Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Это поле и воздействует на другое тело В и проявляется в виде силы, действующей на него. ЗАДАЧИ 1. Найти отношение силы гравитационного притяжения между двумя электронами (и двумя протонами) к силе их электростатического отталкивания. ом Ответ. ж =,, где е = 4,8 10 гв ед. СРСЭ вЂ” элементарный заряд. Подставляя в формулу массу электрона ггг„= 9,! ! 10 ~ г н массу протона и„= 1,67 10 >и г, получим для электрона В, /г„, = 2,4 10 гз, для протона В /Р;,=8 1057. 2.
Найти потенциальную энергию н силу гравнтацнонгюго притяжения между однородной полной сферой массой М н материальной точкой массой гн. Р е ш е н н с. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух точечных масс определяется формулой (25.6). Соединим центр сферы О с точкой А, в которой помещена точечная масса т (рис, 173 а и б). Из точки О, как из вершины, опишем два круговых конуса с общей осью ОА, Рнс.
173 образующие которых наклонены к этой оси под углами 0 н 0+ т/гу. Онн вырежут на поверхности сферы элементарной поясок площадью г/5 = 2ягг ып 0 г/>7, где г — радиус сферы. Масса э>ого пояска г/М = г/5 М = М, = — '5)п 0 ай. Так как точки пояска равноудалены от точки А, то 4ят 323 (гл. чш тяготвнин потенциальная энергия гравитационного взаимодействия пояска и точечной массы т равна ди= — С вЂ” "з)пд б. э Перейдем к новой переменной р — расстояние между точечной массой >и и какой-либо точкой пояска.
Э>а переменная связана с О соотношением р = Л + г — юг сов й, где й — расстояние ОА между центром сферы и точечной массой >и. При перемещении вдоль поверхности сферы величины )( и г остаются постоянными, поэтому рь'р = Яг з! и 6 дд, а следовательно, Р„... ди = — С и др, и = — С ь™ ~ др. 2я> ' зи> Р Если точка А лежит вне сферы, то максимальное и минимальное значения р равны соответственно рм„.
= й + г и р „, = )1 — г. В этом случае интегрирование дает и = — с — '""'. (55.б) Я Лишенц>шльная энергия тикая же, как если бы вся лисса сферы бьыш сосредоточена в одной нючке, а именно в иентре сферы. То же справедливо и для силы взаимодействия г. Действительно, согласно (29.3), сила г определяется формулой ии мт Р = — — = — с —. ,(и >,2 Можно сказать, что сфера притяг>швеи> материальную точку тик, как если бы вся ес масса бьта сосредоточена в ее центре. Можно сказать и иначе: точечная масса прин>ягивае>п сферу так, как если бы вся масса последней была сосредоточена в ее иентре.
Если же точка А лежит внутри сферической полости (рис. 173 б), то рм „= г+ й, р „, = г — )1, и интегрирование дает (55.7) На границе полости выражения (55.6) и (55.7) совпадают. Согласно (55.7) потенциальния энергия .натериильной точки внутри полости не зависит от й, она настоянии. Сила г, действующая на материальную >почку в эн>ол> случае, ровни нулю, так как и = сопя(, а гютому с = — — = О. ви ви 3.
Доказать, что две однородные польш сферы притягиваются друг другу так, как если бы их миссы были сосредоточены в их центрах. Доказательство. Если всю массу первого сферического тела сосредоточить в его центре, то создаваемое им гравитационное поле в объеме второго тела не изменится. Вместе с ним пе изменится и сила взаимодействия со стороны первого тела па второе, По третьему закону Ньютона остается неизменной и сила, действующая на первое тело. Задача свелась к взаимо- ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА И ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ Згр 4 551 6 —, = —, р, если г и й.
М 4кпя т 44 г 6(н если г (55.8) При г = )( оба выражения совпадают. б. Подсчитаты равитационную энергию (г' шара радиусом й, равномерно заполненного веществом с объемной плотностью р. Р е ш е н ив. Гравитационная энергия шара есть потенциальная энергия, обусловленная силами тяготения, действующими между материальными точками, на которые можно мысленно разбить шар. Она равна взятой с противоположным знаком работе, которую должны затратить внешние силы, чтобы привести вещество шара в бесконечно разрозненное состояние, когда каждая частица вещества удалена в бесконечность.
Эта работа не зависит от способа, каким шар переводится из начального состояния в конечное. Поэтому при вычислении можно поступить следующим образом. Разобьем мысленно весь шар на бесконечно тонкие концентрические слои и будем последовательно удалять в бесконечность каждый из таких слоев, начиная с самого крайнего. Напряженность поля тяготения в любой точке выделенного слоя, создаваемая веществом, внешним по отношению к этому слою, равна нулю. Поле создается только веществом, которое окружено рассматриваемым слоем. Если т — масса этого вещества, а дпг — масса слоя, то работа, затрачиваемая на удаление действию одной сферы с точечной массой. Повторением рассуждения убедимся, что и массу второго тела можно сосредоточить в одной точке, нс меняя силы взаимодействия тел.
