Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 55
Текст из файла (страница 55)
100). Другой конец стержня подвешен на пружине с жесткостью /г. Расстояние между центром масс стержня и осью вращения СО = и. Момент инерции стержня относительно оси О равен й Найти удлинение пружины хз (по сравнению с ее длиной в недеформировапном состоянии) в положении равновесия, если в этом положении стержень горизонтален.
Определить также период малых колебаний стержня около положения равновесия. иша .) / а Ответ. хо =, Т = 2л в —. /с/ / Е/т Рис. 100 12. К концу однородного стержня длиной / и массой т прикреплена короткая упругая пластинка. Пластинку зажимают в тисках один раз так, что стержень оказывается внизу, а другой раз — вверху (рис. !01).
Определить отношение периодов малых колебаний стержня в этих случаях. Момент упругих сил пластинки пропорционален углу отклонения стержня от положения равновесия, причем коэффициент пропорциональности равен Е. / Ответ. —, гь- Т /гымк/ !3. Два незакрепленных шарика с массами и, и / /лг соединены друг с другом спиральной пружинкой с жесткостью Е. Определить период колебаний шариков относительно центра масс системы, которые возникнут при растяжении пружинки. ~а,тг О т в е т. Т = 2л т/ ~(-, -,) 14. Два диска с моментами инерции /, и тг насажена на общую ось, проходящую через их центры. Осью являются стержень с модулем кручения Определить период крутильных колебаний одного диска относительно другого в предположении, что система свободна.
Массой стержня пренебречь. /( /( Ответ. Т = 2л )~ Му(/,т/,) ' ~л и/ е /г 15. Два сплошных однородных цилиндра с одинаковым радиусом /( и массами т, и тг лежат на Рис. 102 горизонтальном столе и связаны с помощью двух одинаковых пружин с жесткостью Е каждая, как показано на рис.
102 (вид сверху). Определить период малых колебаний, которые возникнут, если растянуть пру- БиФиляРный и тРиФиляРный ппдввпы 231 8 421 жины и предоставить сисгему самой себе, не сообщая ей дополнительной скорости. Цилиндры катаются по столу без проскальзывания. Пружины могут работать как на растяжение, так и на сжатие. Зм|в, Ответ. Т=я)~ гч Н) 16.
Колебания обычного математического маятника изохронны (точнее, приблизительно изохронны) только тогда, когда их амплитуды малы. Гюйгенс задался целью построить маятник, который совершал бы строго изохронные колебания при любых амплитудах. Он показал, что таковым является диклоидальиьш маятник. Циклоидальиый математическии маятник представляет собой материальную точку, совершающую колебания, двигаясь под действием силы тяжести по дуге циклоиды. Показать, что колебания циклоидального маятника изохронны, и вывести формулу для его периода. Решение. Как известно, циклоида представляет собой кривую, описываемую одной из точек окружности, катящейся по неподвижной прямой.
Для наших целей надо взять циклоиду, обращенную выпуклостью вниз. В соответствии с этим причем, что окружность расположена ниже горизонтальной прямой, по которой она катится (эта прямая на рис. 103 изображена штриховой линией). За ось Х примем параллельную ей прямую, смещенную вниз на диаметр окружности 2а. Пусть точка А на катящейся окружности, описывающая циклоиду, в исходном положении находится на оси О Х У в наивысшей точке. Если окружность при качении цо- Рис. 103 вернется на угол Р, то ее центр С переместится вправо на расстояние ар. При этом точка А сместится относительно центра влево на расстояние а гйп Р и вниз на расстояние а(1 — соз Ф).
Поэтому прямоугольные координаты точки А станут х=а(р — з)п Р), > =а[1+сов р). Это — уравнение циклоиды в параметрической форме. Пусть теперь х и у означают координаты материальной точки, совершающей циклоидальные колебания под действием силы тяжести. Параметр Р становится функцией времени. Потенциальная энергия точки будет 1/ = тХу, кинетическая— К = Г)2т(х + ут). Найдя производные х, у и выполнив элементарные преобразования, получим и=2пгаасоззЕ, К=2татз)птЕ Р'. 2* 2 1 Введем обозначение а = соз х.
