Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Поворачивая ось, демонстратор 0 придает ей исходной направление — тогда вращение скамьи прекращается. Однако скамья, вообще Говоря, не возвращается в исход- в Рис. 62 ное положение, а оказывается повернутой вокруг вертикальной оси на некоторый угол. Наклоняя ось колеса, демонстратор во время ее движения испытывает значительные силы бокового давления. Колесо как бы стремится вырваться из рук демонстратора. Эти силы направлены горизонтально и притом перпендикулярно как к оси колеса, так и к оси скамьи Жуковского.
Их геометрическая сумма равна нулю, но они имеют момент относительно оси Х. Последний приводит во вращение скамью Жуковского и демонстратора. Происхождение этих сил будет выяснено в гл. УП. 8. Закончим этот параграф следующим замечанием. Пусть имеется замкнутая система тел (назовем ее лабораторией), которая в начальный момент времени покоилась относительно какой-то неподвижной 1'инерциальной) системы отсчета 5.
Можно ли с помощью одних только внутренних движений сместить лабораторию в пространстве и притом так, чтобы все тела в ней вернулись в свои исходные положения? Говоря о смещении лаборатории, мы имеем в виду ее поступательное перемещение без вращения. Отрицательный ответ на этот вопрос дает теорема о движении центра масс. Не так обстоит дело в отношении поворота замкнутой системы тел. С номои1ью одних только внутренних движений можно повернуть лабораторию в пространстве на любой угол и притом так, что исходное расположение тел в лаборатории восстановится.
Допустим, например, что лаборатория состоит из замкнутой оболочки А, 192 1гл. у момвнт импульсь в которой помещено всего одно тело В. Пусть тело В начинает вращаться вокруг некоторой оси с угловой скоростью рв (относительно неподвижной системы отсчета).
Тогда оболочка А придет во вращение относительно той же оси с угловой скоростью фл. По закону сохранения вращательного импульса 1„рч + 1вфв — — О, так как в начальный момент вращательный импульс был равен нулю (1 и 1в — моменты инерции оболочки А и тела В соответственно). Если углы р„и рв условиться отсчитывать от начальных положений тел А и В, то после интегрирования получится 1л р + 1врв = О. Угол поворота тела В относительно оболочки А определится разностью ~р = рв — рл = †(1,/1в + 1) рл, Если ~р = 2пп (п — целое число), то тело В возвратится в исходное положение относительно оболочки А.
При этом угол поворота оболочки р„ вообще говоря, не будет равен нулю. Различие в поведении лаборатории при поступательном перемещении и вращении связано со следующим обстоятельством, При непрерывном поступательном перемещении тела В оно никогда не возвращается в исходное положение относительно тела А.
Различным значениям координаты х соответствуют и различные положения тела. Напротив, при непрерывном вращении тела В взаимное расположение тел В и А периодически восстанавливаетсн; значениям угла р, отличающимся на 2лп, соответствует одно и то же относительное расположение тел А и В, Падающая кошка, вращая хвостом и лапами, придает своему телу такое положение, чтобы встать на землю лапами. И это ей удается. Эти явления можно имитировать на скамье Жуковского. Демонстратор, совершая конические вращения одной или обеими руками, всегда может повернуть скамью Жуковского на произвольный угол. Для усиления эффекта он может взять в руки массивный предмет с большим моментом инерции, например молот. з 35. ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей, Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекают ее в точках О и А. Ради краткости будем называть сами оси осями также О и А.
Разобьем мысленно тело на элементарные массы с1т. Радиусы-векторы одной из них, проведенные от осей О и А параллельно плоскости рисунка, обозначим через г и г' соответственно. (На рис. 63 изображен такой случай, когда элементарная масса с(т лежит в плоскости рисунка.) Тогда г' = г — а, где а означает радиус-вектор ОА. Следовательно, г'2 = гз+ аз — 2(аг), ~ г'2 дт = ~ гг Вт+ а2 ~ в'т — 2(а ~ г дт) . 193 Е Зб1 ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ Интеграл слева есть момент инерции 1 тела относительно осн А, первый интеграл справа — момент инерции относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде ~ г огтп = тВС, где Ис — радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О (точнее, Йс есть слагающая радиуса-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка).
