Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Второе из них означает, что должен обращаться в нуль момент действующих сил относительно опоры 1. Из этих условий получаем Р, = Рг = Р12. Это разумный результат. Деформации балки в рассматриваемой задаче не играют существенной роли. Идеализация абсолютно твердого тела допустима. Рассмотрим теперь балку на трех опорах (рис. 109). Механика твердого тела по-прежнему дает два условия равновесия: Рз + Рг + Рз Р* Рзт + 1'г1 = РУ2, (44.5> где) — расстояние между опорами 1 и 2, а х — между опорами 1 и 3. (Второе уравнение (44.5) получится, если приравнять нулю момент внешних сил от- Рис. )08 Рис.
)09 носительно опоры 1.) Двух уравнений недостаточно для определения трех неизвестных сил Рн Рг, Рз. Одной из этих сил можно придать произвольное значение, тогда из уравнений (44.5> найдутся остальные две. Задача о распределении веса абсолютно твердой балки между тремя опорами, на которых она лежит, оказалась неопределенной. Механические системы, подобные абсолютно твердой балке на грех опорах, называют статически неогзределенгзьсчи. Аналогичная ситуация встречается также в задаче о равновесии стола, стоящего на горизонтальной плоскости. Механика твердого тела дает в этом случае три независимых уравнения равновесия.
Если число ножек стола равно трем, то из этих трех уравнений можно однозначно определить три силы, с которыми ножки давят на плоскость опоры. Но если стол стоит на четырех ножках, то трех уравнений мало для определения четырех сил давления ножек на плоскость опоры. Идеально твердый стол с четырьмя ножками, стоящий на идеально твердой горизонтальной плоскости, является также статически неопределенной системой Конечно, вес реальной балки, лежащей на трех опорах, вполне определенным образом распределяется между ними. Точно так же вполне определенным образом распределяется сила давления реального стола между четырьмя ножками, на которых оп стоит.
Неопределенность, к которой мы пришли, указывает просто на то, что в рассматриваемых задачах балку на трех опорах или стол на четырех ножках нельзя считать идеально твердыми. Надо учитывать их деформации, а также деформации опор. 5. Следующее простое рассуждение выясняет, почему деформации могут оказаться существенными.
Допустим, что идеально твердая балка лежит на 245 1 45) МГНОВЕННАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ трех опорах (см. рис. 109). Сместим среднюю опору немного вниз. Так как идеально твердая балка не может деформироваться, то между ней и опорой 3 сразу же возникает зазор — балка перестанет опираться на опору 3 и давить на нее. Сила давления на опору 3 скачком обратится в нуль, а вес балки вполне определенным образом и тоже скачком распределится между оставшимися опорами т' и 2.
То же произойдет, если у твердого стола бесконечно мало укоротить одну из четырех ножек. Не то будет в случае реальной балки или реального стола. При бесконечно малом опускании опоры 3 балка прогнется и по-прежнему будет на нее опираться. Сила давления на опору 3 пе обратится в нуль, а уменьшится бесконечно мало. Аналогично когда стол стоит па четырех ножках, то все ножки деформируются, укорачиваясь под действием силы веса. Если подпилить одну из ножек, укоротив ее бесконечно мало, то деформация ножки уменьшится, ножка удлинигся и снова будет касаться плоскости опоры.
Таким образом, и в этом случае давление на ножку изменяется бесконечно мало, т. с. непрерывно. Допустим теперь, что реальная балка лежит на двух опорах, ( и 2 (рис. ))О). Под действием силы веса балка прогнется. Будем подводить 3 под балку третью опору 3, непрерывно поднимая сс. Как только опора 3 Рис. 110 коснется балки, с балкой не произойдет ешс никаких изменений.
По дальнейшее поднятие опоры 3 будет связано с выпрямлением балки, а для этого опора долткна действовать на балку с некоторой силой. По мере поднятия опоры 3 эта сила будет непрерывно возрастать, принимая вполне определенное значение при каждом положении опоры 3. Приведенное рассуждение ясно показывает, почему при решении задачи о распределении веса балки между тремя опорами надо учитывать ее упругие свойства. Эта задача будет решена в гл. Х (см. задачу 3 к з 80).