Тогда а = — — з)п ф. Величина а может 2' 2 2 быть принята за координату, определяющую положение колеблющейся точки, а ее производная а — за соответствующую обобщенную скорость. В этих обозначениях () = 2гиХаа~, К = 8та а-. Потенциальная энергия является квадратичной функцией координаты д, а кинетическая — производной а с постоянными коэффициентами.
Отсюда гзг 1гл. ш ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ делаем вывод, что при любых амплитудах колебания циклоидального маятника будут изохронными и гармоническими с периодом Т=2я1~ —. Г4а я 17. Маятник подвешен на резинке, растянутой настолько сильно, что ее первоначальной длиной можно пренебречь. Возмо>кны ли горизонтальные гармонические изохронпые колебания маятника сколь угодно большой амплитуды? Если возможны, то определить период этих колебаний.
Возможны ли круговые движения маятника в вертикальной плоскости? Каково будет движение при любых начальных условиях? О тв ет. И те и другие движения возможны. Их период 1»> Т = 2я ) —, )Е где ш — масса маятника, Š— жесткость резинки. При произвольных начальных условиях движение маятника будет происходить по эллипсу с периодом обращения Т. 1В. По штанпк вращающейся в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью ю, может скользить без трения груз массой >и, удерживаемый на некотором расстоянии от оси вращения пружиной с жесткостью Е и начальной длиной гв. Найти движение груза, которое возникнет, если штангу мгновенно остановить.
Ответ. >'=гв 1+» созе>вГ, Где юз= в> — О> ) " м а При этом должно быть ш < с>в. В противном случае равновесие груза на вращающейся штанге в области применимости закона!'ука было бы невозможно. 19. На горизонтальной пружине укреплено тело массой М = 1О кг, лежащее на гладком столе, по которому оно может скользить без трения (рис. 1041. В это тело попадает и застревает в нем пуля массой лг = 10 г, летящая с горизонталь- " Я ной скоростью г = 500 м!с, направленной вдоль оси пружины. Тело вместе с застрявшей в нем пулей отклоняется от положения Рис. 104 равновесия и начинает колебаться относительно него с амплитудой а = 1О см. Найти период колебаний тела.
М -~- >и Ответ. Т=2п а 1,2бс. тв 20. На тонкую стальную спицу надет шарик. Противоположный конец спицы неподвижно закреплен. Показать, что если масса спицы пренебрежимо мала по сравнению с массой шарика, то период малых колебаний, возникающих при отклонении шарика в сторону, пропорционален расстоянию 1 между шариком и точкой закрепления спицы.
У казан ив. Рассмотрим вспомогательную однородную спицу, согнутую в кольцо. Если ее разрезать в одном месте и к концам прикрепить шарики А и В, то появятся упругие радикальные силы Р, приложенные БиФиляРный и ТРиФиляРный ппдввпы 233 5 421 к шарикам, стремящиеся распрямить спицу (рис. 105). Силы эти не за- висят от места, где произведен разрез. Заметив э1о, вернемся теперь к нашей задаче.
Если шарик сместить в сторону, то спица деформируется. При малых деформациях участок ее между шариком и точкой закрепления спицы можно в первом приближении считать дугой окружности. На основании Р предыдущего замечания можно утверждать, что при смещении шарика по этому деформированному участку действующая на него сила будет меняться.
Пользуясь этим, нетрудно показать, что жесткость (б спицы будет обратно пропорРис. 105 циональна квадрату длины 1. 2!. Найти период колебаний физического маятника в зависимости от уг- ловой амплитуды. Решен ив. Закон сохранения энергии даст '2 — Р = тра(соз Р— соз Рб), 2 где р — угол отклонения маятника из положения равновесия, а 32б — максимальное его значение (угловая амплитуда колебаний). Введя приведенную Ш1ину маятника (41.4) и выполнив несложные преобразования, получим — =2 в — ып — — ып 1141 .)М . 2 Чб 2 г 111 11 2 2' Разрешив это уравнение относительно Ж и ин1егрируя по ~р, найдем период колебаний маятника Т как учетверенное время прохождения интервала углов от р = 0 до 32 = Фб.
