Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Воображаемую материальную точку, масса которой равна 7», помещенную в вершине гироскопа, мы иногда будем называть изображаюи(ей точкой. На правую часть в уравнении (52.7) можно смотреть как на некоторую «силу», сообщающую ускорение изображающей точке. Первое слагаемое в этой «силе» связано с действием реальных сил, возникающих при взаимодействии гироскопа с окружающими телами.
Его мы будем называть реальной силой Г„, = [Ма]. Дифференцируя соотношение (вв) = О, найдем (ав) + в~ = О. С учетом мого преобразуем последнее уравнение к виду 7 а = [Ма] + 7 со [вв] — 7 вта. (52.4> ОСНОВЫ ТОЧНОЙ ТЕОРИИ СИМИН!'РИЧНОГО 1'ИРОСКОПЛ 307 8 521 Второе слагаемое 1](со(][вв] к взаимодействию тел не имеет отношения.
Это есть фиктивная «сплав, возникающая при вращении гироскопа вокруг оси фигуры. Она называется отклонлклцей салой: 1, = 1[со]1[аз]. (52.9> Отклоняющая сила отлична от нуля только тогда, когда изображающая точка движется. Она перпендикулярна как к оси фигуры гироскопа, так и к скорости движения изображающей точки. Эта сила стремится отклонить вершину гироскопа вбок от направления ее движения. Действием отклоняющей силы объясняются все характерные гироскопические эффекты. Таким образом, основное уравнение движения симметричного гироскопа может быть записано в виде (52.10> 1ь(а) с урчт+ уоссст 3. Приближенная теория гироскопа рассматривает !акис движения ею, при которых ускорением (з) с в уравнении (52.10> можно пренебречь.
Действительно, в этом случае ГР,, + Г . — 0 илн 11]ш[]вв] + [Мв! = О. Так как оба вектора в и М не имеют составляющих вдоль оси фигуры, то отсюда получаем 1(]со[в = М, а это и есть основное уравнение приближенной теории гироскопа. 4. К движению изображающей точки.
поскольку оно описывается уравнением (52.10>, формально можно применять все теоремы механики точки, например уравнение сохранения энергии. При этом надо только иметь в виду, что отклоняющая сила, как перпендикулярная к скорости з, работы не производит. Работа производится только реальной силой 1,, 5. Па основе точного уравнения движения симметричного гироскопа можно, конечно, исследовать движение свободною гироскопа. Поскольку, однако, относящиеся сюда результаты уже были получены в 8 49, мы не будем заниматься этим исследованием, а рассмотрим на основе точной теории вынужденную прецессию н нутации симметричного гироскопа.
Допустим, что действующая сила Р постоянна и приложена в одной из точек оси фигуры гироскопа (рис. !68>. Радиус-вектор этой точки, проведенной из точки опоры, обозначим через а. Если точка опоры О не совпадает с центром масс гироскопа, то роль силы Р может выполнять вес самого гироскопа. Момент силы Р равен М = [аР] = [аР ], где Є— слагающая этой силы, перпендикулярна к оси фигуры гироскопа. Следовательно, /,, = [Мв! = [[аР,]в] = аР „так как векторы а и в коллинеарны Таким образом, уравнение (52.10> примет вид 1,(з), = аР, + 1(]со[[аз].
(52.11) Теперь поставим вопрос, можно ли вершине гироскопа сообщить такую начальную скорость, чтобы она совершала регулярную прецессию, т. е. равномерно вращалась вокруг оси, параллельной направлению действующей силы Р и проходящей через точку смроскопа О. Угловую скорость такого вращения обозначим через ь2. Конкретно под силой Р будем понимать вес 308 МЕХЛНИКЛ ТВЕРДОГО ТКЛЛ (Гл.
Уи самого гироскопа: Р = /н8. За положительное направление вектора Я примем направление вверх, т. е. направление, противоположное силе Р ав (см. рис. 168>. Ответ на поставленный вопрос легко получить из урав/ нения (52.1!). Для этого спроецируг / ем уравнение (52.11) на направление вектора Р . Вершина гироскопа / при регулярной прецессии движется со скоростью а = [82з! и ускорением в а = — Й~г, где г — радиус-вектор, проведенный от оси прецессионного а вращения к вершине гироскопа (г = з яп а = яп а, причем а означает угол между осью фигуры гироРис.
168 скопа и вертикальным направлением). Взяв от ускорения з его составляющую, перпендикулярную к оси фигуры, и выполнив указанное проецирование, получим после сокращения на яп а 1,()гсоз а — 1(юр+ар=о (52.12) откуда й = (1„/о, чж 1„о/„— 4аР1, соз а). 1 Если центр масс гироскопа лежит выше точки опоры, то угол а — острый (см. рис. 168). В этом случае при недостаточно быстром собственном вращении гироскопа подкоренное выражение в формуле (52.13) может оказаться отрицательным. Тогда рассматриваемая регулярная прецессия становится невозможной, а положение гироскопа — неустойчивым, Вообще, для устойчивости гироскопа необходимо выполнение условия 12/ог — 4ар12 соз а > О. (52.14> 1 / о Р 1 сов о (52.15> (52.! 6> Это условие выполняется всегда, когда центр масс гироскопа лежит ниже точки опоры. Если жс центр масс расположен выше точки опоры, то гироскоп должен вращаться достаточно быстро.
