Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Чтобы доказать это, надо от рассмотрения круговых движений перейти к исследованию движений по эллипсу. Это будет сделано в следующем параграфе. Но можно обойтись и круговыми движениями, если использовать добавочное предположение, что сила взаимодействия между Солнцем и планетой зависит только от мгновенного расстояния между ними, но не зависит от формы траектории, по которой движется планета. Тогда формулы (55.2) и (55.3) можно применять не только к разным планетам, обращающимся по круговым орбитам на разных расстояниях от Солнца, но и к различным положениям одной и той же планеты, движущейся по эллиптической траектории. 2. Коэффициент пропорциональности 4пз;..Х', входящий в формулы (55.2) и (55.3), — один и тот же для всех планет, а гютому он не может зависеть от массы планеты. Он может, однако, зависеть от параметров, характеризующих Солнце, поскольку последнее является источником сил, заставляющих планеты двигаться по замкнутым орбитам.
Но Солнце и планета в их взаимодействии выступают как равнопривныв тела. Различие между ними только количественное. Они отличаются друг от друга массами. И если сила взаимодействия Г пропорциональна массе планеты т, то она должна быть пропорциональна также и массе Солнца М. Для этой силы можно поэтому написать ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА И ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 323 3 55< где 6 — новая постоянная, уже не зависящая нн от массы Солнца, ни от массы планеты.
Сравнивая эту формулу с (55.3), получаем следующее выражение для постоянной Кеплера: а 6М <5<. — = — = — ' (55.5) 3. Далее, Солнце и планеты отличаются друг от друга и от других тел только количественно — значениями масс. Поэтому естественно предположить, что притяжение существует ие только между Солнцем и планетой, но н между планетами, а также между любыми другими телами, и что сила притяжения определяется формулой (55.4), в которой под М н т следует понимать массы взаимодействующих тел. Это предположение было введено Ньютоном и подтвердилось на опыте. Он сформулировал закон всемирного тяготения, согласно которому любые два тела (материальные точки) притягива>отея друг к другу с силами, пропорционалы<ыми произведению их масс и обратно пропорииональпыми квидрату расстояния между >шлш.
Такие силы называются гравитационны.чи или силами всемирного тяготения. Коэффициент пропорциональности б, входящий в формулу (55.4), один и тот же для всех тел. В этом смысле он является универсальной постоянной. Это одна из важнейших мировых постоянных, называемая гравитационной постоянной. В приведенной формулировке закона всемирного тяготения предполагается, что взаимодействующие тела являются точечными. ч>изически это означает, что размеры тел очень малы по сравнению с расстоянием между ними. Здесь, как и всегда в физике, слова «велик» и «мал» употребляются в относительном смысле — велик илн мал по сравнению с чем-то. Указанное условие хорошо выполняется для взаимодействий Солнца с планетами, планет между собой и со спутниками.
Но если речь идет о гравитационном притяжении двух тел с размерами 10 см, когда расстояние между их центрами масс составляет, например, 20 ем, то такие тела не могут рассматриваться как точечные. Чтобы рассчитать их гравитационное взаимодействие, надо мысленно разбить каждое тело на очень малые части, подсчитать по формуле (55,4) силы притяжения между такими частями, а затем и эти силы геометрически сложить (проинтегрировать). В основе этого вычисления лежит принцип суперпозиции гравитационных полей.
Согласно этому принципу гравитационное поле, возбуждаемое какой-либо массой, совершенно не зависит от наличия других масс. Кроме того, гравитаиионное поле, создаваемое несколькими телами, равно геол<етрическ<>й сумме гравитационных полей, возбуждаел<ых этими телами в отдельности. Принцип этот является обобщением опыта. Пользуясь принципом суперпозиции легко доказать, что два однородных шара притягиваются между собой так, как если бы их 224 ~гл, ши тяготкник массы были сконцентрированы в их центрах (см. задачи 2, 3, 4 к этому параграфу. Заметим еще, что каждая планета подвергается гравитационному притяжению не только Солнца, но и других тел Солнечной системы, Однако масса Солнца является преобладающей.
Она более чем в 700 раз превосходит общую массу планет и всех остальных тел Солнечной системы. Благодаря этому Солнце является основным телом, управляющим движением планет. Законы Кеплера можно вывести из закона всемирного тяготения Ньютона (см. З 62). При таком выводе предполагается, что единственной силой, действующей на планету, является гравитационное притяжение Солнца, Поэтому законы Келлера являются приближеннььчи законал7и, не учитывающими гравитационное действие остальных тел Солнечной системы, 4. Во времена Ньютона закон всемирного тяготения был подтвержден только астрономическими наблюдениями над движениями планет н нх спутников.
Впервые непосредственное экспериментальное доказательство этого закона для земных тел, а также численное определение гравитационной постоянной 6 были даны английским физиком Г. Кавендишем (1731 — 1810) в 1798 г. Прибор Кавендиша состоял из легкого горизонтального коромысла (рис. 171а), на концах которого укреплялись два одинаковых свинцовых шарика мас- В, К В 1 Рис. 17! сой т, Коромысло подвешивалось на тонкой вертикальной нити аб. Вблизи свинцовых шариков массой т помещались два других больших свинцовых шара с массой М каждый, причем М))т. Шары помешались сначала в положении АА, затем переводились в положение ВВ 1рис. 171б). Благодаря гравитационному взаимодействию шариков т с шарами М коромысло поворачивалось из положения равновесия.
