Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Разложим вектор Я на вертикальную Я, и горизонтальную Я„составляющие. Вертикальная составляющая нс влияет на поведение гироскопа, так как вокруг вертикальной оси он может вращаться совершенно свободно. Поэтому от наличия Й, можно отвлечься. Горизонтальная составляющая Й„лежит в плоскости меридиана, т. е. направлена вдолы2олуденно11 линии. Таким образом, на поведение гироскопа сказывается вращение Земли лишь вокруг полуденной линии рассматриваемого места. Пусть плоскость рис.
161 совпадает с горизонтальной плоскостью. Разложим вектор Й, на составляющую вдоль оси фигуры гироскопа Й, и составляющую Й2, к ней перпендикулярную. Первая составляющая на движение гироскопа нс влияет, так как вращению вокруг его оси фигуры ничто не препятствует. Остается единственная составляющая Я2, изменение которой обусловливается вращением Земли. Гироскоп не может вращаться вокруг оси Я2, так как его ось фигуры вынуждена оставаться в горизонтальной плоскости (в плоскости рисунка).
Но он может свободно вращаться вокруг своей оси фигуры и вок- руг вертикальной оси, т. е. оси, перпендикуляр- Й, ной к плоскости рисунка. Тем самым рассмат- риваемый случай сведен к случаю, подробно / ' . разработанному в п. б, причем роль вертикали / а играет направление вектора Я2 Поэтому ось / я ! фигуры гироскопа должна поворачиваться в плоскости рисунка в направлении к полуденной линии, стремясь стать одноименно парал/ ч лельной оси вектора Я2. Однако при таком вра- щении длина составляющей Я2 уменьшается, а Я2 ш составляющей Я1 — увеличивается. Когда ось фигуры гироскопа установится параллельно полуденной линии, Я2 обратится в нуль. В этом положении поворот оси фигуры гироскопа, обусловленный вращением Земли, прекратится.
При гном, в соответствии с правилом Фуко, собственное вращение гироскопа и вращение Земли вокруг полуденной линии будут происходить в одинаковых направлениях. Идею гирокомпаса Фуко можтю уяснить и иначе. Вращение Земли стремится вызвать поворот оси фи1уры гироскопа вокруг направления вектора Я2. Но такой поворот невозможен, поскольку он выводил бы ось фи1уры гироскопа из плоскости рисунка, в которой она вынуждена находиться. Он проявляется лишь в деформациях и в появлении вследствие этого вращающегося момента М, параллельного вектору Я2. Этот вращающийся момент передается гироскопу и вызывает прецессию вокруг вертикали, в резулыате которой ось фигуры гироскопа поворачивается к полуденной линии, стремясь стать одноименно параллельной ей.
! 5Ц НРИМЕНКН1ЛЯ!'ИРОСКОНОВ 8. Фуко указал также, по гироскоп с двумя степенями свободы может быль использован в качестве ннклннокчетри, т. е. прибора для определения географической широты места. Закрепим неподвижгю наружное кольцо карданова подвеса гироскопа так, чтобы его плоскость совпала с плоскостью географического меридиана. У гироскопа останутся две степени свободы.
Он может вращаться вокруг оси своей фигуры и (вместе с внутренним кольцом) вокруг горизонтальной оси В'В, перпендикулярной к плоскости меридиана. Пусть Вертикаль Я плоскость рис. )б2 совпадает с плоскостью географического меридиана. Ось фигуры гироскопа может вращаться только в пло- Ось скости рисунка вокруг горизонтальной оси мира В'В, перпендикулярной к этой плоскости. Из плоскости рисунка она выходить не может.
Разложим угловую скорость осевого г вращения Земли Я на составляющую Яг вдоль оси фигуры гироскопа и составляющую Я, к ней перпендикулярную. Первая О составляющая роли не играет. Существенно толыго вращение вокруг оси вектора Яз. Мы пришли к той жс ситуации, что и в предыдущем пункте при разборе гирокомпаса Фуко. Повторив приведенные там рассуждения, видим, что ось фигуры гироскопа будет поворачиваться по направлению к оси мара (т, е, к оси собственного вращения Земли). Этот поворот будет сопровождаться уменьшением длины вектора Яз. Когда ось фигуры гироскопа с!апет одноименно параллельной оси мира, вектор Яз обратится в нуль, и дальнейший поворот гироскопа, вызванный осевым вращением Земли, прекратится.
