Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Таким образом, 1 1 Ы л 4,77. 1О4 Этот пример наглядно показывает, насколько мелким и частым дрожанием являются нутации в быстроврашающихся технических гироскопах. 9. В заключение рассмотрим, как можно качественно обьяснить характер траектории вершины гироскопа при наличии нутаций. Мы исходим непосредственно из уравнения движения вершины (52.11>. Пусть на рис. 169 ось фигуры гироскопа своим положительным концом направлена в сторону читателя. Пусть в начальный момент времени вершина неподвижна и занимает положение А, (см. рис. 169 б>. В этот момент скорость в, а потому и отклоняющая сила 7)го([яв] равны нулю. Под действием силы тяжести вершина получает скорость, направленную вниз. Но тогда гюявляется и боковая отклоняющая сила.
Она начинает загибать траекторию вершины влево (если, встав на плоскость рисунка, идти в сторону движения). В положении В~ скорость вершины становится горизонтальной, а отклоняющая сила— верплкальной. По величине отклоняющая сила превосходит силу веса, а вершина гироскопа начинает подниматься. В верхнем положении Аз скорость вершины обращается в нуль. Это непосредственно следует из уравнения энергии, которому формально подчиняется движение вершины. Затем дви- 311 9 531 тьнЗОР и эллинсйид инеРции ф 53. ТЕНЗОР И ЭППИПСОИД ИНЕРЦИИ 1. Вычислим момент инерции 1 твердого тела относительно производной оси ОА (рис. 170).
Без ущерба для общности можно принять, что ось проходит через начало координат О. Координаты будем обозначить либо через х, у, з, либо через хп хз, хэ. л Таким образом, х, ю х, хз ю у, хэ ю х. Разложим райт диус-вектор г элемента массы тела Ал на составляющие вдоль оси ОА и перпендикулярную к ней: г = г!!+ г,. По определению момента инерции в ~ гз йп! = ~ (гэ — гэ) йтп Если к — единичный вектор вдоль оси ОА, то г!! — — (гв) = хз, + уз + зз,.
Кроме того, гз = = х + уз+ зэ. учтя эти соотношения, а также соотношение зз + зэ + зз = 1, получим 1 = 1мз~ + 1пз~г + 1 л~ + 21„з,з, + 21 л,з, + 21 тлн О Рнс. 170 (53.1) где 1се 1,, 1, 1,, ю1 е 1, ю1,, 1 ю1„, — постоянные. определяемые выражениями 1 =~ (т +з)йт, 1.,ю1 = ~хуйпк (зз+хз) йт 1 ю1 = — ~ Рзйп! (53.2> гу т= гт 1, = ~ (х +у ) йт, 1„ю1„,= — ~ эхйт. Для этих постоянных будем пользоваться обозначениями 1н, 1ю, ..., 1м. Ве- личины 1ме 1, 1ме очевидно, имеют смысл моментов инерции тела относи- тельно координатных осей Х, У, Е соответственно. Совокупность девяти ве- личин (53.3> называются тензорою инериии тело относительно точки О, а сами эти величины — компоненталш этого тензораа).
Тепзор !гнер!(ии сижиетри- *) Тензором называюэ упорядоченную совокупносп девяти величин, заданную в каждой системе координат, причем прн повороте «оорднватных осей эти величины преооразуются как произведсвня компонентов двух векторов. жение неограничено повторяется. Получается траектория циклоидального типа. Траектория с петлями рис.
1б9 п получится, если в начальный момент сообщить вершине скорость в направлении против прецессии. Если же начальная скорость сообщена в направлении прецессии, то получится траектория типа рис. 169 е. В последнем случае скорость можно подобрать такой, что возникает регулярная прецессия без нутаций, 3>2 ЫЕХАНИКЛ ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ.
УЦ 2 1 = 22 1, Я,Я . Хл 'У '2 Если известны для какой-либо координатной системы все шесть компонентов тензора инерции, то по формуле (53. >) нлн (53.4) можно вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через начало координат О. Момент инерции относительно другой оси, не проходящей через начало координат, можно вычислить с помощью теоремы Гюйгенса— Штейнсра. 2. Формула (53.4) допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Через начало координат О будем проводить прямые во всевозможных направлениях и на них откладывать отрезки длиной г = (12(Е Геометрическим местом концов таких отрезков будет некоторая поверхность.
Найдем ее уравнсние. Согласно построению радиус-вектор точки, лежащей на этой поверхности, определяется выражением г = в/ьг1, а координаты той же точки — выражением х, = х,Ы1. Исключая с помощью этих соотношений величины з, из (53.4>, получим уравнение искомой поверхности (53.5) Х~~ 1чх,л, = >. 2 Эта поверхность второго порядка, очевидно, является эллллпсоидом. так как момент инерции I, а с ним и длина радиуса-вектора г имеют конечные значения, каково бы ни было направление оси в. Она называется эллипсоидом инерции тела относительно точки О, являющейся его центром.
