Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Поднесем к оси гироскопа, изображенного па рис. 148, горизонтальный стержень. (Ось фигуры гироскопа изображена на рис. 15ба. Сечение стержня плоскостью рисунка изображено заштрихованным кружком. Предполагается, что стержень перпендикулярен к плоскости рисунка.) Возникает сила трения скольжения Рчи параллельная стержню и, следовательно, перпендикулярная к плоскости рисунка. Она изображена )5 штриховой стрелкой. Момент этой силы относитель- Ртр 7 но точки опоры М. = Л г гр = [г Р, 1 ~~~~~ в ~~~~~~- р лчь сти рисунка и направлен Мтр перпендикулярно к стержню и радиусу-вектору г. Он будет стремится вызвать прецессию оси гироскопа в том же направлении.
Но я эта прецессия возникнуть не может, так как ей пре- Рис. 156 пят ствует стержень. Она проявится только в том, что ось гироскопа будет прижиматься к стержню. В результате возникает сила давления Ра, действующая со стороны стер>кня на ось гироскопа. Действие этой силы проявится, во-первых, в увеличении силы Р, . Во-вторых, она вызовет прецессию оси фигуры гироскопа, заставляя э~у ось перемещаться вдоль стержня в ту же сторону, куда направлена сила Р,„г так как момент силы давления М,.„ = (г Р, ) направлен в ту же сторону. Возрастание силы Р, в свою очередь приведет к возрастанию силы Р и к ускорению прецессионного перемещения оси фигуры гироскопа вдоль сгсржня.
Это ускорение прекратится, когда движение оси фигуры со скольжением перейдет в чистое качение. (В описываемом нами опьпе для этого может не хватить времени из-за изменения наклона оси фигуры гироскопа при движении.) Начиная с этого момента сила Р, практически обратится в нуль, сила Р станет постоянной, а прецессионное движение оси фигуры гироскопа вдоль стержня — равномерным. Вместо стержня можно взять какой-либо замкнутый или незамкнутый контур произвольной формы из толстой проволоки. Для демонстрационных 296 (ГЛ. УН ЫЕХЛНИКЛ ТВЕРДОГО ТЕЛА опьпов может служить контур, изображенный на рис. 156 б.
Контур закрепляется на штативе в горизонтальном положении вблизи оси фигуры гироскопа. Если ось фигуры верхним концом привести в соприкосновение с контуром, то она начинает «бегать» по этому контуру, переходя последовательно из положения / в положение 2, 3 и т. д. При этом ось фигуры гироскопа сильно прижимается к контуру. Это очень красивый демонстрационный опыт. Описанное явление называется пер иметрическим движениел1 гироскопа. ЗАДАЧИ 1. Герой романа Жюля Верна «Вверх дном» предлагал повернуть земную ось, выпустив с Земли тяжелый снаряд. Оценить, с какой минимальной скоростью г нужно выпустить на полюсе Земли снаряд массой л1 = 1000 т, чтобы повернуть в пространстве мгновенную ось вращения Земли на угол и = 1'.
Масса Земли М = 6 !02' т. Длина градуса земною меридиана / = 111 км. Землю считать однородным твердым шаром (см. задачи 23 и 24 к 9 37>. Решен ив. Максимальный поворот получится, когда скорость снаряда перпендикулярна к земной оси. Снаряд уносит момент импульса 1. =, перпендикулярный к скорости Р.
Земля получает такой же мою 1««! т 1 — «2/«2 мент в обратном направлении. При этом вектор угловой скорости вращения Земли со отклоняется вбок на угол п =///«о. Подставив сюда /= 2/З Мг и учтя, что разность с — о очень мала, получим 2 2 я М2 12 2. Симметричный волчок, ось фигуры которого наклонена под углом и к вертикали (см. рис. !54), совершает регулярную прецсссию под действием силы тяжести. Точка опоры волчка О неподвижна.
Определить, под каким углом (т к вертикали направлена сила, с которой волчок действует на плоскость опоры. 2 1 и 3. Гироскопический маятник, используемый в качестве авиаюризонта характеризуется параметрами, приведенными в п. 4 этого параграфа. Когда самолет двигался равномерно, ось фигуры маятника была вертикальна. Затем в течение ввземени т = 1О с самолет двигался с горизонтальным ускорением «а —— ! м/с . Определить угол а, на который отклонится от вертикали ось фигуры гироскопического маятника за время ускорения. »«а««2 Ответ.
и ' 0,43'ж 25'. 1гв 4. Однородный гладкий сплошной шар, находящийся на горизонтальном столе, быстро вертится вокруг своею вертикального диаметра с угловой скоростью тоз (рис. !57). В нею ударяется второй, в точности такой же шар. Происходит абсолютно упругий удар без передачи вращения. Ударяемый шар начинает двигаться по столу со скольжением. Коэффициент трения скольжения 1! считается не зависящим от скорости. Найти угол а между мгновенной осью вращения ударяемою шара и вертикальной линией для В 50! ГИРОСКОП ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИД.
