Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Отсюда видно, что вращение вокруг главной оси центрального эллипсоида инерции может продел>катков вечно. Это совпадает с доказанным выше утверждением, что главные оси центрального эллипсоида инерции являются также свободными осями вращения. 5. С помощью такой интерпретации Пуансо легко также исследовать вопрос, вращение вокруг каких свободных осей является устойчивым, а вокруг каких — неусгойчивым. Вопрос этот сводится к отысканию уравнения конуса паладин относительно координатной системы, связанной с телом. Выберем в качестве таковой систему главных осей.
Пусть ось Х является осью наибольшего, а ось 2 — наименьшего моментов инерции. Таким образом, мы полагаем 7,>7 >ус (54.1) У 3!8 (Гл. Ун МЕХЛНИКЛ ТВЕРДОГО ТЕЛЛ В каждый момент времени движение тела есть вращение вокруг мгновенной оси. При вращении сохраняется кинетическая энергия тела: 1,ю', + 1т 2+ 1, Г = 2К = (54.2) Кроме того, сохраняется момент импульса тела: ! =1<со 1+1<о)+1ш К Возведя это соотношение в квадрат, получим 1гшг, 1г<ог + 1г<ог 1.2 = сопз1. (54.3> Умножив уравнение (54.2) на йгш 12!(2К) и вычтя из уравнения (54.3>, получим однородное уравнение 1 (1 — йг) сот + 1т (1, — йг) сот + 1 (1, — й ) ш, = О, которому должны удовлетворять компоненты вектора угловой скорости со.
Уравнение мгновенной оси можно записать в виде г = рш, где р — переменный параметр, который может принимать любые значения. Найдя отсюда со,, сои со и поДставив полУченные значениа в ВРеДыДУп(ее УРавнение, виДим, что координаты точек мгновенной оси должны удовлетворять однородному уравнению второго порядка 1 (1 — 62)х +1 (1 — 62)уз+ 1 (1 — 62)гг = О. (54 5> Это значит, что мгновенная ось вращения лежит на поверхности (54.5), т. с.
на поверхности конуса второго порядка. Этот конус и будет конусом паладин, так как по самому определению конус паладин есть линейная поверхность, образованная последовательными положениями в теле мгповешюй оси вращения. б. Вид конуса паладин (54 5) зависит от значения параметра йг га Ю(2К). Очевидно, все коэффициенты уравнения (54.5) нс могут иметь одинаковые знаки, так как в этом случае уравнение не может удовлетворяться вещественными значениями х, у, г. Отсюда следует, что 1, — 6 > О. Действительно, ес- 2 ли бы 1, — йг было меньше нуля, то в силу условия (54. 1) величины 1„— йг и 1. — й тем более были бы меныпе нуля, т.
е. все три коэффициента в уравне- 2 нии (54.5> были бы отрицательны. А это, как мы показали, невозможно. Заметив это, видим, что ма<ус представляться только два случая: !> (1< — 6) >О, (1,— 62) <О; 2> (1, — й'> < О, (1, — й') < О. В первом случае уравнение (54.5> имеет вид Ах + Вуг — Сгг = О, где А, В, С вЂ” положительные постоянные, причем А > В > С. Сечение конуса паладин плоскостью г = а = сопя( есть эллипс Ах + Ву = Са, а потому г,г г конус паладин окружает ось паименыпего момента инерции х. Напротив, сечения его плоскостями х = сопз1 и у = сопя! имеют гиперболическую форму. Во втором случае уравнение конуса Володин имеет вид Ах — Луг — Сгг = О с положительными постоянными А, В, С.
В этом случае в сечении получается эллипс, если оно производится плоскостью х = сапы. При сечении же плоскостями у = сопв1 и г = сопв1 образуются гиперболы. ВРлн(ение по инеРции ВОкРуГ ншгОдВижной точки з)9 9 54) Таким образом, в зависимости от значения параметра В конус нолодии окружает лино огь наибольигего, либо ось наилюньгиего мамонтов инерции тела.
Но он никогда не окружает огь прол1ежуточного .июмента инерции. 7. Теперь вопрос об устойчивости вращения относительно свободных осей тела решается тривиально. Если тело вращается по инерции вокруг одной из свободных осей, то при наличии возмущения зто вращение будет искажено. После прекращения возмущения мгновенная ось начнет описывать в теле конус володин. Если вращение происходило вокруг оси с наибольшим или наименьшим моментами инерции, а возмущение было мало, то после прекращения последнего возникает конус гюлодии малого раствора, окружающий зту ось. Двигаясь по нему, мгновенная ось все время будет проходить вблизи свободной оси, вокруг которой было возбуждено первоначальное вращение тела, Это значит, чш вращение вокруг такой оси является устойчивым.
Напротив, если тело первоначально вращалось вокруг оси промежуточного момента инерции, го после воздействия малого возмущения возникает конус Володин широкого раствора, окружающий либо ось наибольшего, либо ось наименьшего моментов инерции. Двигаясь по такому конусу, мгновенная ось вращения далеко уйдет от своего исходного направления.
Следовательно, вращение вокруг свободной оси с промежуточным моментом инерции является неустойчивым. 8. Если момент инерции относительно каких-либо главных осей, например Х и У, совпадают между собой (1,. = 1,), то эллипсоид инерции и конус гюлодии будут обладать симметрией вращения относительно оси к.
