Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Г7 (50.6) 288 механика тввгдОГО телА (гл. Рп Она равна г г тлх (50.7) П ример. Гироскоп одного из авиагоризонтов характеризуется следую- шими параметрами: и = 5 1О г, / = 8 10~ г смг, а = 0,25 см. Гироскоп де- 1 ласт 20 000 об(мин и, следовательно, его угловая скорость ю = 2094 рад(с. Подставляя эти данные в формулы (50.6) и (50.7), получим 1=!80 км. Т = 860 с = 14 мин 20 с. Угловая скорость вынужденной прецессии меныне угловой скорости вращения вокруг оси фигуры гироскопа примерно в 2,9 10з раз. 5.
Поведение гироскопа прн вынужденной прецессии на первый взгляд противоречит закону сохранения энергии. Без грузика Р ось фигуры гироскопа — неподвижна (см. рис. 150). Как только к гироскопу подвешивается грузик, сразу же возникает прецессионное движение. С этим движением связана дополнительная кинетическая энергия гироскопа.
Откуда взялась эта энергия? Единственная сила, которая могла сообщить гироскопу эту кинетическую энергию, есть вес грузика Р. Но эта сила направлена вниз, она перпендикулярна к направлению прецессионного движения и поэтому работы не производит. Детальный ответ на эют и аналогичные вопросы даст точнии теория гироскопа, излагаемая в 8 52. Здесь мы ограничимся предварительными, в основном качественными, соображениями. 6. Исследуем сначала, как возбуждается регулярная прецессия.
Допустим, что гироскоп приведен во вращение вокруг оси фигуры с угловой скоростью оэ(. Пусть ось фигуры совершает дополните.чьное равномерное вращение с угловой скоростью И вокруг неподвижной оси, составляющей произвольный угол с осью фигуры (рис. 153). Выясним, при каких условиях возможно такое движение. К собственному вращению вокруг оси фигуры гироскопа с угловой скоростью ю при рас- И вг сматривасмом движении добавляется сщс вращение вокруг той же оси с угловой скоростью И1. Кроме того, гироскоп совершает дополнительное вращение вокруг перпенди- 5 кулярной оси с угловой скоростью го = И,. Поэтому его момент импульса бурно.
153 дет 1.= 71(го!+ И1) + 7,И,. Найдем производную этого вектора по времени. Так как все три вектора от(, И1 и И„равномерно вращаются с угловой скоростью И, то с той же угловой скоростью будет вращаться и вектор 1 . Поэтому При больших скоростях вращения ш и малых а приведенная длина гироскопического маятника может быть сделана Очень большой, а его период доведен до нескольких десятков минут. Направление Оси фигуры такого гироскопического маятника очень мало подвержено влиянию кратковременных сил и толчков. Гироскопические маятники применяются на самолетах и судах для создания искусственного горизонта (см. 8 52) и искусственной вертикали. ! 50! ГИРОСКОП ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИД. ПРИВЛИЖВННЛЯ ТЕОРИЯ 289 ею производная по времени будет ! = ]Я1.].
С другой стороны, уравнение момсьпов требует, чтобы ! — ]Я Ь], ~де Я вЂ” угловая скорость регулярной прецессии под действием момента внепших сил М = ]аР]. Она определяется уравнением (50.2). Отсюда следует, что рассматриваемое движение гироскопа возможно, т. е. совместимо с уравнениями механики, если Я = Я,„т. Приведенное рассуждение является вполне точным. Оно показывает, что вынужденная рвг»ллрная предесс«гя под действивл« постоянной пшы Р является одним из возможных точных видов движения, которые может совершать гироскоп. Однако такое движение может возникнуть только при вполне определенных начальных условиях.
В начальный момент надо, очевидно, сообщить вершине гироскопа начальную скорость чз — — ]Яз], т. е. привести ось фигуры гироскопа в равномерное вращение с угловой скоростью Я. Энергия, требуемая для этого, сообщается внешним толчком, и никакою противоречия с законом сохранения нс возникает. После прекращения действия толчка прецессионное движение гироскопа будет поддерживаться внешней силой Р. Внешняя сила, таким образом, пв вызывает, а лишь поддврживаепг рвг»лярп»ю процессию. Поведение гироскопа при вынужденной регулярной прецессии в известном смысле аналогично поведению шарика, привязанного на нити, при равномерном вращен«ли гю окружности.
Сила натяжения нити тянет шарик к центру окружности, но шарик все время движется перпендикулярно к ней, непрерывно «уходит в боке. Сила натяжения пити не создает, а лишь гюддерживает равномерное вращение по окружности, Для создания такого вращения шарику необходимо сообщить дополнительный толчок в боковом направлении. Сила натяжения меняет только направление, но не модуль скорости. Если иметь в виду эту аналогию, то явление «ухода вбок«оси фигуры гироскопа при вынужденной регулярной прецессии представится, быль может, не таким уж странным, каким кажется на первый взгляд.
