Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 61
Текст из файла (страница 61)
= О. 3. Пусть вектор А неизменной длины вращается вокруг своего начала с угловой скорость го. Показать, что его производная по времени определяется формулой (46.10) А = [оз А]. В частности, при вращении координатной системы орты 1, 1, К дифферен- цируются по формулам — = [ш)], -„2 = [оз)], — = [оз1с]. (46.! 1) Решен ив. Вектор А неизменной длины можно отождествить с абсолютно твердым тонким стержнем той же длины. Если начало вектора А неподвижно, то производная А имеет смысл скорости движущегося конца стержня.
При такой интерпретации формула (46.10) становится частным случаем формулы (46.4). 4. Движение точки на плоскости можно задать полярными координатами г и ч> (рис. 126). Найти выражения для скорости и ускорения точки в этой системе координат. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОР. СЧОЖЕНИЕ ВРА1ЦЕНИЙ 257 ! 4б! Представим радиус-вектор движущейся точки в виде г = г(. Дифференцируя его один раз, находим скорость: ш у = г = л + г — = л + гф!'. 41 Дифференцируя вторично, находим ускорение; а = ч = л+ г — '+ гр)+ гр!+ гф — 1 = (г' — етг)1+ (2гр + гр)). Эти формулы дают разложение скорости и ускорения на радиальные (направ- ленные вдоль радиуса) и азимутальные (направ- ленныс по 1, т. с.
в с~орону возрастания угла ~Р) составляющие: Г,=Г, П =1ф, т (46. 13) и, = Р— р г, и = 2гф + гч' (46.14) 5. С помощью соотношения (46.10) получить формулы для дифференцирования синуса и косинуса. Р е ш е н и е. Рассмотрим единичный вектор А, равномерно вращающийся вокруг начала координат О (рнс. 127). Если координатные оси неподвижны, 1о А = 1 соз то( + ! з!п ш(, Рис. 127 Производная этого вектора по ( равны А = 1 — (соз од) + ! — (з!и то() . 41 ' Ш С другой стороны, ту же производную можно вычислить по формуле <46.10).
Так как ш = о>К, то эта формула дает А = ш (КА) = ш соз ш( ((О) + ш сйп Ы (К!) = ! оэ соз оэ( — 1 о> з1п шй Сравнивая оба результата, получим — (з(п ш() = а> соз ся, — (соз шт) = — а> з!и скк и х 41 Ю Можно сказать, что векторная формула (46. 10) эквивалентна правилам диф- ференцирования синуса и косинуса.
Решен не. Введем единичные векторы 1, 1, (с. Вектор 1 направим вдоль радиуса г. Вектор ! перпендикулярен к нему и направлен в сторону возрастания угла р. Вектор К (не изображенный на рисунке) перпендикулярен к плоскости рисунка и об- ) 1 разует с векторами 1 и ! правовинтовую систему. При движении точки векторы 1 и ! вращаются вокруг начала координат с у1ловой скоростью оэ = ф. г Вектор угловой скорости направлен вдоль К, так что 1о = ф11. Применяя формулы (46.11), находим про- 'т изводные векторов 1 и 12 41 =ф(К() =ф), ш =ф(К!) = ф( <46дг) Рнс. 126 д! 258 1гл.
Рп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТРЛА ф 47. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА. ОБЩЕЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 0 Рнс. !28 1. Рассмотрим плоское движение твердого тела, т. е. такое движение, когда все точки тела движутся параллельно одной плоскости. Не теряя общности, можно считать само тело плоским, а движение — происходящим в плоскости тела. Положение плоского тела однозначно определяется заданием положений каких-либо двух точек его. Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением движения какой-либо одной прямой плоского тела.
Пусть выбранная прямая твердого тела перешла из положения АВ в положение А,В, (рис. 128). Соединим точку А с точкой А,, а точку В с точкой В,, Из середин отрезков АА, и ВВ, восстановим перпендикуляры ЕО н 17О, пересекающиеся в точке О. Докажем, что прямую АВ можно перевести в положение А,В, путем одного поворота вокруг точки О. Действительно, нз построения следует, что точка О равноудалена от точек А и А,, а также от точек В и В,. В силу этого прямую АВ можно повернуть вокруг точки О так, чтобы точка А совместнлась с точкой АР Докажем, что гп д пРи этом точка В также совместитсЯ г х 2 с точкой В. Для доказательства до- ! пустим, что точка В не совместилась с точкой В„а заняла положение В2.
Разумеется, точка В2 будет находиться на таком же расстоянии от О, что и точка В, а потому ОВ, = ОВ . Кроме того, в треугольниках ОА,В, и ОА,В2 сторона ОЛ, — общая, а стороны А,В, и Л,В2 равны, так как тело твердое, а потому расстояние между концами отрезка АВ не меняется прн его движении. Следовательно, треугольники ОА,В, н ОА,В2 равны. Отсюда делаем вывод, что 2 ОА!В! = 2.ОА!В2, так что точка В2 должна совпадать с точкой В,. Таким образом, при плоском движении твердое тело может быть переведено из любого положения в другое произвольное положение с помощью одного повороти вокруг некоторой оси. Это положение является частным случаем теоремы Эйлера 1по имени Леонарда Эйлера (1707 — 1783)), доказываемой ниже.
