Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Дифференцируя последнее соотношение по времени, получим глод+ — з = О, в д~ ~и или, учитывая соотношения и = 1 и Г = — —, с/ь ' (29.11) г(лгд — Г,) = О. Отсюда после сокращения на г получается уравнение движения Ньютона. Необходимо, однако, отметить, что уравнение Ньютона в механике, обладает большей общностью, чем закон сохранения энергии. Во-первых, приведенный вывод справедлив только для консервативных сил.
Во-вторых, при выводе в уравнении (29.11) производилось сокращение на и. Поэтому необходимо ввести дополиительное предположение, не содержащееся в самом законе сохранения энергии, что и ~ О. Уравнение (29.11) имеет два решения, которые удовлетворяют условию сохранения энергии. Одно из них, а именно г = О, было отброшено. Закон сохранения энергии для этого не дает осно- 17з е 2т силы и потенциАльнАя энеРГия ваний.
Однако решение в = 0 не согласуется с уравнением Ньютона, если только сила Р не обращается в нуль. 6. Используя понятие потенциальной энергии, можно выразить условие равновесия механической системы и его устойчивости. Рассмотрим сначала систему взаимодействующих материальных точек, на которую не наложены никакие связи. Пусть все действующие силы консервативны, Тогда их составляющие можно представить формулами (29.10). В состоянии равновесия все силы, а с ними и все первые производные потенциальной энергии УУ по координатам должны обращаться в нуль, Отсюда следует, что для равновесия необходимо, чтооы потенциальная энергия оыла стационарно.
Стационарность означает, что при всяком выводе системы из расстояния равновесия, когда координаты материальных точек получают бесконечно малые приращения Ьхо д>1, ..., ЬзГН функция УУ остается почти постоянной. Точнее, приращения функции УУ при таких бесконечно малых изменениях координат являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем приращения самих координат. В частности, система будет находиться в равновесии, если потенциальная энергия У экстремальна, т. е. минимальна или максилиыьна. Если потенциальная энергия минимальна, то равновесие будет устойчивым.
Деиствительно, пусть УУе — значение потенциальной энергии в состоянии равновесия. По условию теоремы можно найти малую окрестность вблизи состояния равновесия, в которой разность ~У вЂ” УУв положительна. Выберем эту окрестность так, чтобы было 0 < УУ вЂ” УУе < е, где е — некоторое положительное число, которое может быть взято сколь угодно малым.
Выведем теперь систему из состояния равновесия, сообщив ей кинетическую энергию Кв < е. Затем предоставим систему самой себе. Свободное движение системы будет подчиняться закону сохранения энергии К+ УУ= Кв+ УУв или УУ вЂ” 1Ув = Ке — К. Отсюда видно, что 1У вЂ” УУв < е, так как кинетическая энергия К не может быть отрицательной.
Следовательно, система без внешних воздействий не может выйти за пределы области 0 < УУ вЂ” 1Уе < е и будет совершать в ней финитное движение. Это означает, что равновесие системы при минимуме потенциальной энергии устойчиво, точнее, устойчиво по отношению к оесконечно малым возмущениям. Изложенное остается справедливым и при наличии диссипативных сил типа жидкого трения, а также гироскопических сил. Действительно, в состоянии равновесия, когда все материальные точки покоятся, такие силы равны нулю. Поэтому необходимое условие равновесия, требующее стационарности потенциальной энергии ~У, остается в силе.
Сохраняет силу и доказательство устойчивости равновесия при минимуме УУ. Только равенство, выражающее закон сохранения энергии, при наличии диссипативных сил в доказательст- 174 1гл, гч РАБОТА И энеРГия ве следует заменить неравенством (К+ 1У) — (Кв+ УУБ) < О или УУ вЂ” УУь < Кь — К. Это только усилит дальнейшие заключения. Диссипативные силы делают равновесие еще более устойчивым. Если систему вывести из состояния равновесия и затем предоставить самой себе, то диссипативные силы в конце снова вернут систему в состояние равновесия. Причина устойчивости равновесия при минимуме УУ выявится особенно наглядно, если рассмотреть всего одну материальную точку, могущую совершать одномерное движение.
В этом случае график функции УУ имеет вид потенциальной ямы 1аналогичной той, которая представлена на рис. 45). В состоянии равновесия материальная точка «лежит на дне потенциальной ямы». Никакие силы на нее в этом положении не действуют. При смешении точки в сторону, как легко видеть, появляется сила, направленная к положению равновесия и стремящаяся вернуть точку в это положение.
Если же точка находится в равновесии там, где потенциальная энергия максимальна 1т. е. «лежит на вершине потенциальной горы», например в точке М на рис. 44), то при ее смещении в сторону появляется сила, направленная от положения равновесия, Такая сила еще дальше уведет точку от этого положения. Равновесие будет неустойчивым. Равновесие всякой механической системы, вообще говоря, неустойчиво, если потенциальная энергия максимальна.