При перемещении начала координат О относительно тела будет меняться и эллипсоид инерции тола. Если в качестве О взят цснтр масс тела, то и соотВЕтетВУЮЩИй ЭЛЛИПСОИД НаЗЫВаЕтСЯ ЦЕНтдагтвлЛЫМ. 3. Как и всякий тензор, тензор инерции зависит от выбора начала координат и направления координатных осей.
При изменении координатной системы меняются и значения компонентов тснзора инерции тела. Существенно, однако, что какова бы ни была координатная система, всегда могут быль найдены все шесть компонентов тензора инерции, хотя бы по формулам (53.2).
В частности, координатные оси можно направить вдоль главных осей эллипсоида инерции. В этой координатной системе в уравнении (53.5> пропадают члены, содержащие произведения координат, и это уравнение примет вид 1 х2+ 1у2+ 1 22 — ! ~Х'1,х,'= !. (53.6) или (53.7> Тензор инерции приводится к диагональному виду 1,. 0 0 (53.8> 0 1, 0 0 1, О, чен, т. е, 1, =1 г Поэтому он полностью определяешься заданием шести ком- 2 2' понентов. Формулу (53.
! ) можно записать в болсе краткой и симметричной форме: (53.4> ! 53! ТВНЗОР И ЭЛЛИНСОИД ИНЕРЦИИ причем диагональные элеменп|ы тензора мы обозначили с помощью одного индекса. Второй индекс в системе главных осей эллипсоида инерции опущен как излишний. Таким образом, для всякого пгвердого тела, где бы ни было выбрано начало координатп О, сущешпвуют три взаилшо перпендикулярные оси, совпадаю!Вие с главными ося.чи эллипсоида инерции !пела относипгельно пюпки О, для которых недиигональные элементы тензора инерции обрииргюпия в нуль. Эти оси называются также главными осями тензора инерции.
Они, очевидно, жестко связаны с 1елом. Точно так же жестко связан с твердым телом и эллипсоид инерции. Если известно положение эллипсоида инерции, то в тот же момент будет известно и положение всего тела. Поэтому задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки сводится к задаче о вращении его эллипсоида инерции вокруг той же точки. Этим воспользовался французский математик и механик Луи Пуансо (!777 — !859! для наглядной геометрической интерпретации вращения твердого гела вокруг нсподвижной точки.
Она будет рассмотрена в следующем параграфе. Главные оси центрального эллипсочда инерции называют также главнылш ося,.чи са,чого тела. Направление главных осей тела часто можно определить, пользуясь соображениями симметрии. Так, например, главные оси однородного прямоугольного параллелепипеда параллельны его ребрам. Если тело обладает симметрией вращения вокруг некоторой оси, то его эллипсоид инерции обладает шкой же симметрией. К телам такою родя относится, например, цилиндр. В этом случае моменты инерции тела относительно всех осей, перпсндикугшрных к оси симметрии, одинаковы.
Одной из главных осей тела является ось его симметрии. Всякая прямая, к ней перпендикулярная, также будет главной осью тела. Таким образом, существует бесконечное множество троек взаимно перпендикулярных главных осей тела, у которых одна ось, а именно ось симметрии, будет общей. Для шара зллинсоиды инерции относительно всех осей, проходящих через центр шара, одинаковы. В этом случае любая ось будет главной осью тела.
Для динамики вращательного движения твердого тела существенна симметрия не самого тела, а симметрия соответствующего ему эллипсоида инерции. Все тела с одинаковыми эллипсоидами инерции динамически эквивалентны. Чтобы эллипсоид инерции обладал симметрией вращения, не обязательно, чтобы само тело обладало той же симметрией. Возьмем, например, однородный параллелепипед с квадратным основанием. Поместим начало координат О в любой точке геометрической оси параллелепипеда.
Тогда нетрудно показать, что эллипсоид инерции будет эллипсоидом вращения, ось симметрии которого совпадает с геометрической осью параллелепипеда. В динамическом отношении движение такого параллелепипеда описывается такими же уравнениями, что и движение однородного цилиндра. Если параллелепипед вырождается в куб, а начало координат помещено в его центре, то эллипсоид инерции вырождается в сферу. В динамическом отношении однородный куб ведет себя так же, как однородный шар. 4.
Допустим теперь, что твердое тело равномерно вращается вокруг закрепленной оси, например оси, проходящей через неподвижные подшипники. Со стороны подшипников тело подвергается действию сил. Пусть это единственные внешние силы, действующие на тело. Их равнодействующая Р найдется по теореме о движении центра масс. Она равна Е = — тго г., 2 МЕХЛНИКЛ ТВЕРДОГО ТЕЛЛ (ГЛ. ЧН где г<. — радиус-вектор центра масс тела, проведенный от оси вращения перпендикулярно к ней.
Момент вне<нних сил относительно начала координат равен М = — ~ (гшэг ) дтп = <о~ ~ (г г(() <йп. Примем ось вращения за координатную ось Х, тогда г~! — — х1, г = )) + зК. Учтя соотношения (1)) = К, (Рх( = — ), получим М = <вз) ~ гх <Г!и — <озК ~ ху дт, или М = <вз(УпК вЂ” т' )) Уберем подшипники и спросим себя, при каких условиях движение тела не изменится, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
