Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Ограничиться нерелятивистскими скоростями. Решен ив. Пусть ог, ггз, ... — скорость ракеты после 1-го, 2-го, ... выбрасываний. По закону сохранения импульса (т — 2(пг1г, + г(ггг. ге = О, где ю — скорость выброшенной массы Ат после первого выбрасывания. Очевидно, очп, = ог — цг. Исключая ш, получим ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ 125 зП Найдем теперь ез, В системе отсчета, движушейся со скоростью ип ракета перед вторым выбрасыванием неподвижна, а после второго выбрасывания приобретает скорость и — ог Поэтому можно воспользоваться формулой (21.7), сделав в ней замену пле-~ие — Дгп, ел-~ез — иг Это дает Длп и — г н 2 1 И Д!И а™' а + + Ди (Аг 1) дп1 а 1 =1, 1 г(и' и где и — конечная масса ракеты.
После взятия интеграла получается формула Циолковского (21.5). 2. Найти связь между массой ракеты и((), достигнутой ею скоростью н(() и временем (, если ракета движется вертикально вверх в поле земного тяготения. Скорость газовой струи относительно ракеты е „считать постоянной, Сопротивление воздуха и изменение ускорения свободного падения я с высотой не учитывать. Какую массу газов )л(() должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы оставаться неподвижной в поле тяготения? Р е ш е н и е.
Уравнение движения ракслы ~Ь Н1и и — = — О, — — Плв ай ' г(г перепишем в форме и — (и+ Е() = — п— 11 1(П1 или а(Ы-хг) Л(т Пл ' Это уравнение имеет такой же вид, что и (21.3), если за неизвестное принять величину о+ рй Поэтому можно воспользоваться формулой (21.5), заменив в пей и на и + рй Это дает П1а, Эжя а1а — =ел х -, н=н 1и — — рй и ' "" ал Величина 11, очевидно, равна — 1(п111((. Она находится из условия, что для неподвижной ракеты 1(иллл( = О, и равна г(ги и ля р= — — = — е" а(Г е Комбинируя это соотношение с (2 дальше, нетрудно получить ~дп1 ди В пределе, когда Дли — О, А)- квадратных скобках, переходит в !.7), находим е .
Продолжая этот процесс тв — (Д1 — 1) Дт — ь и, СуММа, СтОящая В интеграл, и мы получаем 12б некОтОРые следствиЯ и пРименениЯ 3АкОнОВ ньютОнА (гл, и1 3. Космический корабль движется с постоянной по модулю скоростью гг. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью гг относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол и.
на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его та, а конечная т. Решение. Ускорение корабля по модулю равно зг~г = вв, причем и = сопз(. Поэтому уравнение движения Лт г(т щ — =т а/г ' г/г переходит в пгиао Ж = — аг а г/т. Замечая, что а/и = аз ьа( есть угол поворота за время а//, и интегрируя, получим лга а = — "1и — '. 6 гл' 4.
Космический корабль, движущийся в пространстве, свободном от поля тяготения, должен изменигь направление своего движения на противоположное, сохранив скорость по модулю. Для этого предполагаются два способа: 1) сначала затормозить корабль, а затем разогнать его до прежней скорости; 2) повернуть корабль, заставив его двигаться по дуге окружности, сообщая ему ускорение в поперечном направлении. При каком из этих двух способов потребуется меныпая затрата топлива? Скорость истечения газов относительно корабля считать постоянной и одинаковой в обоих случаях.
Ответ. Первый способ требует меньшей затраты топлива. 5. Определить коэффициент полезного действия ракеты, т. е. отношение кинетической энергии К, приобретенной ракетой, к количеству теплоты Д, выделившемуся при сгорании топлива. Скорость, достигнутая ракетой, г = 9 км/с. Теплота сгорания топлива 9 = 4000 ккал/кг, скорость выбрасываемых продуктов сгорания относительно ракеты и = 3 км/с. К вг Ответ. — = „, 13~ага. ' () 29(е" — !) 6. Продукты сгорания (газы) выбрасываются из ракеты со скоростью и = 3 км/с (относительно ракеты). Найти отношение ее кинетической энергии К .
