Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Уравнение (25.7) можно обобщить. Разделим все действующие силы на две группы. К первой группе отнесем силы, учитываемые посредством потенциальной энергии и, ко второй — все остальные силы, как внутренние, так и внешние, действующие в системе. Обозначим через Лгг работу сил второи группы. Тогда, рассуждая так же, как и при выводе формулы (25.7), получим Ег Е1 = А1г.
(25.В) 5. Допустим снова, что диссипативные силы в системе не действуют. Тогда справедлив закон сохранения энергии в форме (25.2). Поскольку кинетическая энергия К по своему смыслу не может быть отрицательной, из формулы (25.2) следует, что Е ж и. Этим соотношением определяется область изменения всех коордииит сисиге вы, в которой она может находиться при заданной полной энер- НОтенциАльнАЯ энеРГиЯ.
3АкОн сОхРАнениЯ энРРГии !47 Рис. 44 гни Е. В область, где 1У > Е, система попасть не может, так как потенциальная энергия не может превышать полную. рассмотрим в качестве примера одномерное движение частицы, когда она движется вдоль определенной прямой линии, Примем эту линию за координатную ось Х. На оси Х величина У будет функцией только >а У = У(х). Если Š— е >> 6'=Ег Е> полная энергия частицы, то частица может нахо- ! диться только в тех мес- !,1 в с тах оси Х, где У!х) «Е, Допустим, что график ! функции 171х) имеет вид, м изображенный на рис. 44.
1! П ! Я> ! П> Проведем на этом рисун- О х» х«х» х« х ке горизонтальную прямую 1У=ЕО где Е, — какая-то постоянная. Пусть эта прямая пересекает «потенциальную кривую» В= У(х) в трех точках А, В, С с координатами х>О хв, х . Сразу видно, что частица с полной энергией Е, не может находиться в областях 1 и П1. Она может двигаться либо в области П, либо в области 1Ч.
Переходить из области П в область !Ч или обратно частица не может. Этому препятствует «потенциальный барьер» В>ЧС на потенциальной кривой. В области П частица с полной энергией Е, будет совершать так называемое финитное движение, т. е. движение, происходящее в ограниченной части пространства. Она окажется запертой в «потенциальной яме» АМВ и будет совершать колебания между крайними точками хз и хв, называемыми точками поворота. Если же частица находится в области !Ч и движется налево, то она, достигнув точки х, повернет обратно и далее будет «уходить на бесконечность». Такое движение называется ина>!>нитным.
Пусть теперь частица обладает большей энергией Ез > Е„и горизонтальная прямая У = Ез пересекает потенциальную кривую в единственной точке Р с абсциссой ха. Тогда для частицы окажется доступной вся область пространства правее точки хп, и движение в этой области будет инфинитным. Допустим, что потенциальная яма имеет характер кривой, изображенной на рис. 45. По обе стороны от точки М обе ветви потенциальной кривой монотонно поднимаются вверх.
Пусть при х = + «функция У(х) обращается в нуль, т. е. ось абсцисс является для потенциальной кривой асимптотой. Тогда можно утверждать, что движение частиць! будет филип>ны.ч, если ее полная энергия отрицательни, и инфинитным, если она положительна. 148 (гл, гг РАБОТА и энеРГия Для уяснения качественного характера движения частицы в силовом поле с потенциальной энергией 1У(х) полезна следующая ил- люстрация. Изготовим иде(т ально твердую и идеально хл хв Х гладкую дорожку, форма О 1 которой точно совпадает с -((4В профилем потенциальной кривой (У = (У(х) (например, кривой, изображенной на рис. 44).
Поместим там кую дорожку в однородном Рнс. 45 поле тяжести и положим на нее на некоторой высоте маленький шарик. Тогда движение шарика под действие силы тяжести будет почти точно воспроизводить движение материальной точки в рассматриваемом силовом поле П=!У(х), если только надлежащим образом подобрать ее полную энергию. Некоторая неточность иллюстрации связана с тем, что при движении шарика по дорожке возникает вращение, на что расходуется часть энергии. Иллюстрация совершенно точно передавала бы все черты искомого движения, если бы шарик не катился по дорожке, а скользил по ней без трения. Если такой шарик поместить без начальной скорости в точку Л (рис.
44), то он будет совершать колебания по дуге ЛМВ между крайними точками Л и В. Если его поместить в точку Уг, то он сможет преодолеть потенциальный барьер ВУтгС и «уйти на бесконечность». 6. Для финитных движений справедлива так называемая гнеорема вириала, имеющая многочисленные применения в различных отделах физики. Она бьща сформулирована и доказана немецким физиком Рудольфом Клаузиусом (1822 — 1888).
Для произвольной системы материальных точек можно написать — рг=~гР+~Х р», так как р = Р, г = » (суммирование ведется по всем материальным точкам системы). Последнее слагаемое в правой части есть удвоенная кинетическая энергия системы: 2К = ~' р» = т тгг~, И ПрЕдыдущЕЕ СООгнашЕнис мОжнО переписать в виде К = — — ~Х гР + — ~ ~— (рг). (25.9) Величина — — э гР называется вириалом сил, действующих в системе. 1»г з2 Назовем среднгсгг по времени значением функг(ии у'(() на временном интервале ((, (+ г ) величину, определяемую выражением г«г (25.10) ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 149 1 25! Если функция Т((> периодична, то в качестве времени Т обычно берут ее период. Если же Т(() не периодична, но ограничена, то время Т берут достаточно большим и переходят к пределу +т у'=!пп — 1 У(!') Ф', (25.11> т т предполагая, конечно, что предел существует. Если Т(() есть производная ограниченной функции по времени; ! = — ~. то !'= О. Действительно, !Н ььт 1гл, . !тт- ! у' = Вш — 1 — Р- Ж' = 1пп т ) л! г т т Имея это в виду, усредним соотношение (25.9) по времени, устремляя Т к бесконечности.
