Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Возьмем массивный гироскоп, имеющий конусообразную форму (рис. 148). Вдоль оси его фигуры может ввинчиваться стержень с острым концом, которым гироскоп опирается на подставку. Ввинтим стержень настолько, чтобы точка опоры совпала с центром массы ги- 8 491 ГИРОСКОПЫ. ДВИЖВНИВ СВОБОДНОГО ГИРОСКОПА 283 роскопа. Тогда гироскоп станет уравновешенным. При любом наклоне его оси фигуры он будет находиться в безразличном равновесии.
Пока гироскоп не вращается, малейший толчок далеко уводит его из положения равновесия. Приведем теперь гироскоп в быстрое вращение вокруг его оси фигуры. Если палкой нанести сильный удар по стержню гироскопа, то направление стержня в пространстве почти не изменится. Стержень начнет лишь совершать свободную регулярную прецессию, т. е. вращательное движение по поверхности конуса малого угла раствора. Осью конуса будет служить направление момента импульса гироскопа, которое он примет после нанесения удара.
Вот другая демонстрация устойчивости движения быстро вращающегося гироскопа. Гироскоп состоит из массивного металлического маховичка, помешаемого внутри разборного полого металлического шара, состоящего из двух полушарий, которые могут сцепляться между собой. Концы оси маховичка входят в подшипники полого шара, так что маховичок может вращаться вокруг одного из диаметров шара. На ось маховичка наматывается нить, свободный конец которой выходит наружу через отверстие в полом шаре.
Дория за нить, можно привести маховичок в быстрое вращение. Если такой шар попытаться скатить с наклонной плоскости, то он будет упорно сопротивляться этим попыткам. «Послушным» шар будет только тогда, когда ось маховичка горизонтальна и перпендикулярна к направлению скатывания. В этом положении шар может свободно скатываться Рис 148 Рис. 149 гв« 1ГЛ. Чп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА без изменения направления оси маховичка, т. е. без изменения направления вектора момента импульса 1..
Во всяком другом положении для «нормального» скатывания ось маховичка, а с ней и вектор 1. должны менять направление в пространстве. «Упрямый» гироскоп этого «делать не хочет». Под действием силы тяжести шар гироскопа приобретает медленное вращение и скатывается с наклонной плоскости «боком», стремясь сохранить неизменной ориентацию оси маховичка в пространстве, Если шар с вращающимся внутри него маховичком поставить на острие иглы даже в наклонном положении, то он не падает (рис. 149), а приобретает медленное вращение вокруг вертикальной оси под действием силы тяжести, Такое вращение называется вынужденной пре«1ессией'.
Вынужденную прецессию мы рассмотрим в следующем параграфе. 6. Посмотрим теперь, как изменится основное уравнение (49.3), если точка опоре«гироскопа движется. Ответ можно получить из уравнения (37.2). Скорость каждой точки движущегося гироскопа представим в виде ч = чо+ ч,р, где чо — скорость точки опоры О, а ч, = [сог) — скорость, возникающая из-за вращения вокруг этой точки, Тогда момент импульса гироскопа относительно точки опоры представится выражением 1. = ~ [Гчо) «1т+ 1.», где 1.
— момент импульса, возникающий только из-за вращения. вр Если ввести радиус-вектор центра масс г, то (49.7) 1- = 1-вр + т[' счо1. Продифференцировав это выражение и подставив в формулу (37.2), получим Ь,р = М вЂ” т[гсчо1. (49.8) Это формула показывает, что от движения точки опоры можно отвлечься. Йо тогда к моменту действующих сил М надо прибавить момент «фиктивной силы», или «силы инерции», Рв„= — тФ, приложенной к центру масс гироскопа. Этот результат становится совершенно естественным, если отнести движение к системе отсчета, в которой точка опоры гироскопа неподвижна (см. гл. 1Х).
й 50. ГИРОСКОП ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ. ПРИБПИЖЕННАЯ ТЕОРИЯ 1. Наиболее интересным видом движения гироскопа является вынул«денная прецессии. Она возникает под действием внешних сил. Возьмем, например, гироскоп, изображенный на схематическом рис. 150, Он состоит из двух одинаковых маховичков, свободно наса- а 501 гиРОСКОП ПОД ДЕЙстВИЕМ СиЛ. ИРИЫЛиженнлв '!СОРИЯ 285 женных на общую ось. Гироскоп устроен так, что он может свободно вращаться не только вокруг его оси фигуры Ою, но также вокруг вертикальной и горизонтальной осей ОУ и ОХ. Про такой гироскоп говорят, что он имеет три степени свободы. Приложим в какой-либо точке А оси фигуры гироскопа постоянную силу Р, например подвесим в этой точке небольшой груз Р.
Когда махо- 1~ вички гироскопа не вра- Х шаются, наблюдается привычное явление; под дей- И Ь=м станем веса груза правый маховичок опускается, ле- о l вый — поднимается, Однако движение приобретает совсем иной характер, если предварительно маховички были 1~ приведены в быстрое вра- Рис.
150 шение в одну и ту же сторону*). В этом случае ось фигуры гироскопа вместе с грузиком Р не опускается, а начинает медленно вращаться с постоянной скоростью вокруг вертикальной оси ОУ. Такое вращение называется вынужденной прецессией. Вынужденная прецессия проще всего объясняется приближенной теорией гироскопа. Гироскопу всегда стремятся сообщить быстрое вращение вокруг оси его фигуры. Но вследствие различных причин гироскоп, вообще говоря, получает также вращение вокруг перпендикулярной оси. Специфические гироскопические эффекты проявляются тогда, когда это вращение является медленным по сравнению с вращением вокруг оси фигуры гироскопа.
