Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 75
Текст из файла (страница 75)
останется вращением вокруг прежней оси Х. Для этого необходимо, чтобы Е = М = О. Следовательно, ось вращения должна проходить через центр масс и, кроче того, должно быть 1, =1„, = О Последнее условие означает, что ось вращения должна быть одной из главных осей тела. Найденные условия являются и достаточными. Это следует из того, что при их выполнении удаление подшипников не меняет уравнения движения центра масс и уравнения моментов относительно центра масс. Эти же уравнения (при заданных начальных условиях) однозначно определяют движение твердого тела. 5.
Итак, во вслкоч твердом теле существуют три взаимно перпендикуллрньи. оси, совпадаюи(ие с главныии осими центрального эллшгсоида инерции тела, вокруг которы.х тело .чожет врищатьсл без воздействия внешних сил. Такие оси называются поэтому свободнылги или нер,ианентными осллш вращенил. Последним термином хотят подчеркнуть, что вращение твердого тела по инерпии в отсутствие возмущений может продолжаться сколь угодно долго. Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, с которыми в реальных условиях всегда надо считаться. Если при наличии !аковых характер движения тела меняется мало, т. с.
мгновенная ось вращения хотя и непрерывно изменяет свое положение в теле и пространстве, но все время проходит очень близко от соответствующей свободной оси, то вращение вокруг последней будет устойчивььч. Если же сколь угодно малое возмущение существенно меняет характер движения тела, т. е. далеко уводит мгновенную ось от исходного направления, вокруг которого первоначально вращалось тело, то это вращение называется леус!пойч!<вым. В следующем параграфе будет показано, что врищение вокруг оси с ниибольшич или ниименьишм .молинтом инерции «вплетен ушпойчивым, а вращение вокруг оси с про.чеж)чпочныч значением лш,чента инерции — неустой швыл!.
Пля демонстрации можно взять картонную коробку прямоугольной формы, у которой длины всех ребер различны. Ось с наибольшим моментом инерции будет, очевидно, параллельна наиболее короткому ребру, с наименьшим моментом инерции — наиболее длинному ребру, с промежуточным — ребру промежуточной длины. Коробку подбрасывают вверх, сообщая сй быстрое вращение вокруг одной из этих осей. Во время полста ось вращения сохраняется, если она является осью с наибольшим или наименьшим моментом инерции. Если же первоначальное вращение было сообщено вокруг оси с промежуточным значением момента инер- ВРЛЩЕНИЕ НО ИНЕРЦИИ ВОКРУГ НИГОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 315 5 541 ции, то мгновенная ось вращения во время полета коробки непрерывно качается, далеко уходя от первоначального направления в теле. Движение коробки приобретает сложный и запутанный характер.
б. Допустим теперь, что твердое тело вращается вокруг какой-то закрепленной или мгновенной оси ОА с постоянной или непостоянной угловой скоростью ю. Найдем его момент импульса Ь относительно начала координат О, а также кинетическую энергию К. По определению ! = ~ (гт) с(т. Подставим сюда ч = (сот) и воспользуемся формулой (г(сот) ) = гзю — (юг) г.
Тогда получим В = со ~ г дт — ~ (сот)г дт В проекциях на координатные оси это соотногнение записывается так: 1., = 1„сг, + 1ца>, + 1, сьо 1., =1,со + 1,,а>г+ 1 св,, Д = 1,со,. + 1„.сот + 1, со, (53.9> или короче 1> = ~' 1чы, П = 1, 2, 3). ,=1 (53.10> Таким образом, компоненты вектора .момента импульса тела являются линейными однороднычи функциямн компонентов вектора»гловой скорости. В системс главных осей формулы (53.9) упрощаются и принимают вид Е, = 1,со,, 1. = 1,со „Е = 1 сьм (53.! 1) В 54. ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО ИНЕРЦИИ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 1. Пуапсо дал простую и наглядную интерпретацию дан>кения твердого тела по инерции вокруг неподвижной точки опоры О.
С твердым телом связывается его эллипсоид инерции с центром в точке опоры О, Движение тела заменяется движением этоп> эллипсоида (см. 9 53, и. 3). В основе интерпретации Пуансо лежат три теоремы, которые мы и докажем. Для краткости будем называть полюсом точку пересечения Р мгновенной оси с поверхностью эллипсоида инерции. Теорема 1. Радиус-вектор, соединяющий точку опоры О с полюсом Р, пропорционален мгновенной угловой скорости врагцения пгела.
Формулы ясно показывают, что в общем случае направления векторов ! и со не совпадают. Кинетическую энергию вращающегося твердого тела легко найти по формуле (47.2). Она равна К = — ((ло) = — ~Ч 1чс>,со . (53.12> г 316 (ГЛ. ГН ьсехлника тВеРдОГО тела При доказательстве исходим из уравнения энергии Х 1, со,со = 2К = сопв1. Возьмем на мгновенной оси точку Я с радиусом-век'у ' I гором г = соЫ2К.
Тогда из уравнения энергии найдем, что координаты точки Я должны удовлетворять уравнению У 1, х„х = 1. Это значит, что точка 'л " с сл Я лежит на поверхности эллипсоида инерции. Так как она лежит на мгновенной оси, то она совпадает с полюсом Р. Итак, радиус-вектор полюса Р связан с вектором угловой скорости со соотношением со = тс2К г. Отсюда и следует доказываемая теорема.
