Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Такое различие объясняется тем, что скатывание цилиндра все время является чистым качением. Поднятие же сто сначала происходит со скольжением, а затем переходит в чистое качение. 25. Считая в предыдущей задаче коэффициент трения скольжения Е цилиндра о наклонную плоскость заданным и постоянным, определить: 1) ускорение цилиндра ап когда качение происходит со скольжением; 2) время (и по истечении которого наступает чистое качение; 3) высоту гт'и которой достигает цилиндр, прежде чем начинается чистое качение; 4> ускорение аз при чистом качении; 5) дополнительную высоту Оз, на которую поднимается цилиндр при чистом качении; 6> полную высоту поднятия 0; 7) время обратною скатывания цилиндра вниз й Предполагается, что Е > (Е а.
СКАТЫПАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 275 8 48! О та е т. а, = «(Е соз а — з!и и), направлено вверх; )а г '"с" (/тмс )а ттс 8 йп а (ЗА сап а — псп Шк 2 Н, = — а,(, з!и и; аг =, д з!и а = — я гйп и; Нг = — 'Нй 2 г )чмс 3 »2 +Н 2 с»за — з)па 2 2 48(ЗЬ сап а — яп а) — ЗН »2 я» а 28 и!» а ЗЬ спп а — п)па Г, (/ = (/, — (/2 = сопз! — щгяй ~1 + — соз р) . г Единственное переменное слагаемое, которое оно содержит, есть — Чг шгя/( соз т.
Поэтому при надлежащем выборе аддитивной постоянной 26. Вращающийся с угловой скоростью юс сплошной однородный цилиндр массой ш, ставится без начальной поступательной скорости на длинную доску массой гл, лежащую на гладкой горизонтальной плоскости. Начальная скорость доски равна нулю. Пренебрегая силой трения качения, но учитывая трение скольжения между доской и цилиндром. найти угловую скорость вращения цилиндра гюсле того. как его движение перейдет в чистое качение.
Доска предполагается настолько длишюй, что чистое качение успевает установиться до того, как цилиндр скатится с доски. ~»,.~-М2 Ответ. са = сас. »2 »1,43м Ф 27. В сплошном однородном цилиндре радиусом й сделана цилинд- а рическая полость радиусом Я/2 с осью, проходящей через середину радиуса цилиндра (рис. 142 а). Определить период малых колебаний Т, которые возникнут, если положить цилиндр на горизонтальную плоскость и дать ему возможность катиться по ней без скольжения.
Решен не. Задача сводится к нахождению выражений для потенциальной и кинетической энергии системы. С этой целью мысленно заполним полость тем же веществом, из которого сделан цилиндр. Образовавшийся таким образом сплошной однородный цилиндр назовем цилиндром 1, а цилиндр вдвое меньшего радиуса, заполняющий полость, — цилиндром 2. Массы цилиндров обозначим соответственно через ш, и тг.
Энергия системы, как потенциальная, так и кинетическая, будет равна разности энергий цилиндров 1 и 2. При повороте системы из положения равновесия на угол 82 (рис. 142 б) центр масс цилиндра 1 остается на прежней высоте, его потенциальная энергия (/! не изменяется. Потенциальная же энергия цилиндра 2 становится равной (/2 — — /пгялг, где Лг — — й + Чг Я соз т — высота центра масс этого цилиндра над горизонтальной плоскостью, на которой находится система. Полная потенциальная энергия всей системы 27б (гл. ун МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА величину и всегда можно представить в виде и = сопз1 + — тгяй ( ! — сов р! = сопз( + лггяй ып Х, 2 ' 2 2' или для малых углов р и = 1+ -' п,дй,рг. 4 Кинетическая энергия системы К = иг (11 — 12! р, где 11 и 12 — моменты 2 инерции цилиндров относительно мгновенной оси.
При изменении угла р величины 11 и 12 изменяются. Но для малых колебаний этими изменениями можно пренебречь и отнести 1, и 12 к тому моменту, когда система находится в положении равновесия. В этом положении с помощью теоремы Гюйгенса — Штейнера нетрудно получить 1, =2127п,й~, 1 =191етгй~. Приняв еще во внимание, что т, = 4тг, найдем К= — т й ~р. 29 2'2 16 2 Из полученных выражений для и и К делаем вывод, что малые колебания системы будут гармоническими с периодом Т= я 29 —.
х 28. Большой однородный свинцовый шар массой 31 лежит на плоской горизонтальной поверхносги. Небольшая пуля массой т выпущена из ружья горизонтально со скоростью 1' в направлении к центру шара. После выстрела пуля застревает внутри шара. Определить линейную скорость шара о после того, как его движение перейдет в чистое качение.
При рассмотрении движения шара после удара считать его однородным, пренебрегая массой застрявшей пули. Трением качения пренебречь. 5 т Ответ. н = — — 1'. 7 М 29. Шар массой М = !000 г, лежащий на горизонтальной плоскости, пробивается по диаметру пулей, летящей горизонтально с начальной скоростью Го =500 м!'с. После удара шар начинает скользить по плоскости. Спустя некоторое время его движение переходит в чистое качение с постоянной скоростью о = 3 м?с. Определить скорость пули Е после вылета ее из ша- С ра, если масса пули т = !О г. Трением качения пренебречь.