Тогда для фини!ного движения последнее слагаемое в (25.9> даст нуль, и мы получим 1 ~ )Г= — — э гр. 2 (25.!2> В случае финитных движений среднее по времени значение кинетической энергии системы равно среднему по времени значению вириала сил, действующих в системе. Это и есть теорема вириала Клаузиуса. ЗАДАЧИ 1. Определить отношение потенциальных энергий деформации У1 и (>2 двух пружин с жесткостями Е1 и (тт в двух случаях: а) пружины соединены последовательно и растягиваются грузом Р (рис.
46 а)1 б) пружины висят параллельно, причем груз Р подвешен в такой точке, что обе пружины растягиваются на одну и ту же величину (рис. 46 б). Деформацией пружин под действием собственного ве- 1 са пренебречь. Ответ: а) (11%2 = Е2>Е11 б) 2 ((1~('2 Е1~Е2 Когда одна из пружин очень жесткая по сравнению с другой, практически вся потенциальная энергия в случае а) будет запасена в более а б мягкой, а в случае б) — в более Рис. 46 жесткой пружинах. 2. Два протона с энергией Е = 0,5 МэВ каждый летят навстречу друг другу и испьпывают лобовое столкновение.
Как близко они могут сойтись, если учитывать только электростатическое взаимодействие между ними? Ответ. г = е~>2Е, где е — заряд протона. Для вычислений формулу целесообразно преобразовагзь положив Е = е!'. Тогда г = е!'2)г = = 1,4 !0 11 ем (2!' = 10 В). Опьпы по рассеянию ядерных частиц показали, что радиус действия ядерных сил по порядку величины равен 1О 11 ем. Поэтому при расчете столкновения протонов, энергии которых 150 (гл.ш РАБОтли энкггия превосходят примерно 0,5 МэВ, помимо электростатических сил надо учитывать также ядерные силы. 3. Три электрона в состоянии покоя находятся в вершинах правильного треугольника со стороной а = 1 см. После этого они начинают даигаться под действием взаимного отталкивания.
Определить предельное значение их скоростей. Ответ. и = 1)2езйпа = 2,2 10 см!с. 4. Решить задачу 3 для релятивистских скоростей. При каких расстояниях а можно пользоваться нерелятивистским приближением? 'Й~ЭЛ РЬ' Ответ. о=с т,с' -(- е'lа Нерелятивистское приближение справедливо при г' а» =2,8 ° 1О ысм. т,с' 5. Исходя из того требования, что произведение импульса частицы шо на расстояние и велико по сравнению с х„определить, при каких расстояниях а в задаче 3 квантовые поправки не играют роли. Ь' Ответ. При а», 10 см, 2~не' б. Четыре электрона в состоянии покоя находятся в вершине квадрата со стороной а = 1 см. После этого они начинают двигаться под действием .Ои Р * Г Ответ. и = ")~ (2 + — ) — = 26 1О см!с.
2) ыч 7. Материальная точка совершает одномерное финитное движение в потенциальном силовом поле между точками поворота х и хв (см. рис. 45). Показать, что время движения ее от точки х, к точке хв равно времени обратного движения от точки хв к точке х . 8. Материальная точка (например, шарик на пружине) под действием квазиупругой силы Е = †совершает колебания вдоль оси Х вокруг положения равновесия.
Пользуясь теоремой вириала, показать, что средние по времени значения кинетической и потенциальной энергий при таком колебании одинаковы. 9. Идеально упругий шарик движется вверх и вниз в однородном поле тяжести, отражаясь от поля по законам упругого удара. Найти связь между средними по времени значениями его кинетической К и потенциальной и энергий. Р с|лен не. Поместим начало координат в одной из точек пола, направив ось Х вертикально вверх. Тогда сила давления пола на шарик нс будет влиять на значение вириала, так как она действует только в таких положениях шарика, когда х = О. Надо учитывать только силу тяжести Р = — шя (минус потому, что сила Г действует вниз, т.
е. в отрицательном направлении оси Х). Вириал этой силы равен — г(з Рх = из глях = г в и. По теореме вириала находим — 1 к= — и. 2 151 АБСОЛЮТНО НВУПРУГИЙ УДАР й2б. Аьсопютно няупругий удАР П1! где т> и >п2 — массы шаров. Отсюда получаем ~!У! ! 12172 7> = П11 ! 1712 (2б.1) Кинетические энергии системы до удара и после удара равны со- ответственно К, = — т,>>2+ — >и 7>2, К = — (т, + >п )П2. 1 1 1 Пользуясь этими выражениями, нетрудно получить ~! ~2 7 (71 П2) 2 (26. 2) 1. Интересным примером, где имеет место потеря механической энергии под действием диссипативных сил, является ибсолп»ппо пеупругий удар.
Так называется столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело, Примером может служить попадание ружейной пули в подвижную мишень, например в ящик с песком, подвешенный на веревках, Пуля, застряв в песке, остается в ящике и движется дальше вместе с ним. Шары из пластилина или глины при столкновении обычно слипаются и затем движутся вместе. Такое столкновение также может служить примером практически абсолютно неупругого удара. Точно также столкновение двух свинцовых шаров можно с хорошим приближением рассматривать как абсолютно неупругий удар.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