ИРИБЛИЖЕННЛЯ ТЕОРИЯ 297 любого момента времени (, когда еше не прекратилось скольжение. Найти также значение этого угла в момент, когда движение переходит в чистое качение. Трением верчения и трением качения пренебречь. Решен ив, После удара центр ударяемого шара начнет двигаться с начальной скоростью ов. По теореме о даик!енин центра масс его скорость в момент времени ( будет в = вг — 88!. Пусть !о — мгновенное значение вектора угловой скорости.
Момент силы трения относительно центра шара будет (гаях), где !— 'во единичный вектор, направленный за плоскость рисунка и перпендикулярный к ней. Из уравнения моментов 7 — = 8!пйт! полу- к г ЙО Ро ь., г чаем — г — '= (гдй Отсюда о! = о!о+ 5(!81((2г. 5 д! Мгновенная ось вращения всегда лежит в пло- Рнс. !57 скости, перпендикулярной к плоскости рисунка. Угол а определяется уравнением !8 а = 5/гЯП (2ггоо) . Определим теперь момент времени начала чистого качения.
Скорость поступательного движения шара зависит только от горизонтальной составляющей вектора !о, Момент времени начала чис!ого качения найдешься из условий 5)2 88( = ! з — )г8(. С этого момента угол и становится и продолжает оставаться постоянным, причем !8 а = 56 ов/го!в. Если чв = юог, то !8 а = 5(7, а = 35'32'. ВРащение шаРа вокруг фиксированного диаметра неустойчиво. Поэтому найденное решение определяет поворот оси вращения относительно внешнего пространства, а не внутри самого шара. 5. Гироскоп, изображенный на рис. !48, совершает установившееся параметрическое движение по круглому металлическому кольцу радиусом А, плоскость которого горизонтальна.
Радиус стержня гироскопа г мал гю сравнению с й (г « й). Ось гироскопа наклонена к вертикали под углом а, (В рассматриваемом случае она движется по поверхности кругового конуса с вершиной в точке опоры О.) Найти силу Р , с ко!орой стержень гироскопа давит на металлическое кольцо. Решен ив. В установившемся режиме перимегрическое движение оси фигуры гироскопа есть чистое качение. Если г. «Й, то угловая скорость препессии найдется из условия Пй = а!г.
Пользуясь этим, легко найти искомую силу: 1!ю'г . 2 Р =, в)п а. л Пусть аг = (00 об/с = 628 рад!с, Г)! — — 2. )О г.смх. г = 0,5 см, й = 8 см, гс = 20'. Тогда Р 70 Н. 6. Гироскопические эффекты используются в дисковых мельницах. Массивный цилиндрический каток (бегун), могущий вращаться вокруг своей геометрической оси, приводится во вращение вокруг вертикальной оси (с угловой скоростью (2) и катится по горизонтальной опорной плите (рис. )58). Такое вращение можно рассматривать как вынужденную прецессию гироскопа, каковым является бегун.
При вынужденной прецессии возрастает сила давления на горизонтальную плиту, по которой он катится. Эта сила растирает и измельчает материал, подсыпаемый под каток на плиту. Вычислить полную силу давления катка на опорную плиту. 298 !ГЛ. УИ ыпхлникл тпкгдОГО тклл Ответ. Р = Р+ с!)й9г = Р+ 1)2)айгг, где Р— вес бегуна, т — его масса, г — радиус. Пусть г = 50 см.
Тогда при рабочей скорости 1 об!с и, следова)ельно, й = 2я рад!с получаем 1)2 щйтг тд = Р. Следовательно, Р' „, 2 Р. Обрати)ь внимание, что полный момент импульса А нс направлен вдоль оси фигуры бегуна, так как имеется еще момент, возникающий из-за вращения вокруг вертикальной оси. Однако последний момент остается неизменным при вращении катка, а потому при решении задачи его можно не принимать во внимание. 7.
Диск радиуса г, вращающийся вокруг Рис. 158 собственной оси с угловой скоростью со,катится без скольжения в наклонном положении по горизонтальной плоскости, описывая окружность за время Т. Определить Т и радиус окружности й, если й ьь г, а угол между горизонтальной плоскостью и плоскостью диска равен и. 3 О т в е т. Т = ' 18 а, й = — " ' 18 и. г 2 г 8 51. ПРИМЕНЕНИЯ ГИРОСКОПОВ 1. Научно-технические применения гироскопов весьма разнообразны. В курсе физики о них можно дать лишь общее представление. Рассмотрим принцип действия некоторых гироскопических приборов, совершенно отвлекаясь от деталей конструктивного или технического характера. Будем предполагать, что все приборы и условия, в которых они работают, являются идеальными.
Так, будем очи)атль что сил трения и прочих вредных сил нет, что моменты инерции и моменты импульса кардановых колец пренебрежимо малы и т. д. В действительности все эти факторы оказывают существенное, иногда решающее, влияние на поведение реального гироскопа. Однако мы ограничиваем свою задачу выяснением лишь основных идей и при)шипов, на которых основано действие гироскопических приборов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
