Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Поэтому можно воспользоваться формулой (55.8) и написать 4к 4з Г 4ч 8 = — — ' Орг — — — ' Срг, = — — Орй, Рис. 175 где К вЂ” радиус-вектор, проведенный из центра О к центру полости Оп Поле однородно, т. е. во всех точках полости оно одинаково. 8 56. УСКОРЕНИЕ ПЛАНЕТ И КОМЕТ ПРИ ДВИЖЕНИИ ПО КОНИЧЕСКИМ СЕЧЕНИЯМ 1. Замена эллиптических орбит круговыми была произведена в предыдущем параграфе исключительно в целях упрощения вычислений, Рассмотрим теперь задачу более строго, не прибегая к такому упрощению.
Наши вычисления будут справедливы не только для планет, но и для комет. Последние, как показывают наблюдения, двигаются по гиперболам и параболам с фокусом в точке нахождения Солнца, причем это движение подчиняется второму закону Кеплера. Третий закон Кеплера для гиперболических и параболических движений, конечно, теряет смысл. Однако для вычисления ускорения планеты или кометы он не нужен. Действительно, при заданной траектории второй закон Кеплера определяет скорость планеты или кометы на этой траектории.
Этого достаточно, чтобы полностью описать движение тела, т. е. указать его положение и скорость в любой момент времени. Зная это, можно вычислить ускорение тела в любой точке траектории. Приведем это элементарное вычисление. 2. Введем полярную систему координат с полюсом в фокусе Ри где находится Солнце, и полярной осью РА, направленной вдоль большой оси эллипса или гиперболы (рис. 176). Ускорение движущегося тела разложим на радиальную составляющую а„, направленную вдоль радиуса г, и азимутальную составляющую а, перпендикулярную к радиусу.
Они определяются выражениями а„= 'г — хогг, а, = — — „(«гф) 1 (5б.1) ззг 1гл. ! ш тяготвник (см. з' 46). Величина 2' о. = — «2'Р 2 (56.2) есть секториальная скорость, т. е. площадь, описываемая радиусом- вектором планеты или кометы в единицу времени. По второму закону Кеплера она постоянна, а потому 1 а = — — „(2о) =О. Значит, ускорение Р Ф рассматриваемого небесного тела не А имеет азимутальной составляющей, ! Г т, е. направлено к Солнцу, Этот результат был уже получен в з 31 иным путем. Рис 17б Чтобы найти радиальное ускорение а„, надо вычислить производные г и ф. Производная ф определяется формулой (56.2). Для вычисления производной В воспользуемся уравнением конического сечения в полярной системе координат г(! — е соз р) = р, (56.3) где р и е — постоянные величины, из которых первая называется параметрол! эллипса, а вторая — его эксцентриситетом.
Не нарушая общности, обе эти величины можно считать неотрицательными. Для эллипса е< 1, для параболы е = 1, для гиперболы е > 1. В предельных случаях, когда е = О и е =, получаются круг и прямая линия. Дифференцируя уравнение (56.3) по времени, получим «(1 — е соз р) + ег р гйп р = О, или после умножения на г с учетом соотношений (56.2) и (56.3) рг + 2ео ып !р = О.
Вторичное дифференцирование дает рг' + 2 о.е соз !р !Р = О. Подставляя сюда Р = —, е сов р = 1 — —, получим 2в Р г г' 4в 4а 4в г г г= — — + — = — — + рг. 2 3 2 После этого из первой формулы (56.1) находим 4ьл ! эг' (56.4) Таким образом, иэ первых двух законов Кеплера вытекает, нто ускорение планеты или кол!еты обратно пропорционально квадрату ее расстоянии от Солнца. ззз 3 5ы УСКОРЕНИЕ!ТЛАНЕТ И КОМЕТ 3. Третий закон Кеплера позволяет доказать, что коэффициент пропорциональности 4ог/р — один и тот же для всех планет. Докажем это. Площадь эллипса равна лаЬ, где а и Ь вЂ” длины большой и малой полуосей его. Так как секториальная скорость о постоянна, то о = лаЬ/Т, где Т вЂ” период обращения планеты по ее орбите.
Воспользуемся еще формулой аналитической геометрии р= Ьг/а. Тогда из (56.4) получим 4:с'а' г а„=— тг гг. (56.5) (При равномерном вращении по окружности эта формула переходит 4в г в известную формулу а„= — ', .) Вводя постоянную Кеплера тг ' (55.1), получим 4 с:=У~ ас = гг (56.6) Этот результат совпадает с прежней формулой (55.2), но при его выводе здесь были использованы только эмпирические законы Кеплера без привлечения каких бы то ни было дополнительных соображений. Таким образом, формула (55.2) оказалась точной. Этого и следовало ожидать, так как в соответствии с основными положениями механики Ньютона ускорение планеты должно определяться только взаимным расположением Солнца и планеты и не может зависеть от вида траектории и скорости планеты, По той же причине формула (56.6) может служить и для вычисления ускорений комет, хотя третий закон Кеплера для них и не имеет смысла.
