Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Они не инвариантны относительно такого перехода. Этим силы инерции отличаются от «настоящих сил», возникающих при взаимодействии тел. Второе отличие состоит в том, что силь! инерции не подчиняются закону равенства действия и противодействия. Если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к другому телу. Движение тел под действием сил инерции аналогично, таким образом, движению во внешних силовых полях.
Сильс инерцисс всегда являются внешними по отношению к любой движущейся системе материальных тел, 5. Реальны или фиктивны силы инерции? Ответ на этот вопрос зависит от смысла, который вкладьсвается в слова «реальиьсй» и «фиктивный». Если придерживаться ньютоновской механики, согласно которой все силы должны быть результатом взаимодействия тел, то на силы инерции надо смотреть как на фиктивные силы, исчезающие в инерциальных системах отсчета. Однако такая точка зрения не обязательна.
Все взаимодействия осуществляются посредством силовых полей и передаются с конечными скоростями. И на силы инерции можно смотреть как на действия. которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей. Правда, эти поля определенным образом преобразуются при переходе от рассматриваемой системы отсчета к другой системе, движущейся относительно нее ускоренно. Но это не является основанием считать эти силы фиктивными.
Ведь электрические и магнитные силы также преобразуются при переходе к другой системе отсчета (даже от инерциальной к инерциальной). И тем не менее никто не сомневается в реальном существовании электромагнитных полей. Независимо от того, какую из этих точек зрения мы примем, существует много явлений, которые могут быть интерпретированы как проявление сил инерции. Когда поезд набирает скорость, пассажир в вагоне испытывает действие силы, направленной против движения поезда. Если пассажир сидит по ходу поезда, то эта сила прижимает его к спинке сиденья. Это и есть сила инерции. При торможении поезда сила инерции меняет направление и стремится отделить тело пассажира от стенки сиденья.
Если в ускоренно движущемся вагоне висит маятник, то сила инерции стремится отклонить его в сторону, противоположную ускорению. В состоянии равновесия сила инерции уравновешивается силами тяжести и натяжением нити подвеса. Особо заметно проявляются силы инерции при внезапном быстром торможении поезда.
Силы инерции вызывают перегрузки, действующие на летчика или космонавта при больших ускорениях самолета или при запуске и торможении космического корабля, 360 движгние относитез<ьно нвинегцилльных систем 1гл. <х Конечно, все эти явления можно понять, не пользуясь представлением о силах инерции, а рассматривая движение относительно инерциальной системы отсчета. Так, в примере с маятником маятник движется ускоренно относительно инерциальной системь< отсчета. Маятник должен отклониться назад, чтобы возникла сила натяжения с горизонтальной составляющей, направленной вперед. Эта составляющая и сообщает маятнику ускорение.
Однако во многих случаях бывает проще рассматривать явления непосредственно в движущейся системе отсчета, не переходя к инерциальной, Кроме того, иногда затруднительно разделить полную силу, действующую в неинерциальной системе отсчета, на «реальную силу», возникающую из-за взаимодействия тел, и «фиктивную» силу инерции, связанную с ускорением движения системы отсчета. й 64. СИЛЫ ИНЕРЦИИ ПРИ УСКОРЕННОМ ПРОИЗВОЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 1.
Допустим теперь, что система отсчета Б (см. рис. 182) движется относительно неподвижной системы 5< совершенно произвольно. Это движение можно разложить на два: поступательное движение со скоростью яв, равной скорости движения начала координат О, и врон<отельное движение вокруг мгновенной оси, проходящей через это начало. Угловую скорость этого вращения обозначим через щ. Она может меняться как по модулю, так и по направлению. Пусть 1, 1, 1< — единичные векторы (орты) координатных осей системы координат 5, которую мы будем предполагать прямоугольной. Длины этих векторов, поскольку они единичные, остаются неизменными.
Но их направления с течением времени могут измениться. Это переменные векторы. Каждый из них вращается с угловой скоростью <в. Их производные по времени определяются формулами (46.! !). Выпишем эти формулы еще раз: Л = [шц в1 = [щ1[, а = [шя[, <!« ' 1« ' И (64.1) Ход рассуждений остается в точности таким же, как и в предыдущем параграфе.
Усложняются только вычисления, Формулы (63.2) — (63.4), разумеется, остаются без изменения. Остается неизменной и интерпретация слагаемых йв и Йв, Первое есть абсолютная скорость яв, а второе — абсолютное ускорение ав начала координат О. Меняются только слагаемые г и г, которые мы н должны найти. 2. Пусть х, у, г — координаты движущейся точки М в движущейся системе 5. Тогда (64.2) г = х1 + у! + зй. 361 ПРОИЗВОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА Е б41 Дифференцируя это выражение, получим г=(х1+у1+г1с)+ (х — +у +х — .
сс а1 ск) В первой скобке дифференцируются только координаты х, у, в, как если бы единичные векторы с, 1, к, а с ними и система отсчета Б были неподвижными. Такую операцию должен был бы выполнить наблюдатель, покоящийся в системе 5, если бы он поставил перед собой задачу найти скорость точки М в этой системе, т, е. по нашей терминологии относительную скорость ч„„. Таким образом, ч„„= х1 + у1 + з1с. (64.3) Используя далее формулы (64.1) получим х — + уды + е —,= х1со1) + у1со1) + е1соЦ = = 1со(х1 + у1 + с1с) ! = 1сог1.