Угол кручения и измерялся наблюдением луча света, отражавшегося от зеркальца 5, Если г — расстояние между центрами малого и большого шаров, а 1 — длина коромысла, то момент пары гравитационных сил, поворачивающих коромысло, будет й, 1. В положении равновесия этот вращающий момент должен ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА И ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 325 Е 551 быть уравновешен упругим моментом закрученной нити 7а. Написав условие равновесия для положения свинцовых шаров сначала в АА (а = а,), а затем в ВВ (а = иг), получим два уравнения Уп, = б иг"' 1, Упг= ~ г Из них находим 7(п,— пг) =20 гв 1.
Модуль кручения 2 легко найти, наблюдая период свободных колебаний коромысла Т = 2л~ — = 2л~~ У 12! В результате получаем О = Аг ~. (а1 — аг) 5. Другой метод определения гравитационной постоянной был предложен немецким физиком-экспериментатором Филиппом Жолли (1809 — 1880) в 1878 г. На одном из плеч рычажных весов одна под другой подвешены две чашки 1'рис. 172), между которыми установлено неподвижно тяжелое свинцовое тело массой М правильной геометрической формы.
В этом теле просверлен вертикальный ка- 0 нал, сквозь который свободно проходит проволока, соединяющая обе чашки. Если на верхнюю чашку положить тело массой лг, то на него будет действовать вниз сила м Д, = тК + г", где г — сила гравитационного притяжения между массами М и т. Она рав- мт на т = усй, где у — расстояние между уг центрами рассматриваемых масс, а ус — числовой коэффициент, зависящий от формы тела М. Для тел правильной геометрической Ряс. Г22 формы его можно вычислить теоретически. Для шара ус = 1. Если массу лу перенести в нижнее положение, то сила г изменит направление. Сила, действующая вниз, станет Цг = те — Р.
Значения Д, и Дг определяются по весу гирь, которые надо положить на чашку весов, подвешенную к другому плечу коромысла, чтобы весы находились в равновесии. Таким образом, Из этого соотношения и можно вычислить б. 326 1гл, чш тяготкник 6. Измерения 6 современными методами привели к результату 6 = 16,6725 + 0,0005) 10 з дни смг г 2 = = (6,6726 ~0,0005) 10 и Н.мз кг 2. Гравитационная постоянная, как мы видим, весьма мала.
Поэтому и гравитационные взаимодействия между обычными телами, даже считающимися большими с общежитейской точки зрения, ничтожно малы. Нетрудно подсчитать, что два точечных тела с массами по одному килограмму, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, притягиваются с силой г" = 6,67.10 " Н = 6,67 10 ь дин. Гравитационные силы ничтожны, когда речь идет о взаимодействии элементарных частиц. Здесь эти силы, принимая во внимание современное состояние теории элементарных частиц, не учитываются. Но, возможно, их надо будет учитывать при переходе к взаимодействиям на расстояниях порядка 10 за ем (см.
задачу 1 к этому параграфу). Они являются основными силами, управляющими движением и эволюцией небесных тел, массы которых очень велики. В этих случаях наиболее интенсивные — ядерные — силы совсем не проявляются, поскольку их радиус действия всего порядка 10 'з см. Электрические силы, как и силы всемирного тяготения, являются силами дальнодействуюи1ими.
Они убывают также обратно пропорционально квадрату расстояния. Однако на движение астрономических тел электрические силы не оказывают влияния, так как они могу~ быть и силами притяжения, и силами отталкивания. Все тела в высокой степени электрически нейтральны, действие положительных зарядов тела компенсируется равным и противоположно направленным действием отрицательных зарядов. Иное дело — гравитационные силы. Они всегда являются силами притяжения. Гравитационные поля тел складываются, а не вычитаются. Это обстоятельство и является причиной того, почему из всех фундаментальных сил гравитационные силы остаются единственными силами, управляющими движением массивных астрономических тел.
7. Ньютон ограничился констатацией наличия гравитационных сил и их количественным описанием. Но он воздержался от каких бы то ни было высказываний относительно их физической природы, справедливо считая, что по этому вопросу в его время, кроме фантастических измгяшлений, ничего сказать было нельзя. После Ньютона было немало попыток дать наглядное физическое объяснение гравитационного притяжения. Никакого научного и даже исторического интереса эти попытки в настоящее время не имеют.
Теория тяготения получила дальнейшее развитие в общей теории относительности Эйнштейна. Но в ней речь идет не о наглядном физическом объяснении тяготения, а о новом способе описания его и об обобщении ньютоновского закона тяготения. Отказ Ньютона от объяснения тяготения, от сведения его к другим физическим явлениям был воспринят его приверженцами как ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА И ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 327 Е 55! общефизическая концепция ггелосредствеггггого действия на расстоянии. Эта концепция не только считает тяготение неотъемлемым свойством материи, но идет значительно дальше.
Она считает, что каждому телу присуща способность непосредственно воздействовать на другие тела, находящиеся в других местах пространства, причем зто воздействие осуществляется без какого бы то ни было участия промежуточной среды или других физических агентов, Непосредственное действие на расстоянии отвергается современной наукой, Современная физика считает, что все взаимодействия осушествляются лолямш Однако она не пытается представить механизм действия поля как-то наглядно, Она наделяет поле лишь способностью к объективному существованию и к передаче взаимодействий, Тело А не непосредственно действует на тело В. Оно создает вокруг себя гравитационное поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