Аналогичное рассуждение можно провести и для стола на четырех ножках. 045. МГНОВЕННАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ 1. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Чтобы получить представление о распределении скоростей в нем, достаточно рассмотреть движение точек тела, лежащих в какой-либо одной плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Это значит, что тело можно считать как бы плоским, Соответствующее распределение скоростей показано на схематическом рис. 111.
Точка О тела, через которую проходит ось вращения, неподвижна. Все другие точки тела движутся по окружностям с центром в О. Их плоскости пропорциональны радиусам соответствующих окружностей. Модули скоростей могут меняться с течением времени, но ось вращения остается одной и той же, 2. Рассмотрим теперь более общее движение плоского твердого тела.
Плоскость вращения совпадает с плоскостью самого тела. Никакой неподвижной оси, вокруг которой происходило бы вращение 246 !гл. чп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТРЛА тела, не предполагается. Если А и  — две произвольные точки твердого тела !рис. 112), то расстояние между ними остается неизменным, а потому (гв — ГА)2 = сопЯ. Дифференцируя это соотношение по времени, получим !Гв — ГА)!гв — г ) = О, или глв(чв — чи) = О, (45.1) где г,вшАВ. Допустим, что в рассматриваемый момент времени в теле существует точка, скорость которой в этот момент времени равна нулю. (В з 47 будет показано, что такая точка суШествует для произвольного плоского движения твердого тела.) Примем ее за точку А.
Тогда для рассматриваемого момента времени г чв — — О, Рис. 11! л Рис. 112 каково бы ни было положение точки В. Отсюда видно, что скорость чв перпендикулярна к г„в, т. е. направлена по касательной к окружности с центром в А. При движении твердого тела всякая прямая в теле остается прямой. Это справед- ливо и для прямой, соединяющей точки А и В. Пол скольку в рассматриваемый момент точка А неподвижна, то модуль скорости чв в этот момент пропорционален расстоянию АВ от точки В до точки Л. На / основании всего этого можно сказать, что мгновен- ное распределение скоростей в теле в расс,чатривит, / елый ламент времени будет в точности тикал же, l как и при врии!ении вокруг неподвижной оси, проходящей через точку А.
Движение тела в этом случае называют .чгновеииым вращением. Прямая, проходящая через точки тела, скорости которых в рассматриваемый момент времени равны нулю, называется мгновенной осью врищеиия. В нашем примере мгновенная ось проходит через точку А. Словом «мгновенная» хотят подчеркнуть, что это понятие служит для описания распределения скоростей только в какой-то заданный момент времени. В отличие от неподвижной оси, сохраняющей свое положение в теле и в пространстве, мгновенная ось, вообще говоря, перемещиется как в теле, так и в простриистве. Если получить моментальную фотографию распределения скоростей в теле, то по виду этой фотографии нельзя сказать, происходит ли вращение вокруг неподвижной или вокруг мгновенной оси.
Чтобы отличить эти два вращения, надо 247 Е 451 МГНОВЕННАЯ ОСЬ ВРАЩЕНИЯ получить такие фотографии по крайней мере в два различных момента времени. 3. Мгновенная ось служит для описания мгновенного распределения только скоростей. Той же осью нельзя пользоваться для описания мгновенного распределения ускорений или высших производных скорости по времени, Распределение ускорений при вращении вокруг мгновенной оси может существенно отличаться от соответствующего распределения ускорений при вращении вокруг неподвижной оси, хотя бы угловые скорости вращения в обоих случаях и совпадали. Дело в том, что для определения ускорений недостаточно знать распределение скоростей только в рассматриваемый момент времени.
Надо знать это распределение также в бесконечно близкий момент времени. А в этот момент может оказаться, что движение тела уже перестанет быть вращением вокруг прежней мгновенной оси, Следующий простой пример хорошо разъясняет суть дела. Рассмотрим качение обруча или диска по плоскости без скольжения (рис. 113). Отсутствие скольжения означает, что точка обруча Л, в которой он касается плоскости, в рассматриваемый момент неподвижна. Следовательно, движение обруча мохсно рассматривать как мгновенное вращение его вокруг мгновенной оси, проходящеи через точку касания А. Распределения скоростей при таком движении показано на с рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