Т с о рва 2. Касательная плоскость к эллипсоиду инерции в улочке нахождения полюса Р перпендикулярна вектору 1 момента ичпульса тела относшпеяьно точки опоры О. При доказательстве можно воспользоваться уравнением эллипсоида инерции в любой системе координат. Но проще взять уравнение этой поверхности в системе главных осей эллипсоида, т. е. 1,х + 1,у +1,гг = 1. Левую часть этого уравнения обозначим через Р'(х, у, г), т. с. запслспсм само уравнение в виде Р(х, у, г) = 1. Как бьшо показано в 9 29 (и. 3), вектор ('( = — 1+ — 1+ — 1с ьа Лгад Р аг .
аг . аг дх ду дс направлен по нормали к поверхности эллипсоида. Иными словами, вектор )ь( перпендикулярен к касательной плоскости, о которой говорится в теореме. Оп равен (ь( = 2 (1т х( + 1, у1 + 1с гК) . На основании предыдущей теоремы его можно представить в виде = 1 (,и, + у у1 + , , ), (ь( = (.сЬ, где н — некоторый скаляр. Это соотношение доказывает теорему.
Ввиду отсутствия внешних сил относительно точки опоры О вектор 1 не меняется по времени. Поэтому не будет менять свое направление и касательная плоскость к эллипсоиду инерции, о которой говорится в теореме. Теорема 3. Длина перпендикуляра, опдчценного из точки опоры О на нлоскосснь, касательную к зллилсоиду инерции в точке нахождения полюса Р, не лсеняется с течением времени. Применим для доказательства уравнение энергии в виде (1. со) = = 2К = сопз1, или 1соь = 2К = сопз1, где со — проекция вектора ш на неизменное направление вектора 1 .
Так как величины 1 и К постоянны, то отсюда следует, что постоянна и проекция ш . Но, как было показано при доказательстве теоремы 1, эта проекция связана с длиной перпендикуляра г соотношением со, =тГ2Кгс, что и требовалось доказать. Из доказанной теоремы следует, что касапсельная плоскоппь к зллипсоиду инерции е точке нахожс1ения полюса негшменна не сполько по направлению, но и по своему положению и пространстве.
Поэтому эту плоскость часто называют неизменяемой плогкостьв. 3 541 ВРЛЩЕНИЕ ЦО ИНЕРЦИИ ВОКРУГ НИ!ОДВИЖНОЙ ТОЧКИ 317 2. Теперь интерпретация Пуансо напрашивается сама собой. Связав с движущимся телом его эллипсоид инерции с центром в точке опоры О, проведем в какой-нибудь момент времени касательную плоскость в точке нахождения полюса в этот момент.
Это будет неизменяемая плоскость в соответствии с теоремами 2 и 3. При этом в полюсе Р не может быть скольжения между эллипсоидом инерции и неизменяемой плоскостью, так как через эту точку проходит мгновенная ось вращения тела. Если катить без скольжения эллипсоид инерции тела по неизменяемой плоскости с угловой скоростью, пропорциональной радиусу-вектору точки касания (т.
с. полюса), то в соответствии с теоремой 1 при таком качении будет воспроизведено (в ускоренном или замедленном темпе) вращение твердого тела, связанного с эллипсоидом инерции. 3. Полюс Р одновременно находится и на поверхности эллипсоида инерции, и на неизменяемой плоскости. Допустим для наглядности, что неизменяемая плоскость закрашена, например, покрыта сажей. При качении эллипсоида инерции на его поверхности и на неизменяемой плоскости остаются следы, показывающие, через какие точки проходил полюс. Кривая, которую описывает полюс на поверхности эллипсоида инерции, называется оолодией.
Плоская же кривая, описываемая тем же полюсом на неизменяемой плоскости, называется герполодией. Если эллипсоид инерции касается неизменяемой плоскости некоторой точкой, то спустя некоторое время он будет касаться той же плоскости той же точкой, но, вообще говоря, уже в другом месте. Иными словами, полюс на поверхности эллипсоида инерции вернется в свое исходное положение. Это показывает, что полодия является замкнутой кривой. Что касается гсрполодии, то она, вообще говоря, не замкнута. Соединив прямыми точки полодии и точки герполодии с точкой опоры О, получим две конические поверхности. Одна коническая поверхность жестко связана с вращающимся телом.
Она называется конусом полодии. Другая неподвижна в пространстве и называешься конусом герполодии. Обе поверхности касаются друг друга вдоль прямой, совпадающей с мгновенной осью вращения. Поэтому между ними нет око>щжения. Движегше тела можно рассмапгривать как качение без скольжения конуса походии по неподвижному конусу гернолодин с угловой скоростью, пропорциональной радиусу-векпгору, проведенному из точки опоры к полюсу. Эта игггерггрстация, также предложенная Пуансо, только словесно отличается от предыдущей интерпретации.
4. Допустим, что свободное тело вращается вокруг одной из главных осей центрального эллипсоида инерции. Тогда в интерпретации Пуансо эллипсоид инерции будет опираться на неизменную плоскость одной из своих вершин, причем соответствующая главная ось будет перпендикулярна к этой плоскости. Полодия и герполодия выродятся в точки, совпадающие с полюсом Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
