Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Закрепленную точку оси фигуры называют точкой опоры гироскопа. В более общем смысле точкой опоры гироскопа называют такую точку О оси фигуры его, относительно которой рассматривают вращение гироскопа. В общем случае движение гироскопа слагается из движения точки опоры О и вращения вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. Примером гироскопа с движущейся точкой опоры может служить детская игрушка — волчок. Основным в теории является случай, когда точка опоры неподвижна. К этому частному случаю можно свести и общий случай, когда точка опоры движется (см. и.
б). 2. Чтобы ось фигуры гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, гироскоп обычно помещают в так называемом кардановом подвесе (рис. 144). Маховичок гироскопа закрепляется на его оси фигуры А'А, которая может вращается по возможности с малым трением в подшипниках, укрепленных на концах диаметра внугпреннего кольна. Внутреннее кольцо, в свою очередь, может вращаться вокруг перпендикулярной оси В'В, проходящей через 1'иРОскОпы. ДВиж1'нив сВОБОднОГО ГНРОскопл 279 подшипники на концах диаметра наружного кольца. Наконец, наружное кольцо может совершать вращение вокруг третьей оси Р'Р, проходящей через неподвижные подшипники подставки.
Ось В'13 перпендикулярна к оси А'А. Все ~Л три оси пересекаются в одной точке, называемой центром карданова иодвеса. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы и может совершать ! любые повороты вокруг центра подвеса. Во всех А вопросах мы будем пренебрегать кинетической эиер- 1п гней и моментами импульсов колец, считая их пренебрежимо малыми по сравнению с кинетической энергией и моментом импульса маховичка гироскопа. Если центр карданова подвеса или точка опоры совпадает с центром масс гироскопа, то гироскоп называется уравновешенным. 3. Согласно теореме Эйлера Я 47) движение гироскопа с неподвижной точкой опоры О можно представить как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку.
Обозначим через со вектор мгновенной угловой скорости, с которой вращается гироскоп, Ь вЂ” момент импульса гироскопа относительно точки О. Найдем связь между векторами Ь и о1 для симметричного гироскопа. Если уг- ловая скорость ш направлена вдоль оси фигуры гироскопа или перпендикулярно к ней, то векторы Ь и со параллельны между собой.
Убедиться в этом проще всего можно следующим образом. Мысленно разобьем все тело гироскопа на пары одинаковых материальных точек, симметрично расположенных относительно оси фигуры гироскопа, как указано на рисунках 145 и 146. Момент импульса такой пары точек относительно точки О оудет с7Ь= гут1Г1Ъ11+ гут1Г1911, где дт — масса каждой из них. Если гироскоп вращается вокруг оси своей фигуры (рис, 145), то гво мвхлникл твкгдага твлл 1гл. чп ми сь„ 14 "4 Ь = 71в1 + 7~в~. (49.1) Пользуясь этой формулой, легко найти построением вектор Ь, если известен вектор в (рис. 147). Из построения видна, что векторы Ь, скорости тг н тз равны по модулю, но направлены противоположно.
В этом случае Л. = с1т[ят(гт — г,) [. Векторы тт и (гт — г,) перпендикулярны к оси вращения. Поэтому вектор Я., а с ннм и момент импульса всего гироскопа Ь будут направлены вдоль оси вращения. Вектор Ь совпадает с моментом импульса относительно осн вращения, а потому 1. = 11в, где 11 — момент инерции Ось фигуры гироскопа относительно оси его фигуры.
Если теперь гироскоп вращается вокруг оси, перпендикулярной к оси фигуры (рис. 146), то ч, = тм а пото(— му сгЬ = сгт[чг(гг+ гз)). Отсюда видгг 2 но, что с(Ь и Ь опять направлены вдоль оси вращения, причем 1.= 7 со, 1 2 гГггг гле У вЂ” момент инерции гироскопа относительно осн, перпендикулярной к его оси фигуры. Ус у~ Допустим теперь, что мгновенная ось направлена под горизонтальным Рис. 146 углом к оси фигуры гироскопа.
Разложим вектор со на две составляющие: направленную вдоль оси фигуры гироскопа в1 и перпендикулярную к ней в, (рис. 147), Из общего определения момента им- пульса (см. З 30) следует, что он выража- 8 ь ется линейно через линейные скорости материальных точек, на которые мысленно можно разбить тело гироскопа. В свою очередь эти скорости выражаются линейно через вектор угловой скорости со, одинаковый для всех точек гироскопа, Отсюда следует, что вектор 1. линейно еырижа- 1 егпсн через в, Рассматривая его как функцию в, можно написать Ь = =1.(со) =1.(со1+вс), или, в силу ука- занной линейности, Ь = Ь(в1~) + Ь(со„). Рис. 147 Но функция Ь(в[1) была бы равна момен- ту импульса гироскопа, если бы последний вращался только вокруг его оси фигуры с угловой скоростью в1. Значит, Ь(в1) = 1[[в1.