к кинетической энергии продуктов сгорания К, в момент достижения ракетой скорости г „= 12 км/с. Решен ив. Приращение скорости ракеты т связано с изменением ее массы ш соотношением щ а(т = т, ьггн. Переходя к скалярной форме и новым обозначениям, запишем его в виде т ьггг = — и а(иг, причем ьглг = — ьгггг „где и а — масса выброшенных газов. Приращение кинетической энергии газов ага 2в Подставив сюда и„= г — и и воспользовавшись формулой Циолковского (21.5), получим гага а/К , = — — (ас — г!) е иа айг, ил и после итп егрирования щаиг К„= (1 — е' — хе а), дВижение тел с пеРеменнОЙ мАссОЙ 127 Е 2Ц где для краткости введено обозначение х = о,.„„!и. Кинетическая энергия ракеты 2 ли " 2пгв 2 ! 2 2 В результате находим х' К, е' — (1 -1- х') При х = 4 отношение энергий 11 = 45;ш 7.
С поверхности Луны стартует двухступенчатая ракета. Г!ри каком отношении масс первой (т,) и второй (тг) ступеней скорость контейнера с полезным грузом (массой т) получится максимальной? Скорость истечения газов и в двигателях обеих ступеней постоянна и одинакова. Отношения массы топлива к массе ступени равна для первой и второй ступеней соответственно а, и аг. Отделение ступеней и контейнера производится без сообщения добавочных импульсов.
Решен не. От действия силы тяжести Луны можно отвлечься. Сила тяжести уменьшает кинетическую энергию системы, но нс влияет на условие максимума. Примем за единицу массы полную массу ракеты в момент старта. Тогда (21,8) т,+лгг+т=). После выгорания топлива в первой ступени масса системы уменьшится на агп,. Если при этом будет достигнута скорость пп то по соотношению о ! епг' = ( а!)т! ! и!! ' т Масса (1 — а,)т, отделяется, и включается двигатель второй ступени. После выгорания топлива во второй ступени скорость ракеты возрастает еще На ВСЛИЧИНУ ггг, ПРИЧСМ пг, -ь т е"!" = (1 — аг)т -1-т В этом можно убедиться, если перейти в систему отсчета, в которой ракета в момент отделения первой ступени покоится.
Полная достигнутая скорость найдется перемножением двух предыдуших соотношений и последующим логарифмированием. Исключая еще нри этом массу тг с помощью соотношений (21.8), получим — =!и (! — т,) — 1и (1 — а,т ) — !и ( (! — аг) (1 — и,) + агт) и 1 1 1 Здесь гп и и играют роль постоянных параметров, а гпг — роль аргумента, от которою зависит скорость и. Дифференцируя по т, и приравнивая производную нулю, получим условие максимума: + + =О, (21.9) т,— ! () — т, т-1-п1 128 НЕКОТОРЫЕ СЛЕЛСТПИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА (где П! где введены обозначения 1 о! — (=1+ ш.
а* ' 1 — а ! 2 Перед корнем взят минус, так как по смыслу задачи 0 < ш, < 1. С помощью (21.В) находим массу !и, а затем искомое соотношение тт(л!!. Возвра!лаясь при этом к прежним параметрам и, и ах, получаем вмн ! — ч т"л7. ! — а 1 — ~~ — — ~ т (21.10) 7л, Решение имеет смысл при выполнении условия а 1 — а 2 1 и < 1. и, 1 — а, В реальных условиях, когда |и « 1, а параметры а! н ах отличаются не очень сильно, это условие соблюдается.
При а! — — ат получается простая формула л!в — = тт!н. т, (21,11) Условие (21.9) приводит к квадратному уравнению относительно ш!, решая которое, найдем — лтт!!=в= '7. ГЛАВА ~Ч РАБОТА И ЭНЕРГИЯ и 22. РАЕОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЗНЕРГНЯ 1. Работой силы Р на перемещении г(з называется проекция Р, этой силы на направление перемещения, умноженная на само перемещение: (22. 1) г1А = Р, ~й = Р сЬ сов а, где а — угол между векторами Р и а'з (рис. Зб). Поскольку перемещение г(з предполагается бесконечно малым, величина иЛ называется также злвментарной работой в отличие от работы на конечном перемещении.