Ответ. Р = Рэ — — — в = 80 м(с. 7 М 5 т 30. На гладком горизонтальном столе лежит однородный стержень длиной 1, который В может двигаться по столу без трения (рис. !43>. В начальный момент, когда скорость стержня равна нулю, в него ударяется шарик, движущийся перпендикулярно к стержню. На каком расстоянии х от центра стержня С ударился шарик, если непосредственно после удара концы стержня А и В начали двигаться со скоростями н и пв соответственно? (Скорости и и эв считаются положитсль- 4 481 СКАТЫВАНИЛ ТВЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 277 ными, когда они направлены в ту же сторону, что и скорость шарика до удара, и отрицательными — в противоположном случае.) 1 лз тл Ответ. х = — — '.
Резулыат не зависит от характера удара. 6 л,тл 3!. На идеально гладкой горизонтальной поверхности лежит стержень длиной ! и массой М, который может скользить по этой поверхности без трения (см. рис. 143). В одну из точек стержня ударяет шарик массой лг, движущийся перпендикулярно к стержню. На каком расстоянии х от середины стержня должен произойти удар, чтобы шарик передал стержню всю свою кинетическую энергию? Удар считать абсолютно упругим. При каком соотношении масс М и т эзо возможно? ! .м Ответ.
х = —, )! — — 1. Для возможности описываемою процесса не- 248 1(л обходимо М м ш. Условие х < !!2 дает еще М < 4ш. 32. На гладком горизонтальном столе лежит однородный упругий стержень длиной 1 и массой М. В конец стержня ударяет упругий и|арик массой ш, движущийся со скоростью 1 перпендикулярно к стержню. Найти значение энергии деформации системы в момент, когда она максимальна.
Трением между стержнем и столом пренебречь. Ответ. (! = — ". В предельных случаях 1) М = О и 2) М = лл М44„2 ' случаем 1) и = О; 2) и = ')2 лп 2. 33. На гладком горизонтальном столе лежит однородный твердый стержень длиной ! и массой М, в край которого ударяет твердый шарик массой т, движущийся со скоростью лв, перпендикулярной к оси стержня. Считая удар идеально упругим и предполагая, что силы трения между поверхностью стола и лежащими на ней телами пренебрежимо малы, вычислить угловую скорость вращения стержня после удара.
Р е ш си ив. Если à — сила, действующая на шарик во время удара, то т — = — Р, М вЂ” =Г, ! — =Р—. гш Л 4 41 ' Л * 41 2' Почленным делением исключаем Р и получаем 2 МЛ 2 1 4 1' 1 а 1' Интегрируя в пределах от начального значения угловой скорости еэ = 0 до конечного, найдем л — л = — — — со,Р= — — гл, 1 м ' 1 М причем в этих уравнениях е, Г и го означают величины соответствующих скоростей после удара. Угловая скорость ш найдется из уравнения сохранения энергии.
Если в него подставить значения и и 1', 1о для сл получится квадратное уравнение 1 + —, ~ — + — ю — 4 — о~ = О. ~ +-~1 41(1 1(1 г лл (г ~м М! Один из корней этого уравнения (ео = 0) дает угловую скорость стержня до удара, второй — после удара. По условию задачи надо взять второй корень. С учетом соотношения ! = 1(12 М! для него получаем !2~ллл ю= (4т ям)1 278 !Гл. уп мкхлникл тввгдого тклл й49. ГИРОСКОПЫ. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ГИРОСКОПА 1. Слово «гироскоп» в буквальном переводе означает прибор для обнаружения вращения. В широком смысле гироскопоз! называется быстро вращающееся твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве.
Гироскоп, в особенности когда на него действуют внешние силы, может совершать удивительные движения, кажущиеся на первый взгляд неожиданными и непонятными. Они всегда воспринимаются с захватывающим интересом. Быстро вращающийся волчок может служить не только забавной игрушкой, но и прекрасным демонстрационным прибором при изучении законов механики. Все явления, обусловленные быстрым вращением гироскопа, называются гироскопическими. Они нашли широкое научно-техническое применение (см. 8 51). Гироскопические эффекты проявляются также у атомов благодаря наличию у них моментов импульса, связанных с внутренними орбитальными движениями или собственными вращениями (спинами) электронов и атомных ядер.
Конечно, эти, как и всякие другие, атомные явления должны рассматриваться на основе квантовой механики. Однако есть много общего в гироскопических свойствах атомных и макроскопических систем. Поэтому теория гироскопов может оказаться полезной и при изучении атомной физики. Наибольшее значение в науке и технике имеют симметричные гироскопь!. Симметричным называют гироскоп, обладающей симметрией вращения относительно некоторой оси, называемой геол!етрической осью или осью фигуры гироскопа. Теория симметричного гироскопа более проста и более валена, чем теория несимметричного гироскопа. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только симметричных гироскопов. Обычно одна из точек оси фигуры гироскопа бывает закреплена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