4. Доказать, то два однороднык итра приптгиваютсл друг к другу так, как если бы масса каждого игара бьша сосредоточена в его центре. Доказать также, что если внутри однородного шара имеется сферическая полость, центр которой совпадает с центром шара, то гравитационное поле внутри такой сферы равно нулю. Показать, что эти результаты справедливы и для шаров с концентрически слоистым распределением масс, т. е. таким, когда плотность вещества р в каждом шаре зависит только от расстояния до его центра. 5. Рассчитать напряженность гравитационного поля, т. е.
силу, действующую на единицу массы, внутри и вне шара радиусом й, заполненного веществом с постоянной объемной плотностью р. Р е ш с н и е. Поле вне шара равно д = Π— '„где М— М Г' масса шара. Для вычисления поля в точке А (рис. 174), й г лежащей внутри шара на расстоянии г от центра, проведем через эту точку вспомогательную сферу с центром в точке О. Вещество шара, расположенное вне вспомогательной сферы, не влияет на ноле внутри нее. В частности, оно не влияет на поле в точке А. Гравитационное поле в точке А создается только веществом, со- Рис. 174 средоточенным внутри вспомогательной сферы. Оно равно 6 — „где т — масса вещества, ограниченного вспомогательной сферой.
Таким образом, 330 (гл. гш тяготвник слоя в бесконечность, равна 4(А = Π†. Но для однородного шара ввдвч Р 3 2 пв = АХ вЂ”, где М вЂ” масса всего шара. Поэвому в!А = 36 —, г Фч Учи- !т( 4 ~л) ' Л тывая, что оА = — 4((), и интегрируя, получим () = — 3ом ! гвйг= — -зом (55.9> лв ) 5 л о За нуль потенциальной энергии мы приняли энергию шара в бесконечно разрозненном состоянии. Интересны астрофизические применения формулы (55.9). Физиков давно интересовал вопрос об источниках энергии, излучаемой Солнцем и звездами. В прошлом веке немецкий естествоиспытатель Герман Гельмгольц (1821 — !894> и английский физик Уильям Томсон (Кельвин) (1824 — 1907) выдвинули гипотезу, согласно которой Солнце непрерывно сжимается под действием гравитационных сил.
Выделяющееся при этом тепло и идет на излучение Солнца. Максимальная энергия, которая может выделиться в процессе гравитациовнюго сжатия Солнца, соответствует начальному состоянию, в котором вещество Солнца было равномерно распределено по всему бесконечному пространству. Ьудем считать, что в конечном состоянии плотность солнечного вещества одинакова по всему его объему.
В действительности она, конечно, возрастает к центру Солнца. Однако для оценок наше предположение не является очень грубым. Приняв его, можно воспользоваться формулой (55.9). Масса Солнца М = 2 1033 г. радиус В = 7 10!в см. Используя эти данные, получаем для выделившейся энергии Е = л = 2,29 10 эр ' В настоящее время скорость излучения энергии Солнца составляет 3,83 1033 эргlс. Если считать (при грубых оценках это допустимо), что эта скорость была постоянна во времени, то для возраста Солнца получится величина дхвн >Овв „= б.
1Ом с = 1,9 1О лет. 3,83 40 Если воспользоваться распределением плотности вещества, соответствующим принятым в настоящее время моделям Солнца, то время ( возрастет примерно в б 1О лет. Но и эта величина слишком мала. Возраст Земли по веологичсским оценкам составляет около 4 — 4,5 10" лет. Возраст Солнца нс меньше.
Это показывает, что на настоящей стадии эволюции гравитационное сжатие является слишком слабым источником, чтобы покрыть потери энергии Солгща на излучение. В действительности источником солнечной энергии, равно как и энергии, излучаемой нормальными звездами, являются ядерввые реакдли, идущие в недрах Солнца и звезд. Конечнылв итггггьч осноавых из этих реакций явяяетгя ввреврап(ение водорода в гелий. Следует, однако, заметить, что вравитационное сжатие становится основным источником энергии на более поздних стадиях эволюции звезд (белые карлики, нейтронные звезды, или пульсары, коллапсары, или вчерные дырыв). ЗЗ1 1 5Ы УСКОРЕНИЕ!ТЛАНЕТ И КОЛ1ЕТ 7. В сплошном однородном шаре с плотностью вещества р сделана сфе- рическая полость, центр которой О1 смешон опюсительно центра шара О (рис.
175). Найти гравитационное поле в такой полости. Р е ш е н и е. Вообразим, что полость заполнена веществом, плотность которош равна плотности шара. Тогда искомое гравитационное поле 8 представится разностью гравитационных полей г~ двух салонных шаров с центрами в О и О~ соот- О О, вегсгвенно. Точка наблюдения А расположена внутри каждого из этих шаров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