2 Если воспользоваться понятием скалярного произведения, то можно сказать, что элементарная работа г(Л есть скалярное произведение силы Р на перемещение Ыз: ЫА = (Р гй). (22.2) ! Рис. 36 А= ~ (Ргй) с (22.3) и называется криволинейным интегралом вектора Р вдоль траектории 2.. Этот интеграл, по определению, и дает рабогпу силы Р вдоль кривой Ь Если Р = Р, + Рм то проецируя это векторное уравнение на направление элементарного перемещения г(з,получим Р,, = Ры + Рм, а после умножения на вЬ: г, вк = Ры из + Р, гЬ, или (22.4) ггл = ЫА, + г(лг. В общем случае, когда материальная точка, двигаясь по криволинейной траектории, проходит путь конечной длины, можно мысленно разбить этот путь на бесконечно малые элементы, на казкдом из которых сила Р может считаться постоянной, а элементарная работа может быть вычислена по формуле (22.1) или (22.2).
Если сложить все эти элементарные работы и перейти к пределу, устремив к нулю длины всех элементарных перемещений, а число их — к бесконечности, то такой предел обозначается символом 1зо 1гл, Гч РАБОТА и энеРГия Таким образом, элементарная работи результирующей двух или нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Очевидно, то же утверждение справедливо и для работ на конечных перемещениях: (22.5) А=А~+Аз. Единицей работы в системе СИ является джоуль (Дж). Джоуль есть работа силы в один ньютон на перемещении в один метр при условии, что направление силы совпадает с направлением перемещения.
В системе СГС единицей работы является эрг. Эре есть работа силы в одну дину на перемещении в один сантиметр при том же условии, т. е. в предположении, что направления силы и перемещения совпадают. Очевидно, 1 Дж = 10' эрг. Работа, отнесенная к единице времени, т.
е. величина (22.6) называется лющноетью. Ее единицами являются эрг на секунду и джоуль на секунду, или ватт (Вт). Очевидно, 1 Вт = 10г эрг/с. Подставив в формулу (22.3) Р = — н, аз = ч аг, придадим этой форйй аГ' муле вид (22.7) А= ~ (ч ГУр) 2 . Чтобы вычислить интеграл, надо знать связь между скоростью материальной точки ч и ее импульсом р. По определению импульса р = тч, причем в нерелятивистской мехас Б нике масса т не зависит от скорости, так что ч ар = тч 1ч. Здесь вектор Гуч означает элементарное приращение вектора ч, причем это приращение мои жег и не совпадать по направлению с вектором (рис. 37). Если мы условимся понимать под и длину вектора ч, то очевидно иг = чг. Действительно, справа стоит скалярное произведение вектора ч на самого себя, а оно равно квадрату длины вектора, как это непосредственно следует из определения скалярного произведения.
Дифференцируя теперь обе части соото ношения из =чг, получим и аи =ч ач. Здесь Г7и есть элементарное приращение длины вектора ч. Его нельрис. 37 зя смешивать с длиной элементарного приращения вектора, т. е. с величиной )Г7ч~. Последняя величина по самому ее смыслу существенно положительна, в то время как приращение аи может быть как положительным, так и отрица- 1з1 Е 221 РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ тельным. На рис. 37 ач = АВ, аЬ = ЛС.
По определению скалярноГо произведения ч 2Ь= ч АВсоь а = ч АС = ч 21ч. Это дает другое доказательство соотношения ч ач = ч ач. Разумеется, такое соотношение справедливо не только для вектора ч, но и для любого друпэго вектора. Используя его в нашей задаче и вынося постоянный множитель т из-под знака интеграла, получим 12 тч2 тч, Аш=т ~ чйч= 2 2 и где ч, — начальная, а ч2 — конечная скорости точки. Букву А мы снабдили индексами 1, 2, чтобы подчеркнуть, что речь идет о работе при перемещении материальной точки из начального положения 1 в конечное положение 2 (см. рис. Зб). Величина К= (22.8) 2 2т называется кинетической энергией .чатериальной точки.
С помощью этого понятия полученный результат запишется в виде А12 = К2 Кг (22.9) Таким образом, работа силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки. Связь между работой и кинетической энергией, выражаемая этой теоремой, и оправдывает введение обоих этих понятий. 3. Полученный результат без труда обобщается на случай произвольной системы материальных точек. Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые ее можно мысленно разделить. Напишем соотношение (22.9) для каждой материальной точки системы, а затем все такие соотношения сложим. В результате снова получится формула (22.9), но уже не для одной материальной точки, а для системы материальных точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
