Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 63
Текст из файла (страница 63)
ЗАДАЧИ 1. Определить ускорение а центра шарика, скатывающеюся без скольжения по наклонному желобу, образующему уюл а с горизонтом. Форма поперсчного сечения желоба изображена на рис. 132 а и б. и — ь 2 > ":Я Ответ. а) а=... Кз)п а, где и> 4 (и~ — >Р) р — радиус инерции шарика, 2а — ширина н' бо желоба; б) а= из!п а. 4 >>4И 2.
С какой высоты Н должен скатиться б шарик с радиусом инерпии р, для того чтобы он смог без сколь>кения описать мертвую Рнс. 132 петлю по желобу радиуса )2? Радиусом шарика г по сравнению с й црснебречь. зг 4 Отвсг. и= — "е-й. Для сплошного шара н=зт)>ой, для полою 2 > Н = >т)б я. 3. Цилиндр или шар радиусом г катится по плоскости, наклоненной под углом а к горизонту. Определить, при каком значении угла а начнется качение со сколь>кснисм, если коэффициент трения скольжения между катящимся телом и плоскостью равен И. 2 2 Ответ.
13 а > — ~- И, где р — радиус инерции катящегося тела. Для и сплошною шара 13 а > т>г и, для полого (к а > 5)2 к. Для сплошного цилиндра 13 а > ЗИ, для полою 10 и > 2к. 4. Шарик радиусом г скатывается без начальной скорости и без скольжения но повсрхности сферы из самого верхнего положения Л (рис. 133). Определить точку, в которой он оторвется от сферы и начнет свободно двигаться под действием силы тяжести. Ответ. Положение точки В, в которой шарик отрывается от сферы и начинасг свободно двигаться под действием силы тяжести, определяется углом а, косинус которого равен 2г соз а = 3 'тг' Рис.
133 где р — радиус инерции шарика. Результат не зависит от радиуса сферы. Для сплошною шарика соз и = >%7 (а = 54'), для полои> соз а = б)ы (а = 57') . 5. Цилтп>др массой М и радиусом г катится по юризонтальной поверхности стола (рис. 134). Обвитая вокруг цилиндра нить горизонтально проходит через неподвижный блок, к другому концу нити подвешен груз СКАТЫВАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 267 6 48| массой т. Пренебрегая массами блока и нити, найти ускорение центра масс цилиндра. 2вгг Ответ. а= ...д, где р — ра- г м,г М(рте)44мг диус инерции цилиндра. Для сплошного цилиндра а = 4т я, для полою ЗМ-8 вг а= М42сг б.
По наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом, скатывается массивный полый цилиндр массой М и радиусом Рис. 134 г. По поверхности цилиндра бежит собака таким образом, что она все время занимает наивысшее положение на поверхности цилиндра. Определить, с каким ускорением а скатывается цилиндр, если масса собаки т. Р е ш е н и е.
Метод регнения этой задачи поучителен. Для решения проще всего воспользоваться уравнением моментов относительно мгновенной оси вращения А (рис. 135). При этом все движения должны рассматриваться относительно системы отсчета, в которой наклонная плоскость непод- т вижна. В этой системе собака, все время находится в наивысшей точке цилиндра 5, движется параллельно наклонной плоскости и притом с той же скоростью в, с какой движется центр цилин- А дра.
Момент импульса системы Е слагается из момента импульса цилиндра ую и момента импульса собаки тг (г, где Л = г(1 + соз а) — длина а перпендикуляра, опущенною на наклонную плоскость из точки 5. Итак, Рис. 135 б = Уш + тгп(1 + соз а), причем под ! следует понимать момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси, т. е. величину 2Мгт. Из-за отсутствия скольжения г = сэг, а потому А м Е = (2М+ т(1 + соз а) ]те Так как центр масс системы и мгновенная ось А движутся параллельно, то производная А по времени должна равня|ъся моменту внешних сил относительно мгновенной оси А, т.
е. (М + т) яг гйп а. Приравнивая оба выражения, получим М -';ггпу й = да!и а. 2М4-м(14соз с) Рис. !36 7. По поверхности большою полою цилиндра, лежащею на горизонтальной плоскости, начинает бежать собака массой т в направлении к наивысшей точке А и притом так, что опа все время находится на одном и том же расстоянии от этой точки (рис. 136).
В результате цилиндр начинает ка- гбЕ (гл. уп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА титься по горизонтальной плоскости без скольжения. Масса цилиндра М, а угол АОт равен ц. Определитои !) ускорение оси цилиндра и; 2) силу трения между цилиндром и плоскостью во время качения Р;; 3) время й в течение которого собака способна оставаться на указанном расстоянии от точки А, если максимальная полезная мощность, которую она способна развить, равна Р„ . Какая при этом будет достигнута максимальная скорость гм поступательного движения цилиндра7 (Полезной мощностью здесь называется мощность, которая затрачивается собакой на увеличение кинетической энергии системы.) 1 о "*.