При интегрировании удобно ввести новую переменную интегрирования и = ып (р/2)1в)п (рб12). В результате получим — Г„ . 12 1 г(и Т= 4 где введено обозначение 1! т ып (41В!2). Входяший сюда интеграл не берется в элементарных функпиях. Он называется полным эл.титическши интегралом первого рода. Его можно представить в виде бесконечного ряда. Так как )(б ып и ~ < 1, то подьттегральное выражение можно разложить в ряд по формуле бинома Ньютона: 1 3 4 . 4 !.3 5 б „ б 12, 2 )-1а ! ! 12, 2 1 ' дбз 4 ! ' 16 „б 2 24 24б Этот ряд равномерно сходится, а потому его можно интегрировать почленно. Сделав это, получим 2 2 Т = 2п 1) — ~1+ — ып — + ~ — в)п — + ~ в1п — + ...
! . 2Ч'а (1'31 . 4рб (1 3 51 . бтб 4 2 ~~ 4! 2 ~2 4 б~ 2 При малых амплитудах 31б эта формула переходит в (41.3). 234 ~гл.ш ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ й 43. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 1. Энергия, импульс или момент импульса механической системы являются функциями ее координат и скоростей. Если система замкнута, то эти величины сохраняются, т. е.
не меняются с течением времени. Если же система не замкнута, а параметры, определяющие ее состояние, изменяются во времени, то указанные величины, вообще говоря, также изменяются. Возьмем, например, математический маятник, нить которого перекинута через гвоздь. Параметрами здесь являются длина нити 1 и ускорение свободного падения я, Можно тянуть за свободный конец нити, уменьшая или увеличивая й При этом над маятником совершается внешняя работа, а потому энергия его изменяется. Можно также менять ускорение свободного падения, поднимая или опуская маятник над земной поверхностью.
Среди различных изменений внешних параметров играют свободную роль бесконечно медленные изменения, называемые адиибитическими»). При этом параметры, сколь бы медленно они не менялись, могут принимать любые значения, лежащие в допустимых пределах. Для изменения их на конечные величины требуется лишь достаточно длительное время.
Изменения параметров системы, даже медленные, влекут за собой и изменения других физических величин. Так, энергия системы, как уже отмечалось, не остается постоянной, поскольку во время изменения параметров над системой производится работа. Но могут встречаться и такие величины, которые остаются постоянными или приблизительно постоянными из-за медленности изменения параметров. Функции координат, скоростей и параметров сисгпемы, остиюисиеся постоянньсми при бесконечно медленньтл изменениях параметров, называются адиабатическими инвириинтами. Это определение в дальнейшем будет уточнено, поскольку само понятие чмедленности» нуждается в уточнении.
Аднабатические инварианты играли большую роль в старой полуклассической теории атома Бора. Но они имеют важное значение и в других разделах физики. 2. Выясним понятие адиабатического инварианта сначала на простейшем, но важном примере гармонического осциллятора, собственная частота которого очень медленно изменяется во времени. Примером может служить математический маятник, медленно изменяющимися параметрами которого являются длина нити 1 н ускорение свободного падения я (точнее, нх комбинация огз= бЛ). Другим примером может служить колебание шарика на пружине, жесткость которой гс является медленно меняющимся параметром.
Все эти системы, называемые гарлюгтическими ггсцигоитторамн, математически эквивалентны. Для конкретности будем иметь в виду шарик на пружине. Задача о математическом маятнике сводит- Ч В термодинамике термин вадиабатический» применяется в другом смысле. Адиабатическим называгот пропесс, проискодюдий без подвода и отвода теплоты. 225 З «21 АДИАБАТИЧБСКИБ ИНВАРИАНТЫ Для ее производной по времени можно написать Е = (тиб + /схх) + — х~х . г' Выражение в скобках обращается в нуль, так как х = о, действующая сила Е = — /сх и по закону Ньютона ти = Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
