Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 59
Текст из файла (страница 59)
113. С течением времени в соприкосновении с плоскостью будут приходить другие точки ч К обруча. При этом точка касания будет перемешаться по плоско- ч сти в ту же сторону, куда движется обруч. Это означает, что мгновенная ось перемешается Рис. 113 как относительно катяшегося обруча, так и относительно плоскости, по которой происходит качение. В этом и состоит смысл утверждения, что мгновенная ось перемешается как в теле, так и в пространстве. Допустим теперь, что качение происходит с постоянной скоростью.
Было бы грубой ошибкой вычислять ускорение по формуле а = — созе, понимая под и радиус- вектор, проведенный от мгновенной оси к рассматриваемой точке обруча. Действительно, полная скорость ч любой точки обруча векторно складывается из скорости ч, поступательного движения центра обруча С и скорости ч,р вращения ее относительно того же центра: Вчс ч = чс + ч„„. Если обруч катится равномерно, то — „, = О, и ускорение 248 1гл.
Рп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА оудет равно а = — ". Поступательное движение не влияет на ускореег ние а. Оно такое же, как и при вращении вокруг неподвижного центра, т. е. а = — игг, где радиус-вектор г проведен из центра обруча О. Таким образом, при равномерном качении ускорение а направлено к центру обруча, а не к мгновенной оси. 546. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОР. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ 1. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной или мгновенной оси ОА с угловой скоростью ш (рис. 114). Возьмем какую- либо произвольную точку этого тела М, отстоящую от оси вращения на расстояние г . Линейная и у~ловая скорости точки М связаны соотношением е = сег„. (46.
1) Введем аксиальный вектор со, определяемый векторным произведением ш = [г у!/Г2„ (46.2) где г — радиус-вектор, проведенный от оси вращения к точке М перпендикулярно к этой оси. Длина вектора ю в силу соотношения (46.1) численно равна угловой скорости вращения, а направление совпадает с направлением оси ОЭ вращения, Взаимное расположение векторов со, г и у мы уясним лучше, если отложим их из общего начала (рис. 115).
Эти три вектора взаимно перпендикулярны. Из рисунка видно, что у = [шгг]. Эта формула является обобщением формулы (46,1), поскольку она определяет не только модуль скорости у, но и ее направление. Вектор ш называется вектором угловой екоРис. 114 рост и, или просто угловой скоростью враи]ения. Таким образом, угловую скорость можно расемитривать как вектор. Если расположить буравчик с правой нарезкой параллельно оси вращения и вращать его в ту же сторону, в какую вращается само тело, то направление ввинчивания буравчика укажсг направление вектора со. 3 4б1 хгловля скогость клк ввктог.
сложение. вглщгний 249 Формуле (46.3) можно придать более общий и удобный вид. Возьмем на оси вращения произвольную точку О в качестве начала координат (см. рис. 114). Тогда радиус- вектор г, проведенный из этого начала к точке М, можно представить в виде векторной суммы г = г, + г1, где г1— слагающая вектора г вдоль оси вращения, Так как ~гог1) = О, то вместо формулы (46.3) можно написать более общую формулу ч = ~сог1. (46.4) г„ Из нее получаем е = сьг 51п 6, что совпадает с формулой 1'46.1), так как Рис. 115 гз1п б=гх. 2. То что угловая скорость го есть вектор, не требует специального доказательства, поскольку она определена как векторное произведение двух векторов.
Векторный характер св означает, разумеется, только то, что при повороте координатных систем проекции го на ил оси преобразуется так же, как разности координат концов направленного геометрического отрезка. Над векторами угловых скоростей можно выполнять все математические операции, как над всякими векторами. В частности, можно ввести математическое сложение векторов св, и со по правилу параллелограмма. Но как будут складываться угловые скорости, если сложение определить с помощью той или иной Физической операции, — это требует особого исследования.
Введем понятие сложения вращений, вложив в него следующий смысл. Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОЛ с угловой скоростью со, (рис. 116). Пусть сама ось ОЛ, в свою очередь, вращается с угловой скоростью сот, вокруг другой оси ОВ. Подчеркнем, что в общем случае речь идет о мгновенных враицениях и притом с нерелятивигтскими скоростями. Первое вращение рассматривается в системе отсчета, в которой (в рассматриваемый момент) ось ОЛ неподвижна. Второе вращение рассматривается в другой системе отсчета — в той, в которой (в тот же момент) неподвижна ось ОВ. Сложить вращательные движения — значит ответить на вопрос, к какому движению приводит наложение этих двух вращений? При рассмотрении этого вопроса ограничимся случаем, когда оси ОЛ и ОВ пересекаются между собой. Вопрос сводится к сложению линейных скоростей в аналогичном физическом смысле (см.