° = ""', =1 от.. 2мтт(1тооо а) тр 2М4-т а Р„,, о ммо (2М4.т)а 8. Определить ускорение а, с которым цилиндрическая бочка, целиком заполненная жидкостью, скатывается без скольжения с наклоьшой плоскости, образующей угол а с горизонтом (рис. 137). Трение между жидкостью и стенками бочки считать пренебрежимо малым. Р е ш е н не. При отсутствии трения между жидкостью и стенками бочки вращение бочки не передается жидкости.
Жидкость движется гюступательно как целое со скоростью в, равной скорости движения центра масс. Момент импульса системы относительно мгновенной оси А равен У, = 1лао + шйо, где )2 — внешний радиРис. 137 ус бочки, 1 — момент инерции ее относительно мгновенной оси А, ш — масса жидкости. Из-за отсутствия скольжения 1' = оой, так что Е= ~ — + гл)() о. '(л Центр масс бочки движется параллельно мгновенной оси, а потому — = ~ — + тй~ — '= (М+ т)йяз1п ц, аь (14 441 Й П1 где М вЂ” масса бочки.
Отсюда а= —,«з(па. (Мьт1Л' 1 +огя' В предельном случае, когда бочка це заполнена жидкостью (ш = О], получается ранее выведенная формула (48.2). В другом предельном случае, когда толщина стенок бочки пренебрежимо мала по сравнению с радиусом Я, У = 2МЯ~, а= яз(п и. 2мэт При этом мы не учитывали моменты инерции днищ бочки, считая их пренебрежимо малыми.
Читателю рекомендуется решить ту же задачу с помощью уравнения моментов относительно центра масс, а также с помощью уравнения сохранения энергии. СКАТЫВАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 269 1 48! 9. Диск Максвелла (по имени выдающегося английского физика Джемса Максвелла (1831 — 1879» подвешен на очень длинных нитях (рис. 138). Части нитей длиной ! = 50 см каждая были намотаны на ось диска, после чего диск стал опускаться под действием силы тяжести. Достигнув нижнего положения, диск начал подниматься, сообщив «рывокь нитям. Найти ускорение диска и натяжение нити во время его опускания и поднятия, а также оценить приближенно натяжение нити во время рывка.
Масса диска М = 1 кг, ого радиус >! = 1О см, радиус оси г = 0,5 см. Растяжением нити во время рывка пренебречь. (Сравните зту задачу с задачей 2кя 37.) О т в ет. Пока движение совершается без рывка, диск опускается и гюднимаегся с одним и тем же ускорением, направленным вниз: хг Л'~-2 ' Рис. !38 Натяжение нити пр14 опускании и поднятии диска также одно и то же и равно То = ~!! Л! 4 83 Н.
„=, ( — -) Во время рывка нить испытывает дополнительное натяжение 21 Т, опреде- ляемое приближенным выражением 12 Т вЂ” —" Мя 3, 14 Н. зт 8 Так как при ударе ось маятника не испытывает дополнительной нагрузки, то на основании теоре- мы о движении центра масс можно написать л1 — = Р, Ль 41 Рис. 139 где 1~ — скорость центра масс, 1л — масса маятника. Массой снаряда пре- небрегаем.
Почленным делением из этого и предыдущего уравнений исклю- чаем силу Р'и получаем 1 да м Ль Полное натяжение нити во время рывка Т = Тз + 2> Т 8,0 Н. 10. На каком расс~оянии ! от оси баллистического маятника должно находиться место попадания горизонтально летящего снаряда, чтобы ось маятника при ударе снаряда не испытывала добавочной нагрузки? Решен ив. Пусть Р— горизонтальная сила, с которой ударяющий снаряд действует на маятник (рис. 139>. Уравнение моментов относительно точки подвеса О дает 270 (гл. Уп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА где 1 — момент инерции относительно геометрической оси тела.
Решен ив. Уравнения движения центра масс и моментов имеют вид т — = жр, д» 1~ = л-М= гр. 41 Верхний знак относится к случаю, когда сила трения Р направлена вперед (поступательное движение ускоряется, вращение замедляется), нижний— когда Р направлена назад (поступательное движение замедляется, вращение ускоряотся). Исключая Р и л((, найдем в обоих случаях илг дн = — 11йа, откуда и следует соотношение (48.7).
13. Согласно уравнению (48.7) качение твердого тела по горизонтальной плоскости не может прекратиться, если нет никаких дополнительных сил, «л помимо горизонтальной силы трен1ля, действующей в точке касания. В чем причина расхождения этого вывода с опытом? Р е ш е н и е. Реальные тела деформируемы. На плоскости, по которой катится тело, А Р В возникает углубление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
