Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Центростремительное ускорение центра масс стержня в том же положении 412 шт1, Отсюда по теореме о движении центра масс >л(' 3 В, = тш — = — шр = — лг». е 2 21 2 Применив к вращению стержня в положении 2 уравнение (33.4), получим вы ~ 2' Отсюда находим вертикальную составляющую ускорения центра масс в том же положении: 1 4(ы шЯН 3 и = 2 г(1 41 4 Палее, та = лгя — Р„и Р' В результате получится 1 Р„,ш = и (8 — а] = — шя. Рис. 80 18. Абсолютно твердая однородная балка весом Р лежит своими концами на двух абсолютно твердых опорах (рис.
80 а>. Одну из пих выбивают. Найти начальную силу давления, действующую на оставшуюся опору (рис. 80 б>. Ответ. с ='14Р. Когда балка лежала на двух опорах, на каждую из опор действовала сила ргр. При быстром удалении одной из опор сила, действующая на оставшуюся опору, скачкообразно уменыпается вдвое. Такое скачкообразное изменение связано с идеализацией — балка и опора считаются абсолютно твердыми. Реальные балки и опоры деформируются. При учете этого обстоятельства нагрузка на опору Р будет меняться непрерывно. гО8 (гл. у МОМЕНТ ИМПУЛЬСА 19.
Гимнаст на перекладине выполняет большой оборот из стойки на руках, т.е. вращается, нс сгибаясь, вокруг перекладины под действием собственного веса. Оценить приближенно наиболыную нагрузку Р на его руки, пренебрегая трением ладоней о перекладину. 4а'тн Ответ, Р = (1 + — ) щд, где гп — масса, 1 — момент инерции человека относительно перекладины, о — расстояние между осью вращения и центром масс человека. Если при оценке момента инерции моделировать человека однородным стержнем, вращающимся вокруг одного из его концов, то получится Р = 42пя. 20.
Человек на аттракционе вгигантские шаги» движется по замкнутой траектории таким образом, что достигаемая им высота относительно поло- жанна РавновесиЯ менаегсЯ в пРеДелах ог Лми, До Л, „,. ОпРеДелить максимальную и минимальную скорости человека при таком движении, если длина веревки, на которой он удерживается, равна 1. Р е ш е н и е.
Па основании закона сохранения энергии нз + 28Л = сопя(. (37.3) (21 — й) Ршт = сопак (37.4) Запишем соотношения (37.3) и (37.4) для этих положений, имея в виду, что максимуму Л соответствует минимум и, и наоборот. Получим ,г 2 2 мн;с + 28дмни = пмви + 28амжс 2 ,г Амин) Лминпммс = (21 Лммс) Лммсэмив Решая эти уравнения, получим 2я)~„(21 — А„„м) н2 "'"' 21 — (12„„ч- Л ) ' (375> 2яй.(21 — 6 „,) 21 — (Л -ьл )' (37.6> Момент силы тяжести относительно точки под- веса не имеет вертикальной составляющей.
Мол( мент силы натяжения веревки равен нулю. Поэтому при движении человека вертикальная составляющая его момента импульса остается А неизменной. В положениях, где высота )2 мак- симальна или минимальна, скорость человека Рис. 8! и горизонтальна, а момент импульса равен лпт, где г — расстояние до вертикальной оси, вокруг которой вращается человек. Значит, в этих положениях величина тг одна и та же. В момент, когда высота Л максимальна или минимальна, опишем в вертикальной плоскости окружность с центром в точке подвеса О, проходящую через точку нахождения человека М (рис.
81). По известной геометрической теореме гт = АВ ВС, или гт = (21 — Л) Ь. Поэтому в положениях, где Л максимальна и минимальна, ДВИЖУ!ЦИЕСЯ НАЧАЛА И ДВИЖУЩИЕСЯ ОСИ 209 Е 37! При этом учтено, что в реальных условиях б <1, так что величина (37.5) действительно максимальна, а (37.6) — действительно минимальна. Если 6 и б„„пренебрежимо малы по сравнению с 1, то (37.7) 2!.
По внутренней поверхности конической воронки, стоящей вертикально, без трения скользит маленький шарик (рис. 82). В начальный момент шарик находился на высоте бе, а скорость его оз была горизонтальна. Найти ез, если известно, что нри дальнейшем движении шарик поднимается до высоты б, а затем начинает опускаться.
Найти такхге скорость шарика в наивысшем положении в. 2 2ЛЬ' 2ХАО Ответ. из=, гй= з бч б Ач.„. б 22. Тяжелая веревка (линейная плотность р> длиной Е перекинута через блок с моментом инер- "е ции Т и радиусом г. В начальный момент блок неподвижен, а болыний из свешивающихся концов веревки имеет длину 1. Найти угловую скорость вра- Рис. 82 щения блока ш, когда веревка соскользнет с него.
Веревка движется по блоку без скольжения, трение в оси блока не учитывать. Ответ: со~ = — ЕŠ—; ]Е~+ 4г — 1~ — (Š— ! — лг) ]. 7+Ерг~ Указан ис. Воспользоваться законом сохранения энергии. 23. Метеорит массой и! = 1О т, двигавшийся со скоростью г = 50 км1с, ударился о Землю на широте д = 60'.
