Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Однородность пространства означает, что в пространстве нет выделенных положений, все точки пространства равноправны. Аналогично изотропия пространства характеризуется отсутствием в нем выделенных направлений, все направления в пространстве эквивалентны. Более полно: Однородность времени означает, что если в два любые момента времени все тела замкнутой системы поставить в совершенно одинаковые условия, то начиная с этих моментов все явления в ней буд>т протекить совершенно одинаково. Однородность пространства означает, что если замкнутую систему тел перенести из одного места пространства в др>гое, поставив при этом все тела в ней в гпс же условия, в каких они находились в прежнем положении, то это не отразится на ходе всех последуюи1их явлений. В том же смысле надо понимать и изотропию пространства, только вместо переноса замкнутой системы надо говорить о ее повороте в пространстве на любой угол.
Оговорка относительно замкнутости системы существенна. Положения тела у подножья горы и на ее вершине отнюдь не эквивалентны. На Земле направления вверх и вниз объективно характеризуются разными свойствами: тела на Земле из состояния покоя самопроизвольно всегда падают вниз, но никогда не поднимаются вверх.
Одно и то же явление протекает по времени по-разному, если его начать воспроизводить в различные моменты времени, так как при переходе от одного момента времени к другому может измениться обстановка, в которой явление происходит. Но все эти примеры относятся к незамкнутым системам. На поведении замкнутых систем изменения окружающей обстановки не сказываются. Здесь необходимо сделать такое же замечание, что и в й 15 в связи с принципом относительности Галилея.
Нельзя понимать под замкнутой системой тел всю Вселенную. Если поступить так, то 212 1гл. г мОмент импульсА перечисленные свойства симметрии пространства и времени стали бы самоочевидными. Но они стали бы и бессодержательными. Ибо говорить о переносе или повороте системы тел можно только по отношению к каким-то другим телам. Речь идет не о всей Вселенной в целом, а о таких ее частях, которые можно рассматривать как (приближенно) замкнутые системы.
Отсюда ясно, что свойства пространства и времени, о которых мы говорили, отнюдь не самоочевидны, На них надо смотреть как на 4ундаментолвные о1юбщендя опытных Фактов. 3. После этих разъяснений обратимся к выводу закона сохранения энергии в механике. Из динамики мы заимствуем следствие второго закона Ньютона, выражающееся формулой .412 = Кг й"~ (38. 1) т. е. работа сил над механической системой равна приращению ее кинетической энергии К 1'см.
5 22). Следующую часть наших рассуждений проведем применительно к одной материальной точке. В случае системы материальных точек все будет обстоять так же, изменится только число аргументов, от которых зависит потенциальная функция 11, вводимая ниже, Предположим, что проекции силы Р„, Го Ро действующие на материальную точку, могут быть получены дифференцированием потенциальной функции 1/: аи до' дУ а -: у ау' — а.' Однако сама потенциальная функция 11 может зависеть явно не только от координат х, у, г рассматриваемой материальной точки, но и от времени 1: У = 11(х, у, х, 1). Например, это будет так, когда точка находится в силовом поле других тел, которое меняется во времени.
Работа, производимая действующими силами над матери- альной точкой при перемещении ее вдоль некоторой кривой из по- ложения 1 в положение 2, представляется интегралом = — ~ ( — *~ — ь+ — ь), 1дь' дь' дь' 1г ~дх ду дг взятым вдоль той же кривой. Прибавим и вычтем под знаком интегд0 рала член —, Ж, Тогда, вводя полный дифференциал д1 аи = г1х + г1у + с1г + г11, аи ди аи ди дх ду дг д1 представим предыдущее выражение в виде А1г= ~ г1~~+ ~ В таком виде оно справедливо и для системы материальных точек. Поэтому дальнейшие рассуждения не связаны с предположением, 213 З зз1 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ что система состоит из одной материальной точки.
После интегри- рования получаем Л,З= УУ, — 1УЗ+ ~ — ~Й. аи ш (38.2) Комбинация этой формулы с (38.1) приводит к соотношению 1АЗ+ 1Уг) %1+ Ю = ~ (38.3) До сих пор мы не использовали условие замкнутости системы и свойства однородности времени, поэтому наши рассуждения применимы и для незамкнутых систем. Допустим теперь, что система замкнута. Тогда ввиду однородности времени функция УУ не может аи явно зависеть от времени, т. е. — = О. В результате получим а1 К~ + УУ~ — Усг + УУЗ (38.4) т. е. уравнение, выражающее механический закон сохранения энергии.
4. Перейдем к доказательству закона сохранения импульса. Допустим, что механическая система замкнута. Все силы Р„Р2, ..., действующие на материальные точки системы, являются силами внутренними, внешних сил нет. Ввиду однородности пространства энергия системы не изменится, если систему сместить из одного положения пространства в другое.