Конус паладин имеет видА(х + у ) — Сгг = О, где А и С вЂ” положительные постоянные. Его сечение плоскостью, перпендикулярной к оси Е, будет круговым. Сечения же плоскостями, параллельными этой оси, будут гиперболическими. Конус паладин, таким образом, окружает ось Е. Вращение вокруг этой оси будет устойчивым, а вращение вокруг перпендикулярной к ней оси — неустойчивым. Действителыю, если вращение совершалось, например, вокруг оси Х и подверглось возмущению, то после прекращения такового мгновенная ось начнет описывать круговой конус Володин с осью симметрии Л. Если возмущение мало, то это будет конус очень большого раствора. Его образующие будут наклонены к оси симметрии Л под углом, близким к 90".
Двигаясь по такому конусу, мгновенная ось вращения далеко уйдет от своего исходного положения в теле. Однако она все время будет оставаться почти перпендикулярной к оси Л. Всякая прямая, перпендикулярная к оси и проходящая через центр масс тела, может служить перманентной осью вращения. Когда моменты инерции 1„1 и 1, совпадают между собой, то коэффициенты уравнения (54.5) тождественно обращаются в нуль. Это означает, что любая ось, проходящая через центр масс гела, может быль свободной осью вращения. 9. Аналитическое исследование вращения твердого тела вокруг неподвижной точки можно производить также на основе уравнений Эйлера. Последние являются следствием уравнения момента импульса твердого тела относительно точки.
Они определяют производную по времени угловой скорости вращения твердого тела (о. Вводится вращающаяся система прямоугольных координат, начало которой совпадает с центром масс тела, а координатные оси направ- зго !ГЛ. РП ЫКХАНИКА ТВЕРДОГО ТВЛА лены вдоль его главных осей Х, У, У. Обозначим через 1, 1, 1с единичные векторы (орты) вдоль осей Х, У, х.. Уравнение моментов относительно начала координат запишется в виде —, (1х сох! + 1усоу! + 1хсох11) = М. Здесь подлежат дифференцированию не только компоненты угловой скорости, но и векторы 1, 1, [с, Моменты же инерции 1х, 1,„1х как величины постоянные дифференцировать не надо. Некторьс 1, 1, [с жестко связаны с телом, а потому вращаются вместе с ним.
Производная с1!И! означает скорость точки тела, радиус-вектор которой равен !. Поэтому на основании формулы (46.11) можно написать 3 = [ш!! = шу[111 + шх[Ы! = шх1 — шу[с. Аналогично ,, = сох!1 — ш,1, — = шу! — сох!. суп .
сс'К С использованием этих соотношений получаем 1хш + 1ушх(шх1 шу") +1ушу1+ + 1!со (шх11 — сох!) + 1 оу 1с + 1,ш.(шу1 — ш 1) = = Мх) + М 1 + М 11. Отсюда 1хшх + шушу(1 1у) Мх' (54.6) 1уоуу + шхс Ух(1х 1х) Му' 1хш„+ шхш (1. — 1,) = М . Это и есть уравнения Эйлера. ГЛАВА УП~ ТЯГОТЕНИЕ й 55. ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА И ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ 1. В результате длительной обработки многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге (1546 — 1601) немецкий ученый Кеплер эмпирически установил три закона движений планет.
Эти законы формулируются следующие образом: 1) каждия пли><ета движется по эллипсу, в одном иэ фокусов которого находится Солнце; 2) ридиус-вектор плинеты в равные времени описывает равные площади; 3) квадриты врез<ен обраи1ений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнчи. Первые два закона были опубликованы Кеплером в 1609 г., последний — в 1619 г. Законы Кеплера естественным путем привели Ньютона к открытию эакочи всемирного тяго>пения.
Рассмотрим этот вопрос. Из первого закона Кеплера следует, что траектория планеты— плоская кривая. С учетом этого обстоятельства, как было показано в Е 31, из второго закона Кеплера следует, что сила, заставляющая планету двигаться по замкнутым орбитам, направлена к Солнцу.
Определим теперь, как эта сила изменяется с изменением расстояния от Солнца и как она зависит от массы планеты. Для упрощения расчетов допустим сначала, что планета движется не по эллипсу, а по кругу, в центре которого находится Солнце. Для планет Солнечной системы такое допущение не является особенно грубым, Эллипсы, по которым на самом деле движутся планеты, весьма мало отличаются от кругов, Ускорение планеты при равномерном движении по круговой орбите радиуса г выражается формулой а = — в> г= — — г. г т' Для планет, движущихся по круговым траекториям, третий закон Кеплера записывается в виде т': тг: тг,,,з < г: з: " — <: г: з или 322 1гл, шп тяготкник где тв — постоянная для всех планет Солнечной системы.
Она называется постоянной Кеплера. Через параметры эллиптической орбиты постоянная Кеплера выражается формулой ~,- а (55.1) где а — длина большой полуоси орбиты. Выразив Т через аЯ и г, для ускорения планеты при движении по круговой орбите получим 4в~з7 и„=— (55.2) Сила, действующая на планету, равна 4х Я'т д (55.3) (55.4) где т — масса планеты. Мы доказали, что ускорения двух разных планет, обращающихся вокруг Солнца по круговым орбитам, обратно пропорциональны квадратам расстояний их от Солнца. Но мы еше не доказали, что такая закономерность справедлива и для одной и той зке планеты, обращающейся вокруг Солнца по эллиптической орбите.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