Произвольное плоское движение тела можно разбить на ряд следующих друг за другом бесконечно малых перемещений. В результате получится ряд бесконечно близких положений 1, 2, 3, 4, ..., последовательно проходимых телом. Согласно доказанной теореме е 4д ТЕОРРМА ЭЙЛЕРА. ОБ!ПЕЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 259 переход тела из положения 1 в положение 2 может быть осуществлен поворотом вокруг некоторой оси О,; переход из положения 2 в положение 3 — поворотом вокруг другой бесконечно близкой оси Оз и т.
д. Если число промежуточных положений 1, 2, 3, ... стремить к бесконечности, а смещение тела из каждого положения в соседнее — к нулю, то произвольное плоское движение твердого тела может рассматриваться как вращение вокруг мгновенной оси, движущейся как в теле, так и в пространстве. 2. Совершенно аналогично формируется теорема Эйлера. Согласно теореме Эйлера твердое тело, имеющее одну нсподвижнук> точку, может быть переведено из произвольного положения в другое произвольное положение путем поворота вокруг некоторой оси, про>и>дящей через зту неподвижну>о точку. Доказательство теоремы Эйлера проводится совершенно так же, как и соответствующей теоремы для плоского движения.
Если одна из точек твердого тела С неподвижна, то его положение однозначно определяется заданием положении каких-либо двух точек А и В, не лежащих на одной прямой с точкой С. В качестве точек А и В можно взять две точки на поверхности сферы с центром в точке С. Проведем через центр сферы С и точки А и В плоскость. Она пересечет сферу по дуге большого круга АВ (см, рис. 128; мы не рисуем отдельно соответствуюшую сферу и дуги больших кругов, а пользуемся прежним плоским рисунком, мысленно заменяя, где это нужно, прямолинейные отрезки дугами больших кругов; понятно, что центр сферы С на плоском рисунке изобразить нельзя.) Движение дуги АВ по поверхности сферы однозначно определяет и движение всего твердого тела.
Пусть выбранная дуга перешла из положения АВ в положение А,ВО Соединим дугами больших кругов точку А С тОчкОй АО а тОчку В С тОчкОй В,. ЧЕРЕЗ СЕрЕдины Этих дуг Е и Р проведем перпендикулярные к ним дуги больших кругов ЕО и РО, пересекающиеся в точке О сферы. Точку О соединим с центром сферы С прямой ОС. Докажем, что дуга АВ может быть переведена в положение А,В, путем поворота вокруг оси СО. Действительно, по построению точки А и А„а также точки В и В, равноудалены от точки О. Ввиду этого твердое тело можно повернуть вокруг оси СО так, чтобы точка А перешла в положение А,.
Докажем, что при таком повороте точка В также перейдет в положение В,. Для доказательства допустим, что точка В при повороте перешла не в положение В,, а в положение Вз. П роведем дуги больших кругов ОА,, А,В2 и ОВ2. Так как точка Вз находится на том же расстоянии от О, что и точка В, то ОВ, = ОВТ. Кроме того, в сферических треугольниках ОА,В, и ОА,ВТ дуга ОА, общая, а дуги 2бо 1гл. Рп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА А, В, и А,В2 равны, так как тело твердое, и, следовательно, при его движении длина дуги АВ не изменяется.
Поэтому сферические треугольники ОА,В, и ОА,В2 равны, Значит, 2.ОА,В, = г ОА,В2, а потому точка В2 должна совпадать с точкой Вг Тем самым теорема Эйлера доказана. Доказанная в начале этого параграфа теорема является частным случаем теоремы Эйлера, так как плоское движение плоского тела может рассматриваться как предельный случай движения по сферической поверхности бесконечно большого радиуса. Рассуждая так же, как и в случае плоского движения, из теоремы Эйлера можно вывести следующее следствие.
Любое движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через зту неподвижную тстку. С течением времени мгновенная ость вообще говоря, непрерывно перемещается как в теле, так и в прострипстве. 3. Рассмотрим теперь самый общий случай движения твердого тела. Выберем в теле произвольную точку О. Всякое движение тела можно Разложить на постУпательное со скоРостью Ро, Равной скоРости точки О, и вращательное вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку.
Обозначая через со вектор О г л угловой скорости мгновенного вращения, можем написать для скорости другой произвольной точки А твердого тела ч = то+ 1сог1, (47.1) где г — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А (рис. 129). Скорость поступа- ТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Ро, КОНЕЧНО, ЗаВИСИт От 0 выбора точки Г). Но угловая скорость со не Рис.
129 зависит от положения точки О, к которой отнесено вращение твердого тела. Поэтому можно говорить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая зту точку. Докажем это. Выберем друтую произвольную точку тела О' и отнесем к ней вращение твердого тела. Соответствующую угловую скорость вращения обозначим через со. Тогда скорость ч прежней точки А можно представить в другом виде: ч = чо, + 1со'г'1, где г' — радиус-вектор, проведенный из О' в А, Так как речь идет о скорости одной и той же точки, то эта величина должна совпадать с (47. 1) . Это дает о+ асс "о + с~г1 ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА.
ОБ!ПЕР ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 261 3 4д Подставим сюда г' = г+ К, где К означает вектор О'О. Кроме того, примем во внимание, что скорость точки О можно получить векторным сложением скорости точки О' и скорости вращения вокруг нее с угловой скоростью ю', т. е. .о—- .о, + [ш К!. С учетом этого получим Т,Т + [яз'К! + [ГВ1 ! = О + [о2'(~+ К) [, или [В2г! = [ю'г!. В силу произвольности г отсюда следует ш' = со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