Таким образом, 74 = 7о + таг — 2гп(а%с). (35.1) Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. Тогда К ° = О, и предыдущая формула упрощается, принимая внд г'4 = г с + таг. (35 2) Юн Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Г>ойгеггса — Штейнери (Якоб Штейнер (1796 †18) — швей- О л царский геометр). Молгеггт Рис.
63 иггерции тели относительно какой-либо оси равен моменту инерции его относительно пириллельной оси, проходящей через центр масс, сложенномус величиной таг, где а — рисстояние между осями. й 36. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ 1. Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением или измерить экспериментальное). Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла Т= ~ ггат, (36.
1) *) Об одном методе ввспериментаввоого ооредедени» моментов инерции говорится вЕ 42. в котором « — расстояние от элемента массы бгт до осн вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела. Аналитическое вычисление таких интегралов возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Для тел неправильной формы такие интегралы могут быть найдены численно.
Вычисление моментов инерции во многих случаях можно упростить, используя соображения подобия и симметрии, теорему Гюйгенса — Штейнера, а также некоторые другие общие соотношения, о которых будет сказано ниже. 194 1гл. у МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Рассмотрим два подобных и подобно расположенных относительно оси вращения тела А и В одной и той же плотности. Полные и элементарные массы этих тел относятся как кубы их линейных размеров 1.
Так как элементарные массы умножаются на квадраты расстояний их до оси вращения, то моменты инерции тел А и Л будут относиться как пятые степени тех же размеров. Таким образом, 1 1з или 1= йгн12 (Зб.2) Под ! следует понимать какой-либо характерньи размер тела или расстояние какой-либо характерной точки его от оси вращения.
Коэффициент пропорциональности й зависит только от формы тела и его расположения относительно оси вращения, 2. Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно могчент инериии его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений.
Мол1ентол1 инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний 14' до точки О: О = ~Х; т142. В случае непрерывного распределения масс эта Х сумма сводится к интегралу О = ~ йг Ыт. Само собой понятно, что момент О не следует смешивать с моментом инерции 1 относительно оси. В случае момента 1 массы ь1т умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента Π— до неподвижной точки.
Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой т и с координатами х, у, г относительно прямоугольной системы координат 1рис, б4). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, У, л равны соответственно уг+ 22, 22+ хг, хг+ уг, а моменты инерции относительно тех же осей 1 г 2 + 2) 1 г 2 + 2) 1 г 2 + 2) Сложив эти три равенства, получим 1, + 1„+ 1.
= 2т(хг + уг 1 гг) Но хг+ уг+ 22 = Ф, где 14 — расстояние точки т от начала координат О. Поэтому 1к+ 1г+ 1 = 2О. (36. 3) 195 3 зб! Вычисление моментОВ инегции Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции гпела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того хсе тела относительно этой точки. Если повернуть координатные оси Х, У, г.
относительно тела, оставляя углы между ними прямыми, то моменты инерции 1,, 1., 1„ вообше говоря, изменятся. Однако их сумма останется той же самой, так как она равна 2О, а величина О не зависит от ориентации координатных осей. Таким образом, сумма моментов инерции 1„1„, 1. относительно любых трех взаи,чно перпендикулярных осей, проходящих через одну то ску, зависит только от положения этой же точки и пе меняется с изменением ориентации осей. Более глубокая геометрическая природа этого утверждения раскрывается в тензорной алгебре.
3. Другое следствие можно получить для плоского распределения масс. Допустим. что имеется пластинка произвольной формы с произвольным распределением вешества по ее объему. Если пластинка очень тонкая, то можно считать, что вещество распределено бесконечно тонким слоем по математической плоскости, Примем эту плоскость за координатную плоскость ХУ. Тогда г-координаты всех материальных точек будут равны нулю, а потому момент инерции О пластинки относительно начала координат О представится выражением О = „'> От(х~+ уз), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
