Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пороговая энергия ядерной реакции 2Ы + р — в Ве+ и (литий неподвивкен) равна Е„= 1,88 МэВ. При каких энергиях бомбардирующих протонов Е„ нейтроны в такой реакции могут лететь назад от литиевой мишени? Решение. Минимальное значение искомой энергии протона Е соответствует лобовому столкновению, когда все частицы до и после столкновения движутся вдоль одной и той же прямой, Поэтому можно ограничиться только такими столкновениями. Допустим сначала, что энергия бомбардирующего протона равна поро1овой Е„р.
Тогда получающиеся в результате реакции ядро Ве и нейтрон в системс центра масс должны находиться в состоянии покоя, а потому в лабораторной системе двигаться вперед с одинаковыми скоростями. При таком движении они уносят кинетическую энергию 1 2 Е о 2(т„-Рвп )' 1бз 1гл,щ РАБОТА И энеРГия нлн, пренебрегая различием масс протона н нейтрона, тв 4Р 4З Прн больших энергиях появятся нейтроны, летящие назад.
й29. СИЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ 1. Взаимодействие тел можно описывать либо с помощью сил, либо е помощью потенциальной виергии как функции координат взаимодействунзщих частиц. В макроскопической механике применимы оба способа. Первый способ обладает несколько большей общностью, так как он применим и к таким силам (например, силам трения), для которых нельзя ввести потенциальную энергию. Второй же способ применим только в случае консервативных сил. Но в квантовой механике, имеющей дело с явлениями микромира, диссипативных сил нет, и в ней для описания взаимодействия частиц применяется исключительно второй способ.
В уравнения движения квантовой механики силы не входят, а входит лишь потенциальная энергия взаимодействующих частиц. Разумеется, в этом параграфе вопрос рассматривается только в рамках макроскопической механики. 2. Зная действующие силы как функции координат материальных точек системы, можно вычислить ее потенциальную энергию, Эта задача решается интегрированием. Простейшие примеры на такое вычисление были приведены в й 25.
Можно поставить и обратную задачу: вычислить действующие силы по заданной потенциальной энергии как функции координат взаимодействующих материальных точек. Эта задача решается с помощью более простой математической операции — дисбференцирования. Рассмотрим сначала отдельную материальную точку, находящуюся в силовом поле каких-то неподвижных тел.
Если силы консервативны, то можно ввести потенциальную энергию с1, которой обладает материальная точка в рассматриваемом силовом поле. Величина У будет функцией радиуса-вектора г этой точки или ее координат х, у, г. Пусть точка претерпела произвольное бесконечно малое перемещение аг. Если Р— сила, действующая на нее, то работа этой силы при таком перемещении будет равна убыли потенциальной энергии: Р дг = — ЛУ.
(29.1) Это равенство справедливо. каково бы ни было перемещение дг. Поэтому если функция У(г) известна, то оно полностью определяет силу Р. В самом деле, чтобы найти вектор Р, достаточно определить его проекции р„, рх, г на координатные оси прямо- 1б9 3 291 СИЛЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ угольной системы координат. В этих проекциях уравнение 129.1) запишется так: 129.2) Ех ггх+ г" Ыу+ Е, гг'2 = — гг'сг. Допустим, что смещение происходит вдоль какой-либо одной коор- динатной оси, например оси Х. Тогда Гх дх = — (ЛУ)вм и, следовательно, Индексы у, 2 означают, что при смещении, а следовательно, и при дифференцировании координаты у и 2 должны оставаться постоянными.
иными словзми, 111х, у, 2) при дифференцировании должна рассматриваться как функция одного аргумента х; остальные два аргумента, у и 2, являются пираметрадяи, которые при дифференцировании по х должны оставаться постоянными. Величины, получающиеся в результате такого дифференцирования, называются щстнылщ производными функции У. Оии обозначаются символом д, в отличие от символа гт, применяемого при дифференцировании функций одного независимого переменного.
Аналогичные соображения справедливы и для проекций силы вдоль остальных двух осей У и У. Таким образом, Этт У' х ЭГ/ эгт Р= — —, Ее= —— У Эт ' Эз 129.3) Приведем пример. Измеряя потенциальную энергию растянутой спиральной пружины, нашли, что она определяется выражением ет = 92/сх, где .х — удлинение пружины, а Š— постоянная. Направим ось Х вдоль оси пружины, закрепив один конец се, а друщй будем удерживать рукой. Тогда Ег будет функцией только одной координаты х. Растянутая пружина действует ца руку с силой 21 з. Эх (г Знак минус указывает, что сила г направлена в сторону, противоположную смещению, т. е.
является силой пришижеиии. 3. Три формулы 129.3) можно объединить в одну векторную формулу. С этой целью умножим эти формулы на единичные век- Если функция 12'1х, у, 2) известна, то нахождение составляющих Ех, Гу, Р'х сводится к вычислению ее частных производных по коор- динатам. Разумеется, формулы 129.3) относятся только к случаю консервативных сил. 170 1гл,ш РАБОТА и энеРГия торы координатных осей 1,1,1с и сложим.
В результате получим (29 4) где символом 8гас1 УУ обозначена сумма 8гас1 1У Рв — 1+ — 1+ — 1с. дгу . ди . дСГ дх ду дг (29.5) Согласно соотношению (29,4) эта сумма является вектором, Вектор, определяемый соотношением (29.5), называется градиентом скаляра 1У. Для него, наряду с обозначением 8гас1 УУ, применяется также обозначение ~ЧУ. Здесь Ъ' («набла») означает символический вектор или олеритор 11 = — + — 1+ — й, д.
