Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Силы трения, действующие па катящееся тело, на рис. 140 изображены маленьк11ми стрелками, их резуль- С тирующая Р =АВ. Ясно, что момент сил Рнс. 140 трения М больше момента результирующей, т. е. М > гр (Р и ЛХ вЂ” величины положительные). Из уравнений т г(о = жР Ж, Где» = ТМ Ф почлснным делением и умножением на г получаем тг дн +! 1(ол(гр(М) = О. С учетом неравенства гр < М отсюда следует, что тг ды+ ?дла < О, или — (тг»~ +!ол) < О. а 41 (48.8) Таким образом, в случае реального качения величина тго+ Го» убывает со временем и в кашле концов обра1цается в нуль. Если а — расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника, то о = а»а.
В результате находим 1 »~а Отсюда видно, что ( есть приведенная длина физическою маятника, а точка А совпадает с центром качения сгщ Соответствующая ей точка подвсса маятника О называется «центром удира». Кузнец точно знает, в каком месте нужно держать рукоятку своего тяжелого молота (имешю — в центре удара), чтобы при ударе не ощущать в руке неприятную отдачу.
11. Каким местом шашки следует наносить удар по лозе, чтобы при рубке не ощущалась неприятная отдача? Шашку считать однородной полосой длины 1, которую при ударе держать за конец. О тв ет. Расстояние от руки до места удара должно составлять 2ВЗ, 12. Твердый цилиндр илн шар, положенный на твердую горизонтальную плоскость, катится по ней со скольжением. Показать, что во время качения поступательная и вращательная скорости этою гела связаны соотношением лгга + й» = сопя(, (48.7) СКАТЫВАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 271 1 48! 14.
Сплошному однородному шару радиусом «, лежащему на юризонтальной плоскости, в момент ( = О сообщена скорость ио без вращения. Учитывая трение скольжения, ио пренебрегая трением качения, найти угловую скорость шара, когда его движение перейдет в чистое качение. Определить потерю кинетической энергии на трение. Решение. На основании (48.7) тт28 —— тги+ йо = (тг + 1) го, где и — поступательная, а ио — вращательная скорости шара после установления чистого качения. Отсюда и найдется искомая угловая скорость ю.
Потеря кинетической энергии равна 1 1 2 ! 2 2 ИП28 = тво. 2 Гииигт 7 15. Сплошной однородный шар радиусом г, вращающийся вокруг горизонтальною ДиаметРа с Угловой скоРостью о2о, ставитсЯ на гоРизонтальнУю плоскость без сообщения ему поступательного движения. Учитывая трение скольжения, но пренебрегая трением качения, найти линейную скорость и центра шара, когда его движение перейдет в чистое качение. Определить потерю кинетической энергии на трение.
Ответ. и =, шо — — — «юо, ЛК = —, 1оо~ о= — тгзгио. гг 2 1 ит 2 1 гьмг2 о 7 о' 2 74 „2 о 7 16. Бильярдный шар катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью и и ударяется в покоящийся такой же бильярдный шар, причем линия центров параллельна скорости движения. Определить скорости обоих шаров после того, как их движения перейдут в чистые качения.
Какая доля первоначальной кинетической энергии перейдет в тепло? Считать, что при столкновении шаров передачи вращательного движения не происходит. Потерей энергии на трение при чистом качении пренебречь. О тает. Скорость первою шара и! = 47 г, второго из = Фт и. Потеря кинетической энергии на трение составляет 20/49 начального значения кинетической энергии. 17. Два одинаковых бильярдных шара катятся без скольжения навстречу друг другу с одной и той же скоростью ио и претерпевают упругий удар. Предполагая, что удар центральный и за время соударсния шаров угловыс скорости пе изменяются, вычислить скорость каждого шара столкновения, когда установится чистое качение.
Решен не. При столкновении !пары обмениваются поступательными скоростями, тогда как вращательные скорости их сохраняются неизменными. Очевидно, достаточно найти движение одного из шаров. Непосредственно после столкновения начальные скорости рассматриваемого шара будут иит = — 22о, гои,„= соо — — ио(г. Поэтому на основании (48.7) для движения шара после столкновения можно написать тиг + )ю = — ти и + йоо.
