Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Спустя время Т расстояние ! возрастает на иТ, а скорость шарика уменьшается на 2и. Период колебаний в только что указанном смысле изменится и сделается равным — хю 0 — и ь> > йэ~ ч-2и ч -4ч » или, пренебрегая квадратом малой скорости и, + 2итч-!-4зч, + и > т' Таким образом, за время Т период получает приращение !>Т=4Т ч= — Т вЂ”, э К В пределе, когда поршень движется бесконечно медленно, приращения ЬТ и з>К могут рассматриваться как бесконечно малые дифференциалы, и мы получаем уравнение дт ик — + — = О.
'1 К Интегрируя его, находим (43.(3) ТК = сопв!, т. е, величина ТК лвляетсл аднабатическил! ннвариалтом. б. В горой пример. Учтем теперь наличие силы тяжести. Пусты !— скорость отразившеюся ц!ара в верхнем цспс>кении (рис. !07). На расстоянии х его скорость о определится соотношением оз = оз>+ 2дх. Интеграл (43. ! 1) в рассматриваемом случае будет з = 2зп ~ т(Я+2рх дх, з где ! — расстояние между поршнем и дном цилиндра. Интеграл надо вычислить в предположенш!, что поригень закреплен, т. е, при постол>том !.
Вычисление дает 2 ! (от+2 ! за „з ~~ (оз зз 1 зх 2 где оз — скорость шара в нижнем положении. Таким образом, надо доказать, что разность оз — о, является адиабатичоским инвариантом. Для этою вычислим значения скоростей о! и гз спустя период Т. Обозначим эти значения через о! и гз соответственно. Разу- В меется, вычисление надо по-прежнему провести для Рис. (07 неподвижного поршня, но переместившегося в новое положение.
За период Т поршень переместится вверх на расстояние нТ. Шар пройдет это расстояние за время ЬТ =иТ)г! (если пренебречь величинами более высокою порядка малости). При этом под дей- 240 (гл. ш ГАРьтОнические кОлеБАния станем силы тяжести его скорость уменьшится на д ЬТ = диТ)ззз. Кроме того, нри отражении движунзегося поршня эта скорость дополнительно уменьшается на 2и, Поэтому т 'г и', = зй — (д — + 2) и = Рз — 2 — и, так как т и2 = нз + А' 2 На уровне АВ скорость шара будет з, = ьб — 2и, а около дна цилиндра нгг = г",~+ 2Я(= (з, — 2и) + 2Я( = ег г— 4з,и, если пренебречь квадратом и.
Извлекая квадратный корень и снова пренеб- регая иг, получим г =в — 2 — и. 'г= г С той же степенью точности вг — — ог — бюзззги, ззз = ззз — бзззнги. 'з — з з з Значит, вгз — взз — — гг з— нзз или з" — з' = О, пРичем это соотношение веРно с точностью до членов порядка иг = )г. Разделив сто на время Т и отождествив частное (У' — 3))Т с производной гУМ, получим лг А) 2 ш где А от ) не зависит. Имея в виду, что нас интересуют изменения величины У при конечных изменениях 1, преобразуем это соотнои~енис, введя вместо дифференциала времени дифференциал длины Ж = ) и(.
Тогда получится — = А(, 4./ тн или в пределе нри ( -ь Π— = О. згз ш Следовательно, У = сопят, как бы велики ни были изменения параметра й т. е. величила з' является адиабалшческил инвариантны. Такая адиабатичсская инвариантность получилась благодаря тому. что производная гтзМ оказалась пропорциональной вшорой, а не первой степени 1. Если бы г(зззз( была пропорциональна первой степени производной (, то адиабатической инвариантности з' не получилось бы. ЗАДАЧИ Е Шарик математического маятника (или шарик, прикрепленный к пружине с заданной жесткостью) медленно испаряется (система с переменной массой). Будет ли величина ЕТ адиабатическим инвариантом и почему? Ответ.
Нет. 241 5 431 АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 2. Шарику массой ш, надетому на тонкую стальную спицу, масса которой пренебрежимо мала но сравнению с и, сообщена продольная скорость в направлении к точке закрепления спицы, а также скорость в перпендикулярном направлении. Предполагая„что за период колебания шарика его смещение вдоль спицы мало по сравнению с ее длиной, и пренебрегая трением, определить характер последующего движения шарика. Решен ие.
Если н — поперечная скорость шарика, то величина о Т г является адиабатическим инвариантом. Период Т нронорционален расстоянию 1шарика от точки закрепления спицы (см.задачу 20 к я 42). Поэтому адиабатическим инвариантом будет также А = ез1. Кроме того, движение шарика подчиняется закону сохранения энергии, который требует, чтобы полная скорость шарика н сохранялась по абсолютной величине. Если е(— скорость шарика вдоль спицы, то оз глез+ от = сопз1.
