Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Из рис. 83 видно, что х = А соз (сог + Ь), (39. 1) Эта формула и описывает аналитически гармоническое колебательное движение точки ссс вдоль диаметра ссгсдсз. Величина А дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия О. Она называется кчплипсудой колебания. Величина со называется ссиклической частотой. Величину сог + Ь называют Фазой колебания, а ее значение при 1 = О, т. е. величину Ь, — начальной фазой.
Если Ь = О, то х = А сов юц если Ь = — л/2, то х = А кйп сьг и т. д. Таким образом, при гармоническом 216 1гл, тс ГАРМОНИЧГСКИВ КОЛВВАНИЯ 2к Т= — ' Ы (39.2) фаза получает приращение 2л, а колеблющаяся точка возвращается в свое исходное положение с сохранением начального направления движения. Время Т называется периодом колебания. Скорость колеблющейся точки найдется дифференцированием выражения (39.1) по времени. Это дает и = х = — соА гйп (юс + Ь). (39.3) Дифференцируя вторично, получаем ускорение а = Ь = — созА соз (со1 + Ь), (39.4) или, используя (39.1), а со2х (39.5) Сила, действующая на материальную точку при гармоническом колебании, равна г = та = — тсотх (39.6) Она пропорциональна отклонению х и имеет противоположное на- правление.
Она всегда направлена к положению равновесия. Такого рода силы часто возникают при малых смещениях материальной точки из положения равновесия. й 40. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ 1. Рассмотрим спиральную пружину, один конец которой закреплен, а к другому подвешено тело массой т (рис. 84), Пусть 1„— длина недеформированной пружины. Если пружину растянуть или сжать до длины 1, то возникает сила г", стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. При небольших растяжениях х = 1 — 1о справедлив закон Рука — сила пропорциональна растяжению пружины: г" = — Ах. В этих условиях уравнение движения тела имеет вид тх = — /сх.
(40.1) Постоянная /с называется коэффиссиессто,и упругости или жесткостью пружины. Знак минус означает, что сила г направлена колебании абсцисса х является синусоидальной или косинусоидальной функцией времени и Для графического изображения гармонического колебательного движения можно откладывать по горизонтальной оси время С а по вертикальной оси — смещение точки х (см.
рис, 22). Тогда получится периодическая кривая — синусоида. Форма кривой полностью определяется амплитудой А и циклической частотой со. Однако ее положение зависит также от начальной фазы Ь. По истечении времени ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕГ>АНИЯ ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ 217 Е 401 в сторону, противоположную смещению х, т. е. к положению равновесия. Г1ри выводе уравнения (40.1) предполагалось, что никакие другие силы на тело не действуют, Покажем, что тому же уравнению подчиняется движение тела, подвешенного на пружине в однородном поле тяжести. Обозначим в этом случае бук- Я~жь вой Х удлинение пружины, т.
е. разность Х = 1 — (ш Пружина тянет Груз вверх с силой АХ, сила тяжести— вниз, Уравнение движения имеет вид 6 тХ = — АХ+ тя х + созх = О. (40.2) Это уравнение совпадает с уравнением (39.5). Функция (39.1) является решением такого уравнения при любых значениях постоянных А и Ь. Можно доказать, что это есть оби1ее решение, т. е. всякое решение уравнения (40.2) может быть представлено в виде (39.1). Различные решения отличаются друг от друга только значениями постоянных А и Ь.
(Доказательство приводится в конце параграфа.) Из изложенного следует, что груз на пружине будет совершать гармонические колебания с круговой частотой (40.3) и периодом 2х 1пс Т = — ' = 2и1( —. (40.4) Период колебаний Т не зависит от амплитуды А. Это свойство называется изохронностыо колебаний. Изохронность, однако, имеет место до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях закон Гука нарушается. Тогда и колебания перестают быть Пусть Хв означает удлинение пружины в положении равновесия. Тогда — lсХв+ тх = О. Исключая вес тА, получим тХ = — й(Х вЂ” Хе), тогда уравнение движения примет прежний вид (39.1).
Величина х по-прежнему означает смещение груза из положения равновесия. Од- Рис. е4 пако положение равновесия смещается под действием силы тяжести. Кроме того, при наличии тяжести меняется смысл величины — 1сх. Теперь она означает равнодействующую сил натяжения пружины и веса груза. Но все это не затрагивает математическую сторону колебательного процесса.
Поэтому можно рассуждать так, как если бы силы тяжести совсем не было. Так мы и поступим. 2. Результирующая сила Т = — 1сх имеет такой же вид, что и сила в выражении (39.6). Если положить тсоз= 1с, то уравнение (40.1) перейдет в 218 1гл, ю ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ изохронными, т. е. появляется зависимость периода колебаний от амплитуды. Амплитуда А и начальная фаза Ь не могут быть определены из дифференциального уравнения (40.2).
