Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 82
Текст из файла (страница 82)
1) где М вЂ” масса Земли. Той же формулой должно определяться ускорение Луны ал на ее орбите: ал = 6 —, (60.2) Л д2' где /т' — радиус лунной орбиты. Таким образом, г 8аас = ~зт 160.3) Если ад известно, то с помощью этой формулы можно вычислить ускорение свободною падения «,6, на поверхности Земли. Это н было сделано Ньютоном. Ускорение Луны ад можно вычислить, зная /Т и период обращения Луны по ее орбите Т 1относнтельно звезд). Эти величины равны соответственно /т' = 3,844 105 км, 7' = 27,32 суток. Используя их, находим ал — — — /1 = 0,2723 см/сг. (60.4) т2 Средний радиус земного шара г, определяемый из условия, чтобы величина 4'зтсгз равнялась объему Земли, равен г = 6371 км.
Подставляя эти данные в формулу (60.3), получим я 6, = 991,4 см/сг. Эта величина близка к экспериментальным значениям: на полюсе «аа, = 983,2 см/сг, на экваторе еае, = 981,4 см/сг. Близкое совпадение может рассматриваться как подтверждение гипотезы Ньютона. *) Сила веса, о которой идет речь в атом утверждении, строго шворя, равна силе гравитационного притяжения только в том случае, когда взвешивание производится на весах, покоящихся или не имегощих ускорения относительно инерциальной системы отсчета(см. Т 66) зяб 1гл. уш тяготвник Небольшое расхождение обусловлено, главным образом, тем, что мы не учли движение самой Земли. Формула (60.4) дает ускорение Луны относительно Земли (ал)„в, тогда как в формулу (60.3) должно входить ускорениеЛуны относительно инерциальной системы отсчета (ад)ве,. Согласно формуле (59,4) эти ускорения связаны между собой соотношением (ал) = 1+лх (ал)ае ° где т — масса Луны.
Следовательно, вычисленное выше значение 8ве, надо уменьшить в (1+ пг/М) раз. Отношение массы Луны к массе Земли составляет т/М= 1/81. Введя эту поправку, получим «,е, = 979,3 см/с~, что значительно лучше согласуется с опытом. Оставшееся небольшое расхождение можно объяснить отступлениями формы Земли от шаровой. Заметим, что с помощью формулы (6.1) можно вычислить массу Земли. Для этого надо знать числовое значение гравитационной постоянной 6. ЗАДАЧИ 1.
Показать, что если высспа над земной поверхностью мала по сравне- нию с радиусом Земли й, то зависимость ускорения свободною падения на Земле от высоты определяется приближенной формулой д = до(! 2 ) = 8а(! 0,00314л), где ке — значение 8 на земной поверхности. Предполагается, что высота а измеряется в километрах. 2.
Для вычисления средней плотности Земли Ь Эйри (180 ! — ! 892) пред- ложил и осуществил следующий метод. Измеряются ускорения свободного падения 8е на поверхности Земли и 8 в шахте глубиной а. Принимается, что плотность Земли в поверхностном слое толщиной Л однородна и равна Ьв — — 2,5 г/смз. (Это предположение плохо соответствует действительности.) В опытах Эйри было я — 8з — — 0,000052 8е, й/л = 1б 000 (Я вЂ” радиус Зем- ли). Пользуясь этими данными, вычислить среднюю плотность Земли.
(Об- ратите внимание, что я вблизи поверхности Земли возрастает с глубиной! Чем это объясняется?) зв„ Ответ. б " б,5г/смз. х — ьл ь 3. Допустим, что в земном шаре вдоль оси вращения просверлен капал от полюса к полюсу. Как будет двигаться материальная точка, помещенная в такой канал без начальной скорости? Плотность вещества земного шара р счизать однородной. 0 тает.
Точка будет совершать гармонические колебания с крушвой час- тотой, определяемой соотношением го~ = 4/з лрб = 8/й, где й — радиус земно- го шара, д — ускорение свободного падения на поверхности Земли. Период 347 8 вг1 космичвскик скогости этих колебаний Т = 2лчА/д = 84 мин. Интересно отмстить, что ггериод колебании зависит тозысо от плотности шари, но нв зависит от его размеров. Определить начальную скорость метеоритов г~ . если максимальное прицельное расстояние, нри котором они сщс падают на Землю, равно 1 П > й, где Я вЂ” радиус земного шара). Получить числовой ответ нрн ( = 2 й. (См.
примечание к задаче Х 58.) Ответ. и„= Я)) —" —. При 1= 2А гг„= ) — — ей 6 5 кмгс. .Г2 и .Е 1)гг гг 1з 5. Вычислить массу Земли, используя параметры орбиты советского искусственного спутника «Космос-380». Период обращения спутника (относительно звезд) Т = 102,2 мин, расстояние до поверхности Земли в неригсе 210 км, а апогее 1548 км. Землю считать шаром с радиусом 6371 км. г 2 Ответ.
М = — — 6 10 г, где а — половина длины большой осн эл- 44« и 27 о гг пиэтической орбиты спутника. 8 61. КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ лш )Ыт 2 2 г' или в силу соотношения (60.1) тв гггг наес' (61,1) (В дальнейшем будем писать просто 8 вместо 8»ес.) Если энергия Е отрицательна, то движение финитно и будет происходить по эл- липтической траектории. При круговом движении и, = уб — =тг8г. Гм (61.2) Если г — радиус земного шара, то получаемая по этой формуле величина называется первой космической скоростью. Она приблизительно равна 8 кмггс. Минимальное значение Е, при котором движение становится инфинитным, равно нулю. В этом случае получается движение по 1. Теория финитных и инфиннтных движений планет, изложенная в 8 57, полностью применима к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей (разумеется, с выключенными двигателями).