Аналогично Ь(в,) = У,в,. В результате пОлучим зз! 1 49! 1'ИРОСКОПЫ. ДВИА11'НИВ СВОБОДНОГО ГИРОСКОНЛ о> и ось фигуры гироскопа лежат в одной плоскости. Однако в общем случае направления векторов 1. и ш не совпадают. Если воспользоваться формулой 147.2), то из Г49Н) можно получить следующие два Вь>ражения для кинетической энергии вращающегося гироскопа: (49.2) Эти выражения показывают, что кинетическая энергия симметричного гироскопа равна сумме кинетических энергий двух врал!ений, иэ которых одно совершается ел>круг оси Фигуры, а другое— вокруг оси, к ней перпендикулярной. На практике гироскоп всегда приводится в быстрое вращение вокруг оси фигуры.
По сравнению с этим быстрым вращением вращение, возникающее по тем или иным причинам вокруг перпендикулярной оси, всегда происходит медленно. Тогда различие в направлениях векторов 1 и 1о становится очень малым. Оба эти направления практически совпадают с направлением оси фигуры гироскопа. За положительное направление оси фигуры гироскопа принимают направление ее, совпадающее с направлением вектора угловой скорости со (точнее, образующее с ним острый угол).
Если от точки опоры О отложить отрезок О5 единичной длины в положительном направлении оси фигуры гироскопа, то конец этого отрезка 5 называется вершиной гироскопа. Если известно движение вершины гироскопа и угловая скорость вращения его вокруг оси фигуры, то движение гироскопа определено полностью. Поэтому основная задача теории гироскопа сводится к нахождению движения вершины гироскопа и угловой скорости вращения его вокру~ оси фигуры, 4. Вся теория гироскопа построена на уравнении моментов Ь=М, !49.3) причем моменты 1.
и М берутся относительно неподвижной точки опоры гироскопа О. Если момент внешних сил М равен нулю, то гироскоп называется свободным. Для свободного гироскопа Ь = О, и следовательно, Ь св 1!!о>1 + 1„ш „= сопз1, (49.4) Это уравнение выражает сохранение моментов импульса гироскопа. К нему следует присоединить уравнение сохранения энергии 1 ! Квит (Ь>о) = (11и>11+! о>г) =сопз1, (49,5) которое также является следствием уравнения !49.3).
Если уравнение (49.4) возвести в квадрат, то получится !~о>г +1~ о>г = сопз!. 1 гвз !гл. чп мвхлникл твкгдого тклх Из этого и предыдущего уравнений следует, что при движении свободного гироскопа длины векторов со1 и оэ „остаются постоянны ш. Вместе с ними остаются постоянными и обе составляющие ломента импульса: Ь1 — — 11со1 и 1,, = 1,со,. Следовательно, остаетсл настоянным угол между векторали Ь и ш, как это видно из уравнения (49.5). Нз постоянства Ь1 и 1.з следует также постолнстпво угла между векторол Ь и осью григуры гироскопа.
В каждый момент времени ось фигуры гироскопа совершает вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью ш. Векторы ш и 1., как мы видели, лежат в одной плоскости с осью фигуры гироскопа. А так как вектор 1. сохраняет неизменным свое направление в пространстве, то мгновенная ось и ось фигуры должны вращаться вокруг этого неизменного направления с одной и той же угловой скоростью. Все это приводит к следующей картине движения свободного гироскопа.
В каждый момент времени движение свободного гироскопа есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через ~еподвижпуго точку опоры. С' течением времени мгновенная ось и вектор Ь меняют свое положение в теле, описывия конусы вокруг оси чзигуры гироскопа с одной и той же постоянной угловой скоростью шп вообще говоря, не равной ш.
Направление вектора Ь неизменно в пространстве. Ось фигуры гироскопа и лгповепная ось равномерно вращаются в пространстве вокруг згпого направления с той же угловой скоростью св,, но в противоположном направлении. Такое движение называется свободной регулярной прецессией гироскопа. Слово «регулярная» надо понимать в том смысле, что на конические вращения оси фигуры гироскопа и мгновенной оси не накладываются никакие дрожания. 5. Если гироскоп с достаточно большим моментом инерции привести в быстрое вращение, то он будет обладать большим моментом импульса. Приращение момента импульса, как это следует из уравнения (49.3), определяется интегралом (49.6) Если внешняя сила действует в течение короткого промежутка времени, то интеграл (49.6), а с ним и приращение момента импульса будут малы, Значит, при кратковременных воздействиях даже очень больших сил движение свободного гироскопа изменяется мало, Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить его момент импульса, С этим связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гироскопа после приведения его в быстрое вращение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