Эти постоянные определяются начальными условиями, например начальными значениями смещения х и скорости х. Дифференциальное уравнение (40.2) справедливо при любых начальных условиях. Оно описывает весь комплекс колебаний, которые может совершать рассматриваемая система. конкретное колебание выделяется из этого комплекса заданием постоянных А и Ь. 3. Потенциальная и кинетическая энергии тела даются выражениями (40.5) Каждая из них меняется во времени. Однако их сумма Е во времени должна оставаться постоянной: Е = — кхг + — тхг = сопз1. (40.б) 2 2 Если воспользоваться выражением (39.1), то из формул (40.5) найдем Еиоч = 2 КА СОЗ (Егг+ Ь), Еиии = 2 тю 4 З!П (011+ Ь), 1 или в силу соотношения (40.3) 1 иАг ;Пг (,Г + Ь) Эти формулы можно также записать в виде Еиог 4 кА 11 + соз 2(ГОГ + Ь) ), Е„и„= — /сА~(1 — соз 2(шГ + Ь) ).
Они показывают, что кинетическая и потенйиальпые энергии в отдельности не остаются постоянными, и совершиют гирмочические колебания вокруг общего среднего значения 1'4 7ГАг с удвоечпой круговой частотой 2ш. Когда кинетическая энергия проходит через максимум, потенциальная обращается в нуль и обратно.
Однако полная энергия Е = Е„„„+ Е„„, остается постоянной и связана с амплитудой А соотношением Е = — /ГАг, ! 2 (40. 7) Приведенное простое вычисление вместе с тем показывает, что выражение (39.1) является решение дифференциального уравнения (40.6) при условии, что частота вг определяется формулой (40.3), а амплитуда А — формулой (40.7). Таким образом, при заданной ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕГ>АНИЯ ГРУЗА НА ПРУЖИНЕ 219 Е 401 полной энергии Е постоянная А не произвольна. Имеется лишь одна произвольная постоянная, определяемая начальными условиями, а именно начальная фаза 6. Для ее определения достаточно знатен например, либо начальное смещение, либо начальную скорость.
Наличие в решении только одной произвольной постоянной связано с тем, что уравнение (40.6) — первого порядка по времени, в отличие от (40.2), которое является уравнением второго порядка. Впрочем, на энергию в уравнении (40.6) можно смотреть как на параметр, который может принимать любые положительные значения, определяющиеся начальными условиями. Тогда уравнение (40.6) становится полностью эквивалентным уравнению (40.2), 4.
Все изложенное здесь применимо к гармоническим колебаниям любых механических систем с одной степенью свободьс, Мгновенное положение механической системы с одной степенью свободы может быть определено с помощью какой-либо одной величины а, называемой обобщенной координатой, например угла поворота, смещения вдоль некоторой линии и пр. Производная с) обобщенной координаты по времени называется обобщенной скоростью. При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы за исходное удобнее брать не уравнение движения Ньютона, а уравнение энергии. Его обычно легче составлять. Кроме того, оно в известном смысле проще уравнения Ньютона, так как является дифференциальным уравнением первого, а не второго порядка по времени.
Допустим, что механическая система такова, что ее потенциальная и кинетическая энергии выражаются формулами вида (40.8) где а и р — положительные постоянные (параметры системы). Тогда закон сохранения энергии приводит к уравнению е = — пс22 + — фз = сопз1.
2 2 (40.9) Оно отличается от уравнения (40.6) только обозначениями, что при математическом рассмотрении не имеет значения. Из математической тождественности уравнений (40.6) и (40.9) следует, что и общие решения их одинаковы. Поэтому если уравнение энергии приводится к виду (40.9), то (40.10) в= о (юг+6), т. е. Обсгбщеннатс координата а совершает гарзгоническое колеоа- ние с круговой частотой (40.11) со = у ат'р.
5. В заключение покажем, как можно найти общее решение дифференциального уравнения 140.2). Из этого уравнения прежде всего вытекает 220 !гл. у! ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ уравнение энергии (40.6>. Поэтому можно сразу исходить из уравнения (40.6>. Используя соотношение (40.3), запишем это уравнение в виде юзхз + х2 = сопз1. (40.12) Левая часть этого соотношения существенно положительна, так как она равна сумме квадратов. Поэтому правую часть можно обозначить через юзА2, введя тем самым новую постоянную А. Тогда (2 2( !2 .2) (40.13) Так как .К2 и О, то х < А. Поэтому можно положить (40.14> х = А соз О, где Π— неизвестная функция времени Е.
Подставляя это выражение в уравнение (40.13), получим хг = г«2А2(1 — созг О) г«2 12 ь!пг О откуда х = ж г«А Мп О. С другой стороны, дифференцируя выражение (40.!4) но времени, находим х = — ОА з!и О. Сравнение полученных выражений для х дает О = ж т«, откуда О= жю(+Ь, где Ь вЂ” произвольная посюянная. Таким образом, х = А соз ( ж «2( + Ь) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