д. д дк ду дг (29.6) называемый оператором Гимигсьглона (по имени ирландского математика и физика Уильяма Гамильтона (1805 — 18б5)) или набла-оператором. Таким образом, Ч1У формально может рассматриваться как произведение символического вектора ~У на скаляр УУ. Понятно, что можно говорить о градиенте не только функции 1У, но и любой скалярной функции координат. Понятие градиента широко применяется в самых разнообразных вопросах физики и математики. Для уяснения геометрического смысла градиента полезно ввести поверхности уровня, т. е. такие поверхности, на которых скаляр 1У остается постоянным. Пусть 5— Згад 11 одна нз таких поверхностей и пусть она проходит через точку пространства 1, в которой ищется 8гас1 1У и (рис.
55). Поместим в этой точке начало координат. Ось Х направим Сч дСУ по нормали к поверхности уровня сСЕ 1У = сопзс, проведя единичный век- 1 тор 1 в сторону возрастания 1У. Ко- 5 ординатные оси У и г, расположатся Рис. 55 в плоскости, касательной к поверхности уровня 1У = сопзс. Ясно, что дС1 дС1 при таком выборе координатных осей частные производные — и — в ду дх рассматриваемой точке пространства обратятся в нуль, так что в фор- дСУ .
муле (29.5) остается одно только первое слагаемое: 8гас1 1У = — 1. Из- дс меним теперь обозначения. Единичный вектор нормали к поверхности уровня 1У = сопзс обозначим символом п, а расстояние между двумя бесконечно близкими поверхностями уровня 1У и 1У+ ЛУ, измеренное вдоль нормали, т, е. расстояние между точками 1 и 2,— дСУ дСУ символом сУп. Тогда, очевидно, — = —. Эту величину чаще обозна- дх ди' д 2И силы и потенциАльнАя энеРГия ди чают через — и называют произвоДной скаляра 11 в направлении норда л<али к поверхности уровня.
В этом направлении величина 11, очевидно, изменяется наиболее быстро, Таким образом, в новых обозначениях формула (29.5) примет вид ага<1 11 = — „и. (29.7) Отсюда видно, что градиент функ«ии 11 есть вектор, направлен- нь<й по нормали к поверхности уровня 6'= сопз1 в сторону во>ра- стания 0; его длина численно равна производной по нормали функ- «ии 11 к т<>й же поверхности. Преимущество такого определения по сравнению с определением (29.5) состоит в том, что оно инвириан- тно, т, е.
содержит только величины и понятия, имеющие непос- редственный геометрический смысл, и не содержит ничего такого, что вносится случайным выбором координатной системы. Отметим еще одну простую, но важную форь>улу. Проведем че- рез точку 1 (см. рис. 55) отрезок прямой 13 под углом а к нормали и. Точку 3 возьмем на поверхности уровня 11 + а><>'. Длину этого от- резка обозначим через <)ж Так как точка 3 лежит на той же поверх- ности уровня, что и точка 2, то приращения функции 11 на отрезках 12 и 13 будут одни и те же. Так как сами отрезки бесконечно малы, то участки поверхностей уровня, через которые они проходят, могут «и считаться плоскими, а потому <1з = .
На этом основании вм и' <<е< <<<> — = — соз а, <1< <<п или в иных обозначениях — = — соз а = — Гпз), ди де< дс> д> дп дп Формула эта справедлива независимо от конкретного смысла функции 11. Если 11 является потенциальной энергией материальной точки, то с учетом 129.4) формула принимает вид — = — (рз), ди д< или дс< г.= — —, д< ' (29.9) что, конечно, легко получить и прямо из 129.1). д<> где з — единичный вектор в направлении отрезка 13. Величина— дз называется производной функции 11 в том же направлении.
Учтя определение градиента (29.7), получим — = 1з ага 1>). (29.8) 172 1гл. 1Р РАБОТА и энеРГия 4. Формулы 129.3) тривиальным образом обобщаются на случай произвольной системы материальных точек с одними только консервативными силами. В этом случае потенциальная энергия 17 является функцией координат всех взаимодействующих точек. Вместо (29.3) следует писать Э27 г эх,' Здесь хп у1, г1 — координаты 1-и материальной точки системы, а Г,„, Г,, Р',.
— компоненты действующей на нее силы. Номер 1 может пробегать все возможные значения, так что формулы (29.10) справедливы для каждой точки системы. 5. Закон сохранения энергии в механике является следствием уравнения движения Ньютона. Можно ли, наоборот, вывести уравнение движения Ньютона из механического закона сохранения энергии? На этот вопрос следует ответить отрицательно. Уравнение, выражающее сохранение энергии, является скаяярныл, в то время как уравнение движения есть векторное и эквивалентно ерем незаписил1ыл1 числовыл урааленилзь Ясно, что одного скалярного уравнения недостаточно для вывода из него трех независимых числовых уравнений.
Но если движение одномерное, то при некоторых дополнительных предположениях из закона сохранения энергии можно вывести уравнение движения Ньютона. Допустим, что материальная точка движется вдоль какой-то фиксированной линии под действием одних только консервативных сил. По закону сохранения энергии "г тгз+ 1?= сопз1. Потенциальная энергия 1? при таком движении может рассматриваться как функция только расстояния х, измеренного вдоль траектории.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