Вся его кинетическая энергия перешла в тепловую (внутреннюю> энергию, а сам он испарился. Какое максимальное влияние мог оказать удар такого метеорита на продолжительность суток? О тает: Максимальное изменение продолжительности суток ЬТ, вызванное ударом метеорита, определяется формулой ЬТ трй соз б Т 2лг где Т = 86164 с — продолжительность суток, В = 6400 км — радиус, М = = 6 1Ощ т — масса Земли, Т вЂ” ее момент инерции. Если считать Землю однородным шаром, то е = 215 мй (на самом деле из-за возрастания плотности к центру Земли момент инерции ее несколько меньше и составляет приблизительно 7 = г(з М)(з).
В результате получится цТ(Т 2 10 з, 2гТ 2, 10-1о с 24. Оценить, с какой минимальной скоростью е нужно выпустить на экваторе Земли снаряд массой и = !000 т, чтобы изменить продолжительность земных суток на ЬТ = 1 мин? Ответ. Наивыгоднейшим является выстрел в горизонтальном направлении в плоскости экватора. В этом случае с — р 5 и'с'Т' 25 и'с'Т' 2. !О тз, с 18 лт!М(АТ>т 36 лгАГ'Д'(АТ)' где с — скорость света в вакууме. Остальные обозначения такие же, как в предыдущей задаче. Относительно приближенных вычислений см. 9 22.
210 1гл. у мОмент импулы к 25. Пуыьсараигг называются небесные объекты, посылающие импульсы радиоизлучения, следующие друг за другом с высокостабильными периодами, которые для известных к настоящему времени пульсаров лежат в пределах примерно от 3 10 г до 4 с. Согласно современным представлениям пульсары представляют собой вращающиеся нейтронные звезды, образовавшиеся в результате гравитационного сжатия.
Нейтронные звезды подобны гигантским атомным ядрам, тюстроетшым из одних только нейтронов. Плотность вещества р в нейтрошзой звезде не однородна, но при грубых оценках ее можно считать одной и той же по всему ооъему звезды и по порядку величины равной 1Оы г/ем~. Оцепить период вращения 7, с каким стало бы вращаться Солнце, если бы оно превратилось в нейтронную звезду.
Плотность вещества Солнца возрастает к его центру, а различные слои его вращаются с различными скоростями. При оценке этими обстоятельствами пренебречь и считать, что средняя плотность солнечного вещества ро = = 1,41 г!смз, а период вращения Солнца Тз = 2,2.10 с. , ггз Ответ. Т Т,1 — ) =1,3 10 с. трзз -з р 26. Гладкий твердый стержень длиной 1з и массой гьг равномерно вращается с угловой скоростью шз вокруг неподвижной оси, проходящей через один из концов стержня перпендикулярно к его продольной оси. На стержень надет шарик массой т. Вначале шарик находится на свободном конце стержня и вращается вместе с ним (упор, имеющийся на конце стержня, не позволяет шарику соскользнуть со стержия1. В некоторый момент шарику сообщается скорость о, направленная вдоль стержня к оси вращения.
Определить наимеиыпее расстояние й до которого приблизится шарик к оси вращения, и угловую скорость системы ю в щом положении. В какую сторону будет изогнут стержень, когда шарик движется по направлению к оси вращения? Как изменится изгиб стсржня, когда шарик, достигнув наименьшего удаления до оси, начнет двигаться в обратном направлении? нш' ыь Отвез. ю = гоз+ , 1= 1е 1~ — '. При приближении шарика к 1 з ЬГ 1 ш1?овгз оси вращения стержень будет изгибаться в сторону, противоположную вращению.
При удалении шарика изгиб стержня изменится в обратную сторону. В 38. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ 1. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса связаны с определенными свойствами сихзлетрии пространства и времени. Разумеется, их нельзя получить из одних только свойств симметрии какого бы то ни было вида, Законы сохранения относятся к материальным физическим объектам, а последние не являются только пространственно-временными конструкциями.
Для вывода законов сохранения в механике нужны какие-то дополнительные исходные положения механического характера. Однако число этих исходных положений можно уменьшить, если использовать свойства симметрии пространства и времени. Так, в этом случае при выводе 211 % зв1 ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ законов сохранения импульса и момента импульса не потребуется закон равенства действия и противодействия. В аналитической механике основные законы обычно выражают через 4>нксс>сю Лангра>сжа 1по имени французского математика и механика Жозефа Лангранжа (1736 — 1813) ), и симметрия, о которой идет речь, означает пространственно-временную симметрию самой функции Лангранжа.
В общем курсе физики мы не можем идти по этому пути, В основу изложения мы положим второй закон Ньн>тона. Тогда утверждение, приведенное в начале этого параграфа, надо понимать в том смысле, что перечисленные в нем законы сохранения можно получить из второго закона Ньютона, если к нему присоединить свойс тва симметрии пространства и в1>ел>ени, Впрочем, при выводе закона сохранения энергии надо ввести и некоторые более специальные предположения относительно характера действующих сил. 2. Под симметрией пространства и времени понимают однородность вг>емени, однородность и изотропи>о пространства. Однородность времени означает равноправие всех моментов времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