З 71 в нерелятивистской механике, как известно, сложение линейных скоростей производится по правилу параллелограмма). Произвольная точка твердого тела М с радиусом- 250 1гл. Рп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТРЛА вектором г в результате первого вращения (вокруг оси ОА) получает линейную скорость ч, = [со<г), а в результате второго вращения (вокруг оси ОВ) — линейную скорость чз = [созг). Результирующая линейная скорость будет равна у = у> + чз = [(со> + соз)г]. Если ввести векторную сумму в математическом смысле со = со> + со 2 (46.5) то результат запишется в виде в= [сог). (46.6) Пусть точка М лежит на оси вектора со, т. е. на диагонали параллелограмма, построенного на векторах со, и соз, или ее продолжении. Тогда в =О.
Все точки указанной осн в рассматриваемый момент времени находятся в покое. Это объясняется тем, что все зтн точки в результате первого вращения движутся в одну, в результате второго вращения — в противоположную сторону. Результирующая линейная скорость получается равной нулю. Все прочие точки тела вращаются вокруг оси вектора со с угловой скоростью <о. Мгновенную линейную скорость любой точки тела можно вычислить по формуле (46.6). Это значит, что мгновенное результирующее движение твердого тели есть врище~ие вокруг л<гповенной оси ОС. Эта ось, вообще говоря, непрерывно перемешается как относительно самого твердого тела, так и относительно неподвижной системы отсчета, в которой рассматривается движение.
Итак, мы доказали, что два врищения с угловыми скор<к<пал<и со, и соз складываются (в рассматриваемом физическом смысле) в одно вращение вокруг мгновенной оси с уггювой скоростью со = со, + соз. Мгновенная ось в киждый момент времени направлена вдоль диагонали параллелогримма, построенного на векторих со, и соз. Сложение подчиняется правилу параллелограмма Физическое сложение в указанном смь>еле оказалось тождественным с математическим.
3. Поясним изложенное наглядным примером. Пусть но поверхности неподвижною конуса 2 катится без скольжения другой крутовой конус 2 (рисунки 117 и 118). Вершины обоих конусов все время находягся в одной и той же точке О. В рассматриваемом движении конус 2 вращается вокруг собственной оси ОА с некоторой угловой скоростью о>>. Сама ось ОА описывает коническую поверхность, вращаясь вокруг другой оси ОВ с угловой скоростью щ>. Речь идет о сложении этих двух вра>пений. Так как скольжения нет, то все точки тела, лежащие на прямой ОС, по коюрой конусы угловая скогость как ввктог.
сложгниг вглщгний 251 9 4б1 касаются друг друга, неподвижны. Касательная ОС является поэтому мгновенной осью вращения конуса 1. Мгновенная ось вращения перемещается в теле, т. е. в конусе 1, двигаясь по его поверхности. Но она перемещается также и в пространстве, т. е. по поверхности конуса 2.
Рис. 118 Рис. 117 Рис. 116 4. Вращение вокруг параллельных осей можно рассматривать как предельный случай вращений вокруг пересекающихся осей. При сложении таких вращений надо различать два случая: 1) вращения совершаются в одном направлении; 2) вращения совершаются в противоположных направлениях. Рассмотрим первый случай.
Построив параллелограмм на векторах пт! и сот, пересечем его произвольной прямой ЛСВ, перпендикулярной к вектору со (рис. 119 а). Тогда г!! = ОС 1К а„п2 = ОС 1а пз. Если углы а, и а2 малы, то их тангенсы можно заменить синусами. Сделав это, получим /!1 3!и а! б 2 (4б. 7) 1!2 в!в о2 !"! О>, Рис. 119 252 !Гл. Тп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Устремив точку О в бесконечность, получим предельный случай одинаково направленных вращений вокруг параллельных осей (рис. 119 б). Такие два вращения складываются в одно вращение вокруг мгновенной осн с угловой скоростью св = св, + свз. Мгновенная ось проходит между осями 1 и 2 и делит расстояние между ними обратно пропорционально угловым скоростям ю, и свз. Аналогично рассматривается случай, когда векторы с», и соз направлены противоположно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