Таким образом, г =ч„п+ 1сог), (64.4) Окончательно для абсолютной скорости можно написать абс пап + пср (64.5) ч„, = ч„+ [сог1. (64.6) Эта величина есть абсолютная скорость, которую имела бы точка М, если бы она покоилась в движущейся системе отсчета Б. Поэтому-то она и называется переносной скоростью. Переносная скорость слагается из двук частей: скорости чб, с которой движется начало координат О, и скорости 1сог1, возникающей из-за врасцения системы 5 вокруг этого начала. 3.
Несколько сложнее обстоит дело с абсолютным ускорением. Для вычисления абсолютного ускорения продифференцируем выражение ~64.5) по времени. С учетом соотношения (64.6) находим а„-, ЬЯ Чабс = Ч„„+ Чб+ ~СОГ) + ~СОТ!. Производная ч„,„найдется дифференцированием выражения (64.3).
При этом, разумеется, надо дифференцировать не только компоненты относительной скорости х, у, г, но и координатные орты с, 1, 1с. Это делается в точности так же, как и дифференцирование выражения (64.2). Поэтому по аналогии с формулой (64.4) можно написать (64.7) т. е, выражение, совпадающее с (63,5), Однако теперь переносная скорость дается выражением 362 движвниь относиткльно нкинкгцилльных систвм 1гл. сх где а„„= х! + у1 + зк.
(64.8) Последнее выражение дает относительное ускорение. Для его нахождения надо дважды дифференцировать координаты х, у, г, считая координатные орты 1, 1, к неподвижными. Именно так поступал бы наблюдатель, изучающии движение относительно системы отсчета 5 и не подозревающий о ее движении. Поэтому-то величина (64.8) и называется относительным ускорением. Слагаемое [сот] преобразуем, подставив в него выражение (64.6) для г [сот) = [шя„„1 + [со[сог11. Окончательно для абсолютного ускорения найдем а„, = а„ы+ 2[сот„, 1+ то+ [со[сот)! + [сот!. (64 9) Этому результату можно придать вид (64.10) аавс = ао + аког + а чн где (64.11) а„„р — — 2 [соя„,„), (64.12) аеея = то + [со[о>с') ) + [сот).
Вектор а„ер зависит только от движения системы отсчета 5 относительно неподвижной системы 5,. Только такое ускорение испытывала бы точка, если бы покоилась в системе 5. Поэтому вектор аг,я называется нереносньсм ускорением. Наконец, слагаемое а„, = 2[соты„1 зависит как от относительного, так и от переносного движений. Оно называется кориолисовым ускорением, по имени Кориолиса, который впервые ввел это понятие в механику. Равенство (64.10) вместе с выражениями для отдельных слагаемых, стоящих в его правой части, выражает так называемую теорему Кориолиса. Согласно этой теореме абсолютное ускорение являетсн векторной суммой относительного, кориолисова и переносного ускорений.
Исследуем структуру переносного ускорения. Для этого воспользуемся формулой (64.12). Слагаемое то есть переносное ускорение, вызванное поступательным движением системы 5, тождественным с движением начала координат О. Остальные два слагаемых вызываются вращением системы 5. Из них [фг) есть часть переносного ускорения, вызванная неравномерностью вращения.
При равномерном вращении (со = сопзс) это слагаемое пропадает. Другое слагаемое [со[согЦ, обозначаемое в дальнейшем ач, есть 363 5 64! пРОизВОльнОе движение системы ОтсчетА центростремительное ускорение, направленное к мгновенной оси вращения. Действительно, представим радиус-вектор г в виде г = гх + г]], где г[! и г, — компоненты этого радиуса-вектора, направленные вдоль оси вращения и перпендикулярно к ней соответственно. Так как [(от[[] = О, то ач ьв [од[сот]] = [от[фогт]]. Раскрыв по известной формуле двойное векторное произведение и приняв во внимание, что [аког ) = О, получим а„= — взг,.
[64.13) Эта формула и доказывает наше утверждение. 4. Можно было бы теперь перейти к написанию уравнения относительного движения материальной точки. Однако мы хотим еще раз на частном примере получить теорему Кориолиса. Таким путем мы лучше выясним проис- г'„,р хождение кориолисова ускорения и других членов, из которых складывается абсолютное гогн ускорение. М' Г!усть шарик М (рис.
!83) движется вдоль гпгр жесткого стрежня, вращающегося вокруг не- втт(т подвижной оси с угловой скоростью то, лер- г пендикулярной к плоскости рисунка. Его абсолютная скорость тгв, складывается из двух взаимно перпендикулярных скоростей: скорости вдоль стержня и скорости, к нему перпендикулярной. Первая есть относительная скорость в системе отсчета, в которой стержень покоится. Вторая возникает из-за вращения стержня и потому является переносной скоростью. Таким образом, у,з, = т, + т„,, а потому а,в, — — т г, + ув, . П) сть за время Ж сте[зжень повари~ лся иа гор = со г(т.
За то же время шарик перешел из положения М в положение М'. Найдем приращение, которое претерпевает за то же время вектор у Если бы нс было вращения стержня, то зто приращение возникало бы только из-за неравномерности движения вдаль стержня и было бы равно а и Ж. Но из-за поворота вектор т,„получает дополнительное приращение [Дрг„„]. Полное приращение вектора т „будет г(т,ш = а г((+ [шт „~у(Е Теперь найдем приращение вектора ув,р — — [гог].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