Допустим, что условие (52.14> выполнено. Тогда квадратное уравнение (52.12) имеет два вещественных корня. В этом случае регулярная прецессия возможна, и притом не одна, а две. Прецессия, которой соответствует меньший по абсолютной величине корень уравнения (52.12), называется эедлеппоа. Прецессия, соответствующая другому корню, называется быспгрой. 6. Допустим, что выполнено условие 11/о)» )4аР12 соз а ~.
Тогда для г квадратного корня в формуле (52.13) можно написать приближенно 1 1/г 4агт соз о( ~акт ооз а 2 2 2 2 1 ( 1 ~И~ В результате получится 8 521 ОснОВы тОчнОЙ теОРии симмн!'РичнОГО 1'НРОскппл 309 Формула (52.15> совпадает с формулой (50.4), к которой приводит приближенная теорема гироскопа. Таким образом, регулярная прецессия, о которой говорится в приближенной теории, есть нюдлениая лредессия.
Угловая скорость быстрой прецессии, как видно из формулы (52.16>, по порядку величины совпадает с ю!1. Здесь не выполнено основное условие применимости приближенной теории <оь <( ю!!. Поэтому быструю прецессию нельзя рассматривать в рамках приближенной теории. Регулярная процессия свободного гироскопа, рассмотренная в 8 49, есть частный случай быстрой прецессии, при котором Р'= О. 7. Для того чтобы у читателя не сложилось впечатления, что быстрая прецессия является каким-то чисто умозрительным явлением, рассмотрим тривиальный пример конического маятника, когда ю!! — — 0 и пи о каких гироскопических эффектах говорить не приходится.
Разумеется, в этом случае центр масс должен лежать ниже точки подноса. Поэтому угол а целесообразно заменить дополнительным углом [1 = л — а, который ось маятника образует с вертикалью, направленной вниз. Формула (52. !3) переходит в т. с. в известную формулу круговой частоты конического маятника. 8. Регулярная прецессия, как медленная, так и быстрая, является весьма специальным частным случаем движения вершины гироскопа, реализующимся при вполне определенных начальных условиях. Для исследования общего случая в уравнении (52.7) сделаем замену а = тн+ тю Вектор тн определим из условия ] Ма] + Г)]ю]][втн) = О. Тогда уь (а) „= 7]]со]][вт„].
Величина тн есть скорость вершины гироскопа, с которой она двигалась бы, если бы совершала медленную регулярную прсцессию. (Вторая слагающая скорости н„будет описывать нутацию.) Если пренебречь ускорением при такой прецессии, то в = ч„, а потому (52.17> ( ч„= 7]]ю! [ат„], причем мы опустили у тн значок х, так как слагающая ускорения вдоль оси фигуры гироскопа сейчас не представляет интереса, и от нее можно отвлечься. Если на правую часть уравнения (52.17) смотреть как на аналог силы, то эта сила будет перпендикулярна к скорости ч„, а потому она нс может производить работы. Поэтому модуль скорости тн меняться не может, и уравнение (52.17> описывает равномерное движение по окружности, Если г — радиус такой окружности, а Ʉ— угловая скорость вращения, то е„= Й„г, [чн] = Йтг.
При этом ввиду перпендикулярности между в и тн из уравнения (52.17) получается ~ьйн! ~]]с!])Йн~ ' откуда Й„= — ю]!. (52.18> Таким образом, в общем случае на медленное прецессионное движение вершин гироскопа накладывается равномерное круговое движение с круговой частотой Йнг определяемой уравнением (52.!8). Радиус кругового движения равен г = †" = †" †'. В результате такого наложения траектория вершины =О" = —."! >, (ГЛ. УН ЫЕХЛНИКЛ ТВЕРДОГО ТЕЛА гироскопа может быть либо циклоидального типа (рис.
169 б), либо петле- образного (рис. 169 а), либо она будет напоминать синусоиду (рис. !69 в). Какой из этих вариантов осуществляется в каждом конкретном случае, зависит от начальных условий, т. е. от положения вершины гироскопа в начальный момент времени и скорости, которая ей была сообщена в тот же момент. Наложением кругового движения на медленную прецессию и объ- Рис.
169 ясняются нущадии, о которых говорилось в я 50. Радиус кругового движения г есть не что иное, как амплитуда нутационных колебаний. При г = 0 нутаций не будет, и движение вершины перейдет в регулярную прецессию. Пример. В авиагоризонте, рассмотренном в примере 9 50, 7 = З!тур Число нутаций на один прецессионный оборот равно 5 "ч з )У = —" = — — = 4,77 10~. О т и Если начальная скорость вершины гироскопа равна пулю, то чч+ ч„= О, а потому г = ю„И„. Но в„= й()„где й — радиус прецессии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
