Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 62
Текст из файла (страница 62)
4. Допустим, что твердое тело вращается вокруг неподвижной точки. Примем эту точку за начало координат О. Кинетическая энергия такого тела, очевидно, равна 1 г 2 К = — "тгз 71гп г) где интегрирование ведется по всей массе тела. Воспользовавшись формулой Р = [шг), можем написать Р2 = (РР) = ([шг[Р), или после перестановки порядка сомножителей Р2 = (Го[гя)), Так как 4» одинакова для всех точек тела, то 2 1 [ или (47.2) 2( где Ь вЂ” момент импульса тела относительно точки О. В общем случае векторы Ь и В2 направлены под углом друг к другу. В этом проще всего убедиться на примере одной материальной точки М, вращающейся вокруг неподвижной или мгновенной оси. Возьмем начало О на этой оси, Тогда Ь = т[гк! = т[г[шгЦ = тгзгя — т(гю)г.
Последнее слагаемое в нуль, вообще говоря, не обращается, а потому в общем случае векторы Ь и Го не коллинеарны. Они коллинеарны только тогда, когда в качестве начала О взято основание перпендикуляра, опушенного из М на ось вращения. В этом случае момент Ь относительно точки О сводится к моменту относительно оси вращения.
Обозначая последний через 1,„можем написать 1. = Ьк = 1ю, где 1 — момент инерции точки относительно оси вращения. Таким образом, формула (47.2) переходит в К= '2 Ь„го = "г 1В72. Последняя формула справедлива не только 2б2 !ГЛ. РП МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА для одной материальной точки, но и для всего тела, поскольку последнее можно рассматривать как систему материальных точек, вращающихся вокруг общей оси. Таким образом, формула (47.2) эквивалентна формуле (33.б), полученной ранее иным путем. й 48. СКАТЫВАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 1. Т1усгь скатываюгцееся тело обладает сил.четрией враи!Рная, относительно геометрической оси С (рис.
130). Будем предполагать, что при движении не возникает скольжения. Это означает, что скорость тела в точке касания А равна нулю. Отсутствие скольжения обеспечивается действием сил со стороны наклонной плоскости на скатывающееся с тело. Эти силы сводятся к силе нормального давления Р„и к касательной силе А трения Р,. При отсутствии скольжения сила Р, есть сила трения покоя или сила а трения сцепления. Модуль силы Р, может принимать Рва ! 30 любое значение от 0 до !сР„, где 4— коэффициент трения (см.
З 17). При качении сила устанавливается как раз такой, чтобы не было скольжения. Если касательная сила, требующаяся для этого, превышает !се„, то чистое качение невозможно — оно будет сопровождаться скольжением, Решим задачу о скатывании тела тремя различными способами. Способ 1.
Применим уравнение моментов относительно мгновенной оси вращения. При отсутствии скольжения мгновенная ось проходит через точку касания А. Так как мгновенная ось и ось, проходящая через центр масс С, движутся параллельно друг другу, то уравнение моментов имеет обычную простую форму (48.
1) где 2А — момент инерции скатывающегося тела относительно мгновенной оси, а МА — момент внешних сил относительно той же оси. Внешними силами являются сила тяжести тй и реакция опоры, действующая со стороны наклонной плоскости на скатывающееся тело. Сила реакции опоры выпадает из уравнения моментов, так как она проходит через ось А, и ее момент относительно этой оси равен нулю. Таким образом, иса 1 — = Гпдг Гйп а. «й СКАТЫВАНИВ ТВЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 263 Обозначим через а линейную скорость точки С. Она связана со скоростью оА точки А тела соотношением г = г + шг. При отсутствии скольжения гА = О, а потому а = юг.
Для линейного ускореЛа Ла) ния точки С получаем и = — = г —. Поэтому предыдущее уравй й' нение дает и яс и= яп а. (48.2) 881па и= 1 тгсйаг (48.3) Преимущество рассматриваемого способа состоит в том, что в исходное уравнение (48А ) совсем не входит неизвестная реакция опоры, Способ 2. Применим уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс С. Оно также имеет простой вид 1 — =М, Л~~ С сй — С где Мс — момент внешних сил относительно оси С. В это уравнение не войдет сила тяжести, так как она проходит через ось С.
Момент создается силой реакции опоры. При этом играет роль только слагаемая Р, этой силы, параллельная наклонной плоскости, т. е. сила трения сцепления. Ее момент М» = гЕ„а потому 1 — = гР . Ла> С сй И~~ Это уравнение содержит два неизвестных: угловое ускорение — и сй силу Р,, Недостающее уравнение дает теорема о движении центра масс: л8 —,= л88Яп а — Рс ~Ъ (48.4) Присоединив сюда прежнее соотношение и = — = г — и разрешив аа ~ЙО 8й ~й полученные уравнения относительно и, найдем прежний результат (48.3). Кроме того, получаем следующее выражение для силы трения сцепления: Тс Р,= ., тдяп а.