7. Приведенное исследование, однако, не отвечает на поставленный выше вопрос, касающийся сохранения энергии. Когда, например, мы вешаем грузик (см. рис. 150), то никакого начального толчка гироскопу при этом пе сообщается. А между тем гироскоп начинает нрецессирова«ь. Ответ заключается в том, что в этом случае возникающая прецессия вовсе не являвтсл рвгулярнои. Па прецессионнос движение вершины гироскопа накладываются мелкие вращения н дрожания ее. Они называются нутацпями. В результате налохсения нутаций на прецессионное движение вершина гироскопа описывает траектории петлеобразного, ииклоидального нли син»сообразного типа, схематически изображенные на рис.
169. Вопрос этот будет разобран в я 52. Вид траектории зависит от начальной скорости, сообщенной оси фигуры гироскопа. Крупномасштабные нутации легко демонстрируются на опыте. Повесим на один из концов оси не очень быстро вращающегося гироскопа грузик (см. рнс. !50). Если грузик опустить без начальною толчка, то траектория вершины будет циклоидального типа (см. рис. 169 6). Если же сообщить гироскопу боковой толчок против направления прецессии, вызываемой грузиком, то на траектории появятся петли (см. рис, 169 а). При сообщении бокового толчка в направлении прецессии траектория вершины становится синусообразной (см. рис. 169 в).
В последнем случае при надлежащей силе толчка траектория может стать круювой, а сама прецессия — регулярной. 290 (гл. Рп мехлникл тветдо!'О тела Когда мы вешаем грузик, то в первый момент он начинает опускаться под дейсгвием силы тяжести. Конец жс вектора момента импульса Ь приобретает скорость в боковом направлении в соответствии с уравнением 1. = М. В результате вектор Ь перестает быть направленным вдоль оси фигуры гироскопа. Траектория вершины при опускании начинает загибаться вбок. Это и ведет к появлению нутаций. Работа силы тяжести при опускании грузика идет ца приращение кинетической энергии прецессиоппо-нутационного движения.
Достигнув нижнего положения, грузик начинает подниматься, кинетическая энергия прецессионно-нутационного движения переходит в потенциальную энергию поднятого грузика. Таким образом, идет непрерывное превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Никакого нарушения закона сохранения энергии нс получается. Если нутации малы, то прецессия называется псевдорегулярной. Для быстровращающихся технических гироскопов псевдорегулярная прецессия практически не отличается от регулярной. Здесь нутации представляют собой чрезвычайно мелкое и частое дрожание оси фигуры гироскопа, не имеющее никакого значения при изучении основного прецессионпого движения (см.
пример в з 52, и. 8>. Кромс 'шго, мелкомасштабные нутации быстро затухают под действием сил трения, и псевдорегулярная прецессия переходит в регулярную. 8. Существованием нутации объясняется и другое поведение гироскопа, кажущееся парадоксальныте Согласно уравнению (49.3> момент импульса гироскопа Ь изменяется только тогда, когда на него действуют внешние силы. Если действие внешних сил прекращается, то мгновенно прекращается изменение вектора 1., а с ним и прецессия гироскопа. Ось фигуры гироскопа становится неподвижной. Не противоречит ли закону инерции такая беэынериио»»ость оси фигуры гироскопа? Действительно, такое противоречие существовало бы, если бы указанная бсзьшерционность относилась к движению самой оси фигуры гироскопа.
На самом деле эта безыиерционность относится не к оси фигуры, а к вектору Ь. К выводу о безынерционности движения оси фигуры приводит приближенная теория гироскопа. пренебрегающая нутациями. Мы видим, таким образом, что учет нутаций устраняет противоречия с законом инерции. 9. Согласно изложенному в п. б вынужденна» регулярна» прецесси» должна продолжатьс» неограниченно долго, если только момент внешних сил М, поддерживающих ее, остается постоянньгм.
Например, под действием груза Р гироскоп на рис. 150 должен был бы как угодно долго совершать прецессионное вращение вокруг вертикальной оси У. При этом груз Р все время должен был бы находиться на одной и той же высоте. На самом деле груз Р медленно и непрерывно опускается. Это объясняется действием сил трения и других тормозящих сил. Они создают тормозяший вращающий момент М„направленный вниз — в отрицательную сторону оси У.
Теперь полный момент внешних сил, действующих на гироскоп, будет М + Ми Согласно основному уравнению (49.3) производная 1., т. е. линейная скорость вращения конца вектора 1., направлена вдоль результирующего момента М + М,. Она имеет вертикальную составляющую, направленную по М,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