Изложенные результаты можно распространить и на системы, свобода перемещения которых ограничена наложенными связями, Надо только потребовать, чтобы связи были идеальными, т. е. такими, которые не производят работы при любых возможных перемещениях системы. Примером может служить идеально гладкий шарик, надетый на идеально твердую и гладкую спицу, которая задает направление возможного перемещения шарика.
Сила, действующая на шарик со стороны спицы, перпендикулярна к направлению возможного перемещения и работы не производит. При наличии связей условия равновесия материальной точки принимают вид — — + УГ.=О, дГГ дх (29.12) — — +Л.=О, дГУ ду 7 — — +К,=О, дГУ дк где И вЂ” реакция связей, т. е. сила, с которой связи действуют на рассматриваемую материальную точку. В целях краткости мь1 провели рассуждения для одной материальной точки. В случае системы изменится только число уравнений, но сами рассуждения останутся без изменений.
Пусть Ь„., Ь, Ь, — возможные перемещения материальной точки вдоль координатных осей. Умножая на них уравнения силы и потвнциАльнАЯ энгггия 175 (29.12), складывая и принимая во внимание, что реакции связей работы не производят, получим бЛ = — — а. + — бу+ — бз = О. ао ао , ао а - ау а: Таково необходимое условие равновесия.
Оно означает, что в состоянии равновесия потегщиальная энергия Л стаиионарна, Не изменятся и рассуждения относительно устойчивости равновесия, которые были приведены выше. Иллюстрацией может служить тяжелый шарик, помещенный на дно сферической чаши 1устойчивое равновесие), или в вершину выпуклой поверхности (неустойчивое равновесие), Лри наличии сил сухого трения стационарность потенциальной энергии У для равновесия не необходима. Примером может служить равновесие бруска, лежащего на наклонной плоскости.
ГЛАВА У МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ф 30. МОМЕНТ СИЛЫ И МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ОТНОСИТЕЛЬНО НЕПОДВИЖНОГО НАЧАЛА Рнс. 56 (30. 1) Из этого определения непосредственно следует, что момент М не изменится, есяи точку приложения силы Р перенести в любую другуго точку, расположенную на линии деиствия силы. Действительно, если точку приложения силы перенести из Л в Л', то параллелограмм ОЛВС перейдет в параллелограмм ОЛ'В'С. Оба параллелограмма имеют общее основание ОС и общую высоту. Поэтому их площади равны, что и доказывает наше утверждение. Моментом М нескольких сия относительно точки называется сумма моментов этих сил относительно той же точки.
Если линии действия сил Р„Рм ... пересекаются в одной точке Л, то по доказанному при вычислении момента М этих сил точки приложения 1. Важные законы механики связаны с понятиями момента импульса и момента силы. Следует различать и никоим образом не смешивать друг с другом моменты этих векторов относительно точки и относительно оси. Момент вектора относительно точки и относительно оси — разные понятия, хотя и связанные между собой. Момент вектора относительно точки сам есть вектор.
Момент того же мЧгг1 вектора относительно оси есть проекция на эту ось его момента относительно точки, лежашей на той в' С вЂ” - в же оси. Таким образом, момент вектора относительно оси уже не является вектором. Начнем с рассмотрения моментов относительно О г точки. Пусть Π— какая-либо точка, относительно которой рассматривается момент вектора силы или вектора импульса. Ее называют началом или полюсом.
Обозначим буквой г радиус-вектор, проведенный из этой точки к точке приложения силы Р (рис. 56). 1г1очентом силы Р отнгзсительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора г на силу Р: Е 301 МОМЕНТ СИЛЫ И МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ 177 их можно перенести в точку А. Если г — радиус-вектор точки А, то, следовательно, М [ГР11 + !ГР2! + [ГР! (30.2) где Р = Р, + Рз+ ...
— геометрическая сумма сил Р„РН ..., Называемая их равнодействующей. Таким образом, в рассматриваемом случае момент всех действующих сил относительно некоторой тоики равен моченту их равнодейстпвующей относительно той же точки. Это справедливо и для параллельных сил, так как последние можно рассматривать как предельный случай пересекающихся сил (в бесконечно удаленной точке). Доказанная теорема распространяется и на случай любой системы снл Р„Рз, ..., линии действия которых лежат в одной плоскости.
Действительно, при вычислении момента М силы Р, и Рз можно заменить их равнодействующей Ры — — Р, + РБ силы Р1з и Рз можно заменить их РавнодействУющей Р17 + Рз = Р,зз = = Р, + Рз+ Рз и т. д. В результате задача сведется к вычислению момента двух сил, лежащих в одной плоскости, а линии действия таких сил пересекаются в одной точке. Следовательно, если линии действия сил лежат в одной пли7скости, то момент этих сил относительно точки равен моменту их равнодсйствуюшей относительно той же точки. Отметим частный случай двух равных параллельных сил Р, и Рм направленных в противоположные стороны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