гст"'" (48.5) По теореме Гюйгенса — Штейнера 1„= 1с + тгз, где 1с — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С. Следовательно, 2б4 1гл. Рп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТРЛА Способ 3. Применим закон сохранения энергии. Кинетическая энергия тела равна К= 1г21 ш2. Поэтому 1'214со2 = тдй, где й— высота, с которой опустилось тело при скатывании из состояния покоя. Если оно прошло вдоль наклонной плоскости путь х, то Л = х гйп п, и, следовательно, 2 А 2 — 24ш = — г = тях тйп а. 2 1 2Г2 р =,„ и назовем р радиусол1 инерции тела. Формула (48,3) принимает вид х яп а а= 1 -~- (р1г) (48.6) Величину г можно назвать радиусом качения тела. Радиус качения есть расстояние между центром масс скатывающегося тела и мгновенной осью вращения. Для цилиндра или шара радиус качения равен геометрическому радиусу этих тел.
Ускорение скатывающегося тела и приобретенная им скорость поступательного движения зависят от отношения радиуса инерции к радиусу качения. Чем больше это отношение, тем медленнее скатывается тело. Особенно просто этот результат можно уяснить с помощью закона сохранения энергии. Если тело скатывается с высоты Ь, то вся его потенциальная энергия Гпдй переходит в кинетическую. Последняя складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движений.
Полная кинетическая энергия Дифференцируя это соотношение по времени и замечая, что — '= е, снова получим формулу 148.2). и'х й1 2. Так как на скатывающееся тело действует сила трения, то может возникнуть вопрос, почему в рассматриваемой задаче можно применять закон сохранения энергии в его механической форме. Ответ заключается в том, что при отсутствии скольжения сила трения приложени к тем тонким тела, которые лежат на мгновенной гхси враи1ения. Мгновенная скорость таких точек равна нулю, а потому приложенная к ним сила трения сцепления работы не производит и не влияет на полную кинетическую энергию скатывающегося тела, Роль силы трения сцепления Р, сводится к тому, чтобы привести тело во вращение и обеспечить чистое качение. При наличии силы трения сцепления работа силы тяжести идет на увеличение кинетической энергии не только поступательного, но и вращательного движения тела.
3. Комбинация 1с/т, входящая в формулу 148.3),имеет размерность квадрата длины. Введем для нее обозначение СКАТЫВАНИВ ТВЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 265 з 48! тела в нижнем положении равна тз;Ь, т. е. зависит только от высоты Ь. Чем большая доля кинетической энергии приходится на вращение тела, тем медленнее оно скатывается с наклонной плоскости. Отношение кинетической энергии вращательного движения к кинетической энергии поступательного движения равно г 88 Г (Я) „, г Максимальное значение для ускорения а получается в случае чистого скольжения при отсутствии сил трения. Пользуясь выражениями для моментов инерции, полученными в я 36, легко найти соответствующие радиусы инерции, а затем вычислить ускорение а.
Таким путем получим следующие результаты: полый цилиндр !без тормозов): рг = гг, а = !/2 я яп и; сплошной цилиндр: рг= г,г2 гг, а = 2'з 11яп и; полый шар: р = ~з г, а = дг5 «яп а; сплошной шар: р = 4'5 гг, а = 5гт «яп а. Полые тела скатываются медленнее, чем сплошные те,та той же геометрической формы. При одинаковых массах моменты инерции полых тел больше, чем сплошных. Поэтому на долю вращательного движения у полых тел приходится относительно большая кинетическая энергия, чем у сплошных. Возьмем маховичок, насаженный на ось. Положим ось на наклонные рельсы, чтобы маховичок находился между ними !рис.
131). Радиус качения в этом случае совпадает с радиусом оси маховичка г. Отношение р/и здесь велико, и маховичок будет скатываться очень Рис. !3! медленно. 4. Когда угол наклона а равен нулю, ускорение а обращается в нуль, Вместе с ним обращается в нуль и сила трения сцепления РО как это видно из формулы (48.5). Таким образом, твердое тело, обладающее осевой симметрией, например цилиндр или шар, при отсутствии скольжения катится по твердой горизонтальной плоскости прямолинейно и равномерно, совсем не испытывая силы сопротивления. Этот результат относится к идеализированным моделям тел. Тело и плоскость, по которой оно катится, должны быть идеально твердыми и гладкими. Для реальных тел он не справедлив или справедлив только приближенно.
В этом случае тело и плоскость деформируются. На плоскости возникает углубление, тело соприкасается с ней не в одной геометрической точке, а на некотором участке конечной плошади. В результате при качении по горизон- 2бб (гл. щг МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА тальной плоскости возникает сила, замедляющая движение. Это есть сила трения качеция. Она обычно мала по сравнению с силой трения скольжения, и во многих случаях ею можно пренебречь (см. () !7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