Сопротивление воздуха мы не будем учитывать, предполагая, что движение происходит в достаточно разреженной атмосфере. Кроме того, при движении вблизи Земли мы будем пренебрегать силами гравитационного притяжения Солнца, Луны и планет. Массу Земли будем обозначать буквой М, массу искусственного спутника — буквой и. Полная энергия спутника или космического корабля в поле земного тяготения равна 548 (гл. чш тяготзник параболе со скоростью цв = ч2дг = ц„ч'2 — 11,2 км/с, (61.3) называемой параболической или второй космической скоростью.
Это есть минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно никогда не вернулось на Землю (при условии, что тело не подвергается гравитационному действию со стороны других небесных тел), Если, наконец, полная энергия Е положительна, т. е. начальная скорость тела превосходит вторую космическую скорость, то его движение станет гиперболическим, 2. Совершенно аналогичные вычисления можно провести и для движений в гравитационном поле Солнца. Среднее расстояние до Солнца составляет 150 000 000 км.
Скорость Земли при круговом движении на таком расстоянии 29,8 км/с. Для того чтобы при запуске с такого расстояния тело навсегда покинуло пределы Солнечной систсмы, надо сообщить ему скорость относительно Солнца не меньше 29,8чг2 42,1 км/с. Находясь на Земле, тело движется вместе с ней вокруг Солнца со скоростью 29,8 км/с. Если бы тело не подвергалось действию земного притяжения, то ему достаточно было бы сообщить относительно Земли дополнительную скорость 42,1 — 29,8 = = 12,3 км/с в направлении ее движения, чтобы относительно Солнца оно стало двигаться с параболической скоростью и навсегда покинуло пределы Солнечной системы.
В действительности же для этого требуется ббльшая скорость, так как тело дополнительно должно преодолеть действие земного притяжения. Скорость относительно Земли, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно навсегда покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Значение третьей космической скорости зависит от того, в каком направлении корабль выходит из зоны действия земного тяготения. Она минимальна, если это направление совпадает с направлением орбитального движения Земли вокруг Солнца, и максимальна, когда эти направления противоположны.
Точное вычисление третьей космической скорости довольно крогютливо, так как при этом надо учесть гравитационное взаимодействие трех тол: Солнца, Земли и космического корабля. Однако такое вычисление не представляет большого труда, если пренебречь влиянием поля тяштсния Солнца на движснис космическою корабля в течение всего времени, которос он затрачивает для выхода из зоны действия земного тяготения*). Будем обозначать малыми буквами (г, >, ца) скорости корабля относи- ь) Более подробное рассмотрение показывает (сч.
б б5), чш в действительности прн таком расчета мы пренебрегаем не полем тяготения Солнца, а лишь сто неоднороднос>цьч> в той области пространства, где преобладающим являстся поле тяжести Земли. Однородная составляющая поля тяготения Солнца компенсируется силами инерции, возникающими из-за свободною падения Земли на Солнце. Поэтому ошибка, которую мы делаем при вычнслсяин третьей космической скорости, ничтожна. 349 9 611 КОСМИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ тельно Земли. Все скорости относительно Солнца будем обозначать большими буквами (У, У„, Ув).
Пока корабль движется в поле земно~о тяготения, его движение удобнее относить к системе отсчета, в которой Земля неподвижна. Считая массу Земли М бесконечно большой по сравнению с массой корабля ш, запишем уравнение энергии в виде 2 г ти мм — — Π— = г г 2 где в — скорость корабля в тот момент, когда оп практически выходит из зоны действия земного тяготения, Вводя круговую скорость нг = СМгг, получаем гг = г г — 2ог. После того как корабль выйдет из зоны действия земного тяготения, будем опюсгпь его движение к системе отсчета, в которой неподвижно Солнце. В момент выхода из зоны тяготения скорость корабля ТГ в этой системе равна векторной сумме скорости ч„и скорости кругового движения Земли Ую Если корабль выходит из зоны земного тяготения под углом гТ, то такой же угол будет между скоростями я и ТГ.
Значит, Уг пг 1 2Ул,„соз б. Третья космическая скорость пг найдется из условия У = У„их(2У„. Подставляя это значение для У в предыдущее соотношение, получим квадратное уравнение для п„, из которого найдем Положительный знак перед квадратным корнем выбран потому, что величина по своему смыслу существенно положительна. После этого получим = (~ ~ 'и — В)',~.2 ', (61.4) Минимальное значение третьей космической скорости получится при Э = О (запуск в направлении орбитального движения Земли), а максимальное — при б = и (запуск в направлении против орбитального движения Земли). Для этих значений формула (6!.4) дает (61.5) т5,828 пь2«, г,в ! Вычислим теперь приближенно четвертую космическую скорость г4. Так называется минимальная скорость, которую надо сообпгить ракете, чтобы она могла упасть в заданную точку Солнца. Такая скорость зависит от гюложения этой точки на поверхности Солнца.
На старте ракета движется вокруг Солнца вместе с Землей со скоростью У„.. Чтобы ракета упала на Солнце, ее движение надо затормозить. Как и ранее находим, что при выходе из зоны земного притяжения скорость ракеты будет Тг = Тгх+ я„(относительно Солнца). Наименьшая энергия, которую нужно затратить для замедления, получится тогда, когда скорости Тг и ч„направлены противоположно. В этом случае У = Ух — а (все скорости положительны), а энергия, 350 !гл. тш тяготкнин приходящаяся на единицу массы ракеты, равна а = — (1 г )2 С вЂ” = — — (12 + 2)г н 12) 1 2 М где и = СА — расстояние ракеты до центра Солнца при ее максимальном удалении (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