Таким образом, величина А = (нз — ф1 ость адиабатический инвариант. Па расстоянии 1, нри котором н (з — — А, продольная скорость е1~ обратится в нуль. Поэтому ша- 3 рик не может подойти к точке закрепления ближе расстояния 1з. Достигнув положения 1=1, он должен отразиться. глава чп МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА В 44. ТВЕРДОЕ ТЕЛО В МЕХАНИКЕ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1. В двух предыдущих главах уже говорилось о законах движения твердого тела и их применениях к некоторым простейшим движениям.
В этой главе будет продолжено изучение избранных вопросов механики твердого тела. Напомним, что твердым телом в механике называют неизменяемую систему материальных точек, т. е. такую идеализированную систему, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками системы остаются неизменными. Здесь, как и вообще в классической механике, под материальными точками понимают не атомы или молекулы, а достаточно малые макроскопическне части, на которые мысленно можно разделить рассматриваемую механическую систему. С атомистической точки зрения силы взаимодействия между матернальнымн точками твердого тела являются силами электрическими. Но атомистический подход чужд феноменологической механике твердого тела.
Последняя рассматривает твердое тело как еплошнуго среду, между различными элементами которой действуют внутренние силы в виде нормальных и касительных напряжений. Причиной их феноменологическая механика считает деформаиии тел Если в теле совсем нет деформаций, то не может быть и внутренних напряжений. Однако если деформации, возникающие под действием внешних сил, малы и сами по себе нас не интересуют, то в ряде случаев от ннх можно отвлечься. Таким путем мы приходим к идеализированной модели тела, соверпгенно не способного деформироваться, хотя под действием внешних сил в нем и могут возникать внутренние натяжения и давления.
Это и есть идеально твердое тело. Допустима или нет такая, как и всякая другая, идеализация — это определяется не только свойствами реальных тел, но и содержанием тех вопросов, на которые надо получить ответ. 2. Твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы (см. 4 8).
Для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений. Вместо них можно взять два независимых векторных уравнения. Таковыми являются уравнение движения центра масс (44. 1) УРАВИРНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 242 Е 44) и уравнение моментов Мннеен (44.2) Уравнение моментов можно брать относительно произвольного неподвижного начала или относительно центра масс твердого тела. Можно также брать произвольно движущееся начало, если только скорость его в любой момент времени параллельна скорости центра масс (см.
5 37). При ограничении свободы движения число независимых уравнений, требующихся для описания движения твердого тела, уменьшается. Оно всегда равно числу степеней свободы. В уравнения (44.1) и (44.2) входят только внешние силы. Внутренние силы не влияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела, Они могут изменять только взаимное расположение и скорости материальных точек тела. Но для абсолютно твердого тела такие изменения невозможны. Таким образом, внутренние силы не влияют на движение твердого тела. Если же сила внешняя, то точку приложения ее можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой она действует.
Действительно, при таком перемещении не меняются результирующая внешних сил Р„н„„и их момент М„н„„, т. е. уравнения движения (44.1) и (44.2) остаются без изменения. Подобное перемещение недопустимо в случае деформированного тела, так как оно приводит к перераспределению деформаций и изменению внутренних движений тела.
3. Если твердое тело покоится, то уравнения (44.1) и (44.2) переходят в (44.3) Менем Рннеш Это несхбходилеьее условия равновесия твердого тела. Но оии не являются достаточными. При их выполнении центр масс может еше двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью, а само тело может вращаться с сохранением вращательного импульса. Так как при равновесии результирующая внешних сил Р,„„н равна нулю, то момент этих сил М„н, в состоянии равновесия не зависит от положения неподвижного начала О, относительно которого он берется [см.
формулу (30.7)1. Поэтому при решении любой задачи на равновесие твердого тела начало О можно выбирать произвольно, что можно использовать для упрощения самого решения. 4. Не всегда можно заменять реальные твердые тела идеализированными абсолютно твердыми моделями даже в тех случаях, когда деформации пренебрежимо малы.
В качестве примера рассмотрим задачу о равновесии твердой балки. Пусть однородная балка весом Р лежит на двух опорах 1 и 2 (рис. 108). Центр масс балки находится посередине между опорами. Найдем силы Р, и Р, с которыми балка давит на опоры. Механика твердого гела дает два условия равновесия: (44.4) 244 (гл. чгг МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА где 1 — расстояние между опорами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