После установления чистого качения и = юг и, следовательно, г-тг 3 2 и= 2 ИО= ИО. гтоиг' 7 272 !гл. Тн МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 18. Бильярдный шар, катящийся без скольжения со скоростью по, отражается упруго при нормальном столкновении с неподвижной стенкой. Предполагая, что за время соударения угловая скорость гпара не меняется, определить его скорость и после отражения, когда движение перейдет в чистое качение. 7 — вгг 3 Ответ.
в =, пв — — — го. 7+юг 7 19. Как надо ударить кием по бильярдному шару, чтобы сила трения шара о сукно бильярдного стола заставляла его двигаться: а) ускоренно; б> замедленно; в) равномерно? Предполагается, что удар наносится горизонтально в вертикальной плоскости, проходящей через центра шара и точку касания его с плоскостью бильярдного стола. О т в ет. Шар будет двигаться равномерно, если точка удара лежит выше его центра на расстоянии 275 радиуса.
Такие удары называются нор.иальными. Если она лежит еще выше, то движение шара будет ускоренным. Если же точка удара лежит ниже, то шар будут двигаться замедленно. Соответствующие удары называют высокими и ндзкшил. Решение получено в предположении, что сила трения шара о плоскость стола пренебрежимо мала по сравнению с силой, с которой на шар действует кий во время удара. 20. Как надо ударить кием по бильярдному шару, чтобы при столкновении с другим (неподвижным) шаром: а> оба шара стали двигаться вперед (удар с накаглом); б) первый шар остановился, а другой двигался вперед; в) второй шар двигался вперед, а первый откатился назад !Удар с оттяжкой)? Относительно направления и плоскости удара ввести те же предположения, что и в предыдущей задаче. Ответ.
Случай а) реализуется при высоких ударах, случай б) — при нормальных, случай в) — при низких. 21. Виртуозный парижский биллиардист Миньо в 1883 г. в Варшаве ставил на краю бильярда стакан с водой. Бильярдный шар располагался в противоположном конце бильярда. Миньо наносил цо пгару сильный кратковременный удар кием, наклоненным под большим углом к горизонтальной плоскости, быстро убирая кий после удара.
Кий располагался в вертикальной плоскости, проходившей через центр шара и линию, соединявшую его со стаканом. Шар быстро приближался к стакану, но затем внезапно отбрасывался назад, не дойдя 1 — 2 см до стакана. Объяснить явление. Решен не. Если удар наклонным кием нанести левее центра шара (рис. !40а), то возникает как поступательное движение вправо, так и его вращение со скольжением против часовой стрелки.
Из-за скольжения поступагельная и вращательная скорости шара будут уменьшаться. Удар кием надо нанести так, чтобы в некоторый момент поступательное движение шара пропало, а вращение продолжилось в том же Рис. 140а направлении. Тогда в этот момент шар мгновенно остановится, а затем из-за вращения откатится назад — возникнет частое качение.
22. По бильярдному шару нанесен боковой удар горизонтальным кием, так что вертикальная плоскость не проходит через центр шара. Как отразится такая нецентральность удара на движении шара'? 5 48) СКАТЫВАНИЕ ТЕЛ С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ 273 От нет. Возникнет дополнительное вращение шара вокруг вертикальной оси — верчение. Сила трения верчения и ес момент пренебрежимо малы.
Позтому шар, пока он не ударился о борт бильярда, будет двигаться так же, как и при ударе, нанесенном в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара. Верчение скажется при ударе шара о борт бильярда. Так как борт бильярда чмягкийь, то время соприкосновения с ним шара конечно. За это время из-за верчения шара на него будет действовать касательная сила трения скольжения, увеличивая или уменьшая касательную скорость поступагельного движения шара.