В этом случае числовое значение постоянной сЖ' оудет тем же самым, но она не может быть выражена через параметры орбиты кометы формулами, аналогичными (55.1). 4. Движение по параболе можно рассматривать как предельный случай движения по эллипсу, один из фокусов которого удален в бесконечность. Движение по гиперболе нуждается, однако, в некоторых пояснениях. Гипербола состоит из двух не свяванных между собой ветвей. Чтобы Ф обе ветви представлялись единым Ргл ррг уравнением (56.3), надо допустить, чтобы расстояние г могло принимать не только положительные, но и отрииательные значения.
Пусть Ф— угол, определяемый условием Рис. 177 д= 1/е. Он определяет направления асилттот гиперболы (рис. 177). Если ! р! > д, то г положительно. Этому соответствует правая ветвь гиперболы. Если ! р! < Ф, то г отрицательно. Тогда точку кривой надо искать не в направлении по- 334 ~гл, чш тяготкник лупрямой, проведенной под углом р, а в прямо противоположном направлении.
Получится левая ветвь гиперболы. Конечно, движущаяся точка не может перескочить с одной ветви гиперболы на другую. Если на нее действует сила притяжения, то траектория должна быть обращена вогнутостью к силовому центру. Например, если силовой центр (Солнце) находится в фокусе г",, то возможно движение только по правой ветви гиперболы. Однако, чтобы подметить общие закономерности движений по коническим сечениям, а не только по эллипсам, имеет смысл чисто формально ввести вспомогательную материальную точку, движущуюся по левой ветви гиперболы под действием силы отталкивания, исходящей из того же силового центра ги Потенциальная энергия вспомогательной точки представляется выражением мт ГУ = + б . Она положительна, поскольку силы являются силами отталкивания.
Но так как нз левой ветви гиперболл1 величины г отрицательны, то это выражение можно записать в виде мт У= — й . Эта формула в точности совпадает с формулой, которой выражается потенциальная энергия действительной точки, движущейся по правой ветви гиперболы, Поэтому если энергия и момент импульса вспомогательной точки относительно фокуса р, равны соответствующим величинам для действительной точки, то движения обеих точек будут описываться одними и теми хе зравнениями, В математических расчетах имеет значение не то, что движется, а то, какими уравнениями движение описывается, Формально математически дело происходит так, как если бы имелась всего одна материальная точка, обладающая способностью «перескакивать» с одной ветви гиперболы на другую, Пелесообразность такого искусственного подхода будет проиллюстрирована на одном примере в З 58.
Гравитационных сил отталкивания не существует. Но умозрительно их вводить можно. Кроме того, силы отталкивания возникают при электрических взаимодействиях одноименно заряженных частиц. Они, как и силы тяготения, убывают обратно пропорционально квадрату расстояния. Поэтому движение под действием сил отталкивания представляет не только умозрительный, но и физический интерес.
й 57. УСЛОВИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО, ПАРАБОЛИЧЕСКОГО И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЙ 1. Когда траектория эллитпичегкая, двихение планеты финитно, т. е. планета движется в ограниченной области пространства, не уходя в бесконечность. Напротив, в случае гиперболических и параболических траекторий двихение инфинитно — движение планеты не стеснено определенной областью 335 Е 5П движение пО эллипсу, пАРАБОле и ГипеРБОле пространства, она может удаляться в бесконечность. Таким образом, задача сводится, к нахождению условий финитности и ннфинитности движения планеты.
Если Š— полная энергия планеты, то 2 « — б = Е = сопзп (57.1) т«зф = Е = сопз!. (57. 2) Исключим из этих уравнений угловую скорость р. С этой целью разложим полную скорость о на радиальную составляющую 77„и азимутальную составляющую «ф. Тогда и уравнение (57,1) примет вид — 772 — 6 + = Е = сопзп 2 " «2 воз (57.3) Это уравнение содержит только одну неизвестную — радиальную скорость ос Формально оно может рассматриваться как уравнение энергии для одномерного — радиального — движения точки.
Роль потенциальной энергии играет функция 1(«) 6 + г 2т«~ 2. Задача свелась к нахождению условий финитности и инфинитности одномерною движения с потенциальной энергией 1«(«). Этот вопрос был исследован в э 25. Наиболее удобен для решения задачи графический метод. На рис. 178 штриховые кривые представляют соответственно графики функций Мт 1«1(«) = — 6 72 «2(«) 2т«7 причем предполагается, что Ь ~ О. Интересующая нас кривая 1«(«) найдется сложением ординат этих двух графиков. При « — О функция 1«2(«) быстрее стремится к бесконечности, чем функция 1«,(«).
Поэтому при малых «функция 1«(«) = 1«,1«) + 1«21«) положительна Кинетическую энергию Солнца мы не учитываем, считая, что она пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией планеты. Это справедливо ввиду малости массы планеты по сравнению с массой Солнца, Аналогично если Š— момент импутьса планеты относительно Солнца, то ззь )гл, щп тяготкник и асимптотически стремится к + », когда г- О. Наоборот, при г — +«функция У)(г) медленнее приближается к нулю, чем Уз(г).
Поэтому при больших г функция У(г) отрицательна и асимптотически приближается к нулю, когда г — ю. График этой функции представлен на рис. 178 сплошной линией. Кривая У(г) имеет вид «потенциальной ямы». Если Е = О, то У(г) ья У<(г), минимум на кривой смещается в начало координат и уходит в — ««. Это соответствует случаю, когда планета ! движется вдоль прямой, проходяс У=В шей через центр Солнца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