Таким образом, ось фигуры гироскопа устанавливается одноименно параллельно с осью мира. Угол между этим направлением и горизонтальной плоскостью и есть географическая широта рассматриваемого места. 9. Гирокомпас и гироинклинометр Фуко не получили практического применения. Они лишь теоретически решают поставленные перед нами задачи.
Благодаря медленности вращения Земли силы, воздействующие на гироскоп из-за такого вращения, ничтожны и не в состоянии преодолеть (или способны преодолеть с трудом) трение в подшипниках этих приборов. Кроме того, такие приборы в принципе могли бы быть использованы только тогда, когда они установлены на неподвижном (относительно Земли) основании.
Они не годятся на самолетах и судах, так как при движении последних развиваются угловые скорости вращения, а также ускорения, во много раз превосходящие соответствующие величины при суточном вращении земного шара. Задача создания гирокомпаса была поставлена па практическую основу только после топь как стали использовать гироскоп не с двумя, а с нгрелгн стерженя.нн свободы. Гироскоп должен быть оггнотическич, Но астатический гироскоп с тремя степенями свободы не подвержен влиянию вращения Земли.
Эту трудность мох!но преодолеть, если взять гироскоп с каким-либо приспособлением, которое подвергалось бы воздействию указанного вращения и в свою очередь воздействовало бы на гироскоп. Поясним эту идею на примере одной из старых моделей гирокомпаса, по- ЗО4 МЕХЛНИКЛ ТВЕРДОГО ТЕЛЛ !ГЛ.
УН строенного известным американским строителем гироскопических приборов Сперри в 19!! г. и оказавшегося вполне пригодным навигационным прибором. Приспособлением, о котором го)) ворилось выше, здесь является маятник, жестко связанный с внутренним кольцом л карданова подвеса. Маятником служит тяжелая дуга Д, плоскость которой перпендикулярна к плоскости внутреннего кольца, а значит, параллельна плоскости маховичка А' гироскопа !рис. !63). Принцип действия прибора чрезвычайно прост. Допустим, что ось наружного кольца О'1) установлена вер- 1О тикально, а плоскость внутреннего кольца В' вместе с осью гироскопа А'А — горизонтально. В этом положении на гироскоп не Д' действуют никакие моменты сил.
Ось фигуры гироскопа А'А, сели се направить на какую-либо звезду, начнет двигаться вместе с ней. Допустим, что ось фигуры гироскопа отклонена от полуденной линии, например, к востоку (рис. 164). Звезда, на которую направлена эта ось, будет подниматься. Вместе с ней начнет подниматься и положительный конец оси фигуры гироскопа А. Но тогда начнет поворачиваться вокруг оси В'В и дуга Я. Момент силы тяжести кольца М относительно точки О будет стремиться опустить точку А и вызовет прецессию гироскопа вокруг вертикальной оси 1)'1), в Запад О Восток результате которой ось фигуры гироскопа будет поворачиваться к полуденной линии, стремясь установиться одноименно параллельно ей. То же самое произойдет, если первоначально положиРис. 164 тельный конец оси фи1уры А был отклонен от полуденной линии к западу.
10. В заключение рассмотрим идею однорельсовой железной дороги. Вагон, катящийся по одному рельсу, неустойчив. Для стабилизации его движения можно применить массивный гироскоп с тремя степенями свободы, установленный внутри вагона, как указано на рис. !65 а. Роль наружного Севе Рис. 165 в 521 ОснОВы тОчнпй теОРии симмн!'РичнОГО гиРОскппл 305 кольца карданова подвеса выполняют стенки вагона. Допустим, что вагон накренился вправо. Сила тяжести еще больше будет стремиться опрокинуть вагон в ту же сторону. Она создает вращающийся момент, направленный за плоскость рисунка параллельно продольной оси вагона. Через подшипники этот момент передастся гироскопу. Гироскоп начнет прецессировать, что вызовет наклон внутренней рамы (рис.