Математически 1У1гн г,, ...) = и(г, + Я, г, + В, ...), каковы бы ни были радиусы-векторы материальных точек системы в начальном полохсении г,, г2, ... и каков бы ни был вектор смещения К. Выберем м бесконечно малым и направим его вдоль оси Х: й = Ьх К Тогда + аи+ 8,=0 Ввиду произвольности Ьх выражение в скобках обращается в нуль. А в силу (29.9) его можно представить в ниде Г„. + Гз + ... = О.
Аналогичные соотношения можно написать и для проекций сил на оси у и У. Вообще для замкнутой системы Р, + Р2+ ... = О. А это есть как раз то условие, при выполнении которого из второго закона Ньютона получается закон сохранения импульса (см. з 12). 5. Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы доказывается в точности так же. Используя изотропию пространства, можно доказать, что геометрическая сумма моментов внутренних сил, действующих в системе, равна нулю: М, + Мз+ ...
= 0 1сьь задачу 2 к з 46). Отсюда немедленно следует рассматриваемый закон 1см. й 30). 214 (гл. у МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЗАДАЧИ 1. Пусть ()(гн гз) означает потенциальную энергию взаимодействия двух материальных точек как функцию радиусов-векторов г, и гз, определяющих их положения в пространстве. Используя однородность пространства, доказать, что (l является функцией только разности гз — гп Обобщить результат на случай системы л взаимодействующих материальных точек. Решен ив. Ввиду однородности пространства потенциальная энергия (2 не изменится, если обе взаимодействующие точки сместить на один и тот же вектор а.
Записанное математически, это условие гласит: ()(гп гт) = (т(г, + а, гз + а) . Это соотношение должно выполняться, каков бы ни бьш вектор а. Полагая а= — гп получим (У =(1(0, гз — г,), т, е. (1 = у'(гз — г,), где у' — какая-то функция только разности гз — гг Если система состоит из л взаимодействующих материальных точек, то, рассуждая аналогично, найдем (1 = У(г, — гп г, — гп ...) . Разумеется, вместо первой точки можно взять любую из материальных точек системы. Значит, потенциальная энергия (1 может зависеть только от л — 1 векторных аргументов: разностей радиусов-векторов каких-либо л — 1 точек системы и радиуса-вектора остальной точки.
2. Какие дополнительные ограничения накладывает на вид функции (1 изотропия пространства? О тает. Потенциальная энергия (У может зависеть только от расстояний каких-либо л — 1 материальных точек системы от остальной точки. 3. Используя однородность пространства и галилеевский принцип относительности, показать, что сила взаимодействия материальных точек 1 и 2 не зависит от их координат и скоростей, а может зависеть только от раэносшей этих координат и скоростей. Решен не. В силу однородности пространства и галилеевского принципа относительности ускорение а, а с ним и сила г = та инвариантны относительно переноса начала координат и преобразования Галилея. Возьмем две системы отсчета 5 и 5'.
Рассматривая силу У как функцию координат и скоРостей в системе 5', напишем У = У(гп гз, ч',, Уз) . СистемУ Я' можно выбрать произвольно. Выберем сс так, чтобы в рассматриваемый момент времени материальная точка т' находилась в начале координат (г, = О), а ее скорость равнялась нулю (у', = О). Тогда в этот момент сила У будет функцией только двух аргументов: у = у(тзгз, тзчз). но разности координат и скоростей в обеих системах отсчета одинаковы, а потому Лгз — — гз — г, = гз — гп етгз — — Уз — У, =Уз — Уп В РезУлшате полУчим У = г(гз — гп Уз — У1).
ГЛАВА Ч~ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ в 39. КИНЕМАТИКА ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Колебательные явления играют важную роль в самых разнообразных вопросах физики, Подробный разбор их дается в других разделах нашего курса. Здесь же мы ограничимся предварительным рассмотрением простейших механических колебаний. Начнем с колебапсельного движения материальной точки. В таком движении точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение и притом в одном и том же направлении.
Важнейшим среди колебательных движений является так называемое простое или гармоническое колебательное движение. 0 нем мы уже говорили в З 11. Характер такого движения лучше всего раскрывается с помощью следующей кинематической модели. Допустим, что геометрическая точка М равномерно враща- сьсс-Ь ется по окрузкности радиуса А с лсс о х н л, х постоянной угловой скоростью ю (рис. 83). Ее проекция ссс на диаметр, например, на ось Х, будет совершать колебательное движение от крайнего положения ссгс до другого крайнего по- Рис. 83 ложения Лсз и обратно. Такое колебание точки ссс и называют простым или гармоническим колебанием. Чтобы его описать, надо найти координату х точки ссс как функцию времени б Допустим, что в начальный момент времени г = О радиус ОМ образовывал с осью Х угол Ь. Спустя время С этот угол получит приращение сог и сделается равным со1 + Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