В приближенной теории им пренебрегают. В формуле (49.4) отбрасываем второе слагаемое, т. е. полагают (50.1) В этом приближении векторы оэ и Ь не отличаются по направлению, оба они направлены вдоль оси фигуры гироскопа. Поэтому о движении оси его фигуры можно судить по изменению направления вектора Ь, описываемому уравнением (49.3). Если рассматривать Ь как радиус-вектор, то производная Ь геометрически может быть истолкована как скорость движения конца вектора Ь.
Допустим, что точка приложения внешней силы Р лежит на оси фигуры гироскопа. Момент этой силы будет М = 1'аР1, где а — радиус-вектор, проведенный от точки опоры гироскопа к точке приложения силы Р. В силу уравнения В) В двмонстрапионных опытах маховичок гироскопа приводят в быстрое вращение, прижимая его обод к шкиву электромотора.
Существуют гироскопы (наоример, волчки-компасы), которые сами нредстаюгяют собой электродвигатели с вращаюшимс» магнитным полем и приводятся во вращение трехфаэным током. гвь 1гл. уп мвхлникл твкгдого телА (49.3) вектор «скорости» 1. будет перпендикулярен к оси фигуры гироскопа У. Такой момент сил может изменить только направление вектора Ь, а не его длину. Следовательно, если внешняя сила Р постоянна, то вектор Ь, а с ним и ось фигуры гироскопа должны совершать равномерное вращение вокруг оси ОУ.
Это вращение и есть вынужденная прецессия. Вектор угловой скорости прецессии И в рассматриваемом примере направлен вдоль оси ОУ, Если один из маховичков (см. рис. 150) закрутить в одну, а другой — в противоположную сторону с той же угловой скоростью, то прецессии не возникает, В этом случае Ь = О, и под действием груза Р гироскоп поворачивается вокруг горизонтальной оси ОХ, как если бы его маховички не вращались.
2. Найдем длину вектора И, Вектор Ь изменяется только вследствие вращения с угловой скоростью прецессии И. Для линейной скорости движения его конца, т. е. производной Ь, можно написать Ь = ]ИЬ]. Поэтому уравнение (49.3) дает '1ИЬ] = М. Из этого уравнения и можно найти угловую скорость прецессии И.
В нашем примере вектор И перпендикулярен к оси фигурь! гироско- па, а потому (50.3) К У1ы' Легко найти вектор И и в более общем случае, когда ось фигуры гироскопа наклонена к оси, вокруг которой совершается его прецессии. Для этого подставим в уравнение (50.2) выражение М = (аР] = а(ЛР], где в — единичный вектор вдоль оси фигуры гироскопа. Так как приближенная теория пренебрегает различием направлений вектора Ь и осн фигуры гироскопа, то Ь = Аз.
В результате уравнение (50.2) преобразуется к виду Ь(Из] = а(.Р]. Отсюда И = — — Р = — Р. (50. 4) к 11!а! Приведенные рассуждения справедливы при условии И(( вз, т. е. для быстро вращающегося гироскопа. Вращение гироскопа с!итается бысгпрым, если угловая скорость врашения вокруг его оси григурь! св1 очень велика по сравнению с угловой скоростью вращения вокруг перпендикулярной оси шя. В частности, она должна быть очень большой и по сравнению с угловой скоростью прецессии И. Для быстро вращающихся гироскопов, применяющихся в технике, угловая скорость прецессии Й бывает в миллионы раз меньше ш. 3. Для демонстрации вынужденной прецессии совсем не обязательно, чтобы у гироскопа было два маховичка.
Можно обойтись и одним маховичком. На рнс. 151 изображен небольшой гироскоп с одним маховичком, подвешенный на нити. Вращающийся момент 1 501 ГиРОскОИ под действием сил. Нгиьлиженнля '1еОРия 2в7 (50.5) В случае гироскопического ма- Рис. 152 ятника время Т называется его периодом. Этому периоду можно привести в соответствие при- веденну>О длину 1 гироскопического маятника по формуле М создается собственным весом р маховичка.
Он и вызывает прецессию вокруг вертикальной оси. На схематическом рис. 152 тот же опыт воспроизведен в более крупном масштабе. Маховиком служит массивное велосипедное ,ф„','( колесо с наращенной осью, приведенное в быстрое вращение. Колесо подвешивается на длин- тг ращенный конец оси. Оси колеса придается приблизительно горизонтальное положение. Колесо прецессирует вокруг вертикальной оси под действием соо- М ственного веса. Опыт производит сильное впечатление. Уж очень неожиданным кажется движение колеса, когда оно не опускается под действием собственного веса, а непрерывно «уходит в бок».
Р 4. Наконец, для наблюдения Рис. 151 прецессии под действием собственного веса гироскопа нить также не обязательна. Можно взять симметричный гироскоп с неподвижной точкой опоры, расположенной на оси его фигуры. Точка опоры может находиться ниже центра масс (как в игрушечном волчке). Но она может находиться и выше центра масс. Тогда гироскоп называется гироскопическим маятником. В обоих случаях угловая скорость прецессии »2 определяется формулой (50.4), в которой следует положить Р= тя, Для периода прецессии Т = 2и/Й получаем 1 ~о Т=2и — л —. атк' Т= 2л т~ —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