Шар отразится от борта бильярда, но угол падения уже не будет равен углу отражения. Он будет больше или меныпе, в зависимости от направления верчения. 23. Удар кием по бильярдному шару наносится в какойсш точке в верхней половине шара, причем направление кия может быль каким угодно. Определить в общем случае вид траектории шара в плоскости бильярда. Решение.
Поместим начало координатной системы в центр шара. Координатные оси Х и У направим параллельно плоскости бильярда, а ось Š— вертикально вверх. Пусть Гм Гг Гт — слагающие мгновешюй силы удара. Сила Р, вызовет вращение вокруг осей У и х с угловыми скоростями ю,, и ю,, сила Рт — вращение с угловыми скоростями оз, и ю . сила Р— вращения с угловыми скоростями ю, и оз,.
Вращение с угловыми скоростями ю и ю сеть всрчснис вокруг вертикальной оси. Пока шар ударяется о борт бильярда, от верчения можно отвлечься, так как силы трения верчения и их моменты пренебрежимо малы. Надо принять во внимание только угловые скорости ю =со, +ю и ю.=ю, +ю,. т т Они складываются в угловую скорость со = ю, + ю,.
Не нарушая общнот' ст~л, оси Х и У можно повернуть, направив ось Х вдоль вектора угловой скорости ю. Тогда шар будет вращаться только вокруг оси Х в общем случае со скольжением. Т!омимо вращения силы Г, и Г, вызовут постуг нательное движение центра шара параллельно осям Х и У, которое передается и движению точки соприкосновения шара с плоскостью бильярда.
(Сила Е. на поступательное движение не влияет, так как ее действие компенсируется нормальным давлением.) Благодаря атому изменяется и сила трения скольжения шара по плоскости бильярда. Существенно однако, что результирующая сила трения скольжения постоянна, т. е. не зависит от скорости движения шара. Так как в общем случае эта сила направлена под углом к начальной скорости, сообщенной силой удара, то возникает движение шара по параболе. 24.
Вращающийся с угловой скоростью сзз сплошной однородный цилиндр радиусом г ставится без начальной поступательной скорости у основании наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтальной плоскостью,и начинает вкатываться наверх. Определить время, в течение которого цилиндр достигает наивысшего положения на наклонной плоскости. Решен не. Пусть Р— сила трения, действующая на цилиндр в месте соприкосновения его с наклонной плоскостью (рис. 141). Она заставляет цилиндр подниматься по наклонной плоскости. Сначала, пока не установилось чистое качение, Р является силой трения скольжения. После перехода движения в чистое качение Р переходит в силу трения покоя (сцеплсния). 274 (гл. чн МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Однако независимо от характера движения оно всегда подчиняется уравне- нию движения центра масс т — =Р— тяз!п и ип >Н и уравнению моментов (относительно геометрической оси цилиндра) 7 — = — Рг.
зя ш Исключая Р, получим тг — = — 7 — — пгя з(п а. лп лм ш дг Рис. 141 Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия (ш = сзв при (= 0> дает тгп = Г(пзп — гп) — тяг( з(п и. Это соотношение справедливо в течение всего времени движения, независимо от того, происходит ли оно со скольжением или является чистым качением. В наивысшей точке должно быль и = О. Отсюда следует, по в той же точке сп = О. В противном случае цилиндр продолжал бы вкатываться и рассматриваемая точка не была бы наивысшей. Поэтому время подьема ( найдется, если в предыдущем уравнении положить 1 = гп = О. Это дает гаь г' о ~пк япа Зкяпа Любопытно, что время поднятия ( не зависит от коэффициентов трения между цилиндром и наклонной плоскостью.
Результат не изменился бы даже тогда, когда коэффициент трения стал бы переменным. Решение предполагает, однако, что трение достаточно велико, чтобы цилиндр мог вкатываться на наклонную плоскость. При недостаточном трении будет происходить лишь замедление скорости вращения цилиндра. Нетрудно подсчитать, что время замедления определяется прежней формулой. Напротив, время обратного скатывания цилиндра, а также наибольшая высота поднятия его зависят от коэффициента трения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