165 6). Если каким-либо способом ускорить эту прецессию. то возрастает вращающийся момент сил противодействия со стороны гироскопа (см. Е 50, пп. 9 и 1О). Центр тяжести вагона начнет подниматься, и вагон вернется в вертикальное положение. Такое вынужденное ускорение прецессионпого движения рамы должно выполняться автоматически. В устройстве соответствую!пего автомата и заключается вся трудность практического осуществления идеи однорельсовой дороги.
й 52. ОСНОВЫ ТОЧНОЙ ТЕОРИИ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА 1. Точная теория симметричного гироскопа учитывает различие направлений мгновенной оси вращения, оси фигуры и момента импульса гироскопа относительно его точки опоры. Она справедлива при любых соотношениях между любыми угловыми скоростями ю]1 и го,, с которыми гироскоп вращается вокруг 1 своей оси фигуры и перпендикулярной к ней оси. Однако наиболее важные гироскопические эффекты, когорым гироскоп обязан своими научными и техническими применениями, проявляются лишь при соблюдении ус- ] ловия го]] )> со „.
Ых Отложим от точки опоры О в положительном направлении оси филуры гироскопа единичный вектор з Рис. 166 (рис. 166). Конечная точка этого вектора называется вершиной гироскоаа. Производная Й имеет смысл линейной скорости движения вершины гироскопа, а потому может быть представлена в виде а = ]лов] = ]ю а].
Три вектора Й, ш и з взаимно перпендикулярны и образуют правовинговую систему, как указано на рис. 167. Из этого рисунка видно, что ш, = ]вй]. Поэтому урш11 + )лота л]]ю]]а + л л ]зз] (52.1) Подставив это выражение в уравнение (49.3), получим ) го,в+ 7]]ю]]Й+)„]ВЕ] = М. (522) 3 Это основнос уравнение точной теории симметричного гироскопа. Его удобно разделить на два уравРис. 167 пения. Первое уравнение получается из (52.2) скалярным умножением на Й. С учетом соотношения (вЙ) = 0 такое умножение дает 7(]щ]] = М]Р (52.3) 306 МВХЛНИКА ТВЕРДОГО ТКЛЛ (ГЛ.
Ч!1 где М[ м (Мв) — проекция вектора М на ось фигуры гироскопа. Второе урав- нение найдем также из (52.2>, но векторным умножением на я. Учитывая при этом тождество [а[аз) ) = — в~ а+ (ав)а = — в+ (ав) и, получим 7[(со([[аз [ — 7, в + 7 „(аа) а = [аМ]. 2. Уравнение (52.3> определяет изменение во времени угловой скорости вращения гироскопа с«]( вокруг оси фигуры. Оно совпадает с соответствующим уравнением вращения твердого тела вокруг закрепленной оси. Уравнение (52.4> определяет ускорение а, с которым движется вершина гироскопа.
Запишем его в виде ! а=(, (52.5> где введено обозначение У= [Ма] + 7,«о„[вв] — 7 взв. (52.6> В этом виде уравнение (52.5) формально совпадает с уравнением Ньютона. Роль массы играет величина 7», роль силы — вектор В Вершина гироскопа движется по поверхности неподвижной сферы единичного радиуса ат = >. Ее ускорение слагается из ускорения (в) », направленного по касательной к этой сфере, и радиального, или центростремительного, ускорения '2 (а) = — — в = — в з, т.
е. в = (в) — в в. Подставив это выражение в уравг пение (52.5), видим, что центростремительное ускорение из него выпадает. Уравнение принимает вид 7, (в) „ = [Мв] + l][с«][[за]. (52.7> Следовательно, уравнение (52.5) или эквивалентное ему уравнение (52.7> определяют не полное ускорение вершины гироскопа в, а только с«о составляющую (а) „, касательную к поверхности единичной сферы а~ = 1. Этого достаточно для нахождения движения вершины по начальным условиям (например, по началыюму положению и начальной скорости вершины гироскопа). Действительно, двих«ение вершины гироскопа аналогично движению не свободной, а связанной материальной точки, вынужденной находиться на заданной поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
