, что если у,, будет найдено, то все у< можно вычислить последовательно по формуле (5). Найдем у, и ут, Для этого определим коэффлппепты и» (Г<, $» ц» р» д» Сравнивал (2) и (8) прн < = 1, а (6) и (6) прп < = К вЂ” 1, получим а,=8<=С, бе=<1,=1, р,=р» у<=У«-<, (8) Найц<м теперь рекурргптяыа формулы для определения пег<оных коэффициентов.
Подставим (3), а также вытекающие иэ него выражения длл у; и у< у' == и -<у< (Г -гуз Р<-» у -< †' и<-гу< 6<-гуо — Р<-з в уравнения (1). Получим — (<х,-з — Сп; <+ п,)ю+ ((Г< г — Сб, г.< 6, <)уз+ +Р -".— С!« — тр<=Р» 1~~2. Для тога чтобы этп равенства были тождегтнеипымп для всех <, достаточно положить для < ув 2 р, = ср, , — р, , + р<, (6) а<=Си« вЂ” а< ., 6, <=-Сб< ° — 6< ь (16) Лналопшио, испольэуи (6) и (1), получим для < ~ У вЂ” 2 рекурронтные соотношения У,,=Се„,,— у...+Р„ ал-< = Саг-«- ся-«- т)г'-«- =С<1 я-<-з — Чх-<-з Заменяи адесь д« вЂ” на <, получим для < ~ 2 формулы у<=Се« вЂ” у<,+Рл, (11) $< = Сй;-~ — й<-з, т)<-г = Сц<-.— ц<-з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
