Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если в какой-либо момент времени снаряд разорвется на мелкие осколки, то эти осколки под действием внутренних сил будут разлетаться в разные стороны. Однако центр масс осколков и газов, образовавшихся при взрыве, будет продолжать свое движение по параболической траектории, как если бы никакого взрыва не было. Центр масс системы совпадает с ее центром тяжести, т. е.
с точкой приложения параллельных сил, действующих на матери- 11б некОтОРые следстВиЯ и ИРименениЯ 3АкОнОВ ньютОБА (гл. ш альные точки системы в однородном поле тяжести. Поэтому вместо терминов «центр масс» н «центр инерции» употребляют также термин «центр тяжестиш Однако в теореме о движении центра масс термином «центр тяжести» лучше не пользоваться, так как к этой теореме тяжесть не имеет прямого отношения, Термин «центр тяжести» распространен в курсах теоретической механики, особенно старых. В физике этот термин практически вышел из употребления. Если система замкнута, то Р('1 = О.
В этом случае уравнение (19.3) переходит в — = О, из которого следует т = сопз1. Центр г(тг Лт масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно. ЗАДАЧИ 1. На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки, а расстояние от дна до поверхности стола равно длине пробирки 1. Нить пережигают, и за время падения муха перелетает со дна в самый верхний конец пробирки.
Определить время, по истечении которого нижний конец пробирки стукнется о стол. О т в е т. ( = Й/д. 2. Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси центробежной машины, как указано на рис. ЗЗ, равномерно вращается с угловой скоростью го настолько быстро, что его плоскость вращения практически горизонтальна.
Нить составляет угол а с осью. Найти расстояние от центра кольца до оси вращения. я 18 о Ответ. х= 2 3. Однородный стержень длины 1 равномерно вращается вокруг свободной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его центр. Какова должна быть угловая скорость вращения то, при которой стержень еще не разрывается под действием внутренних напряжений, возникающих в нем Рис. 34 Рис. ЗЗ при вращении? Максимальная сила натяжения, отнесенная к единипе площади поперечного сечения стержня, равна Т. Объемная плотность материала стержня равна р (см.
также 8 75, задача 4). Ответ. р(зшз < 8Т 117 1 го! ПРИВЕДЕННАЯ МАССА 4. Нв прямоугольный трехгранный клин АЕС массы М, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, положен подобный жс, но меньший клин ЕЕО массы Гл (рис. 34). Определить, на какое расстояние х сместится влево болыной клин, когда малый клин соскользнет вниз и займет такое гюложение, что точка 0 совместится с С. Длины катетов АС и ВЕ равны соответственно а и Ь. щ Ответ, х= (а — Ь). В 20. ПРИВЕДЕННАЯ МАССА 1.
Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих материальных точек с массами и! и н22 !рис. 35). Уравнения движения этих точек можно записать в виде !20.!) дг2 222 ' !22 щ причем по третьему закону Ньютона Р, = — Р2. Вычитая из одного уравнения другое, находим "г Р! !! 1! —, (гз — г,) = — — — = Р2 ~ — + — ) . г ! „, „, г ~222, 22!). Это уравнение описывает движение одной материальной точки относительно другой, так как разность г = г2 — г, есть радиус-вектор, проведенный от первой точки ко второй.
Он однозначно определяет положение второй точки относительно первой. Введем обозначение 1 1 ! ~2222222 — = — + —, или Л2! ГЛ2' 120.2) Тогда предыдущее уравнение перейдет в следующее: !20.3) Это уравнение формально аналогично второму закону Ньютона. Роль силы играет сила Р2, действующая на вторую материальную точку, а роль массы — вспомогательная величина Р, называемая приведенной массой. Г ! Разумеется, одно уравнение (20.3) не может быть эквивалентно двум исходным уравнением (20.1).
Однако такая эквива- Г! Г2 лентность может быть достигнута, если к уравнению (20.3) присоединить уравнение, выражающее теорему о движении центра масс системы. Последняя в рассматриваемом случае сводится к утверждению, что центр масс системы движется 118 некОтОРые слеДстВиЯ и ИРименениЯ 3АкОнОВ ньютОнА 1гл. Рп прямолинейно и равномерно. Тем самым задача о движении двух материальных точек распадается на две независимые задачи: !) определение равномерного движения центра масс; 2) определение относительного движения одной материальной точки относительно другой.
Вторая задача формально сводится к задаче о движении одной материальной точки с массой !ь в силовом поле другой точки. Этим и оправдывается введение понятия приведенной массы, Никакого глубокого физического смысла приведенная масса не имеет, На нее надо смотреть только как на целесообразное обозначение. 2. Рассмотрим пример, поясняющий пользу введения понятия приведенной массы. Пусть планета обращается вокруг Солнца по окружности радиуса г. Действующая на нее сила по закону всемирного тяготения равна мт Р = 0 ',, где М вЂ” масса Солила, ш — масса планеты, С вЂ” гравитацион- Г' ная постоянная.
Так как сила направлена к Солнцу, то в векторной форме Р = — О, — = — О, г. Вводя приведенную массу, запишем уравнение Мт г Мт г' движения планеты относительно Солнца: ргьв "' г=р= — 6 тг. мь г Г' Отсюда з г Так как вращение планеты по орбите равномерно, то 'г = — ш г, а потому где ш — угловая скорость, а Т вЂ” период обращения планеты. Если масса планеты пренебрежимо мала по сравнению с массой Солнца, то для угловой скорости го, и периода обращения Т получаем Если бы масса планеты была бы равна массе Солнца (двойная звезда), то для угловой скорости шз и периода обращения Тз мы получили бы При одном и том же расстоянии г Период обращения во втором случае меньше, чем в первом, в у2 раз.
1 гп лвиженнГ ТГЛ с пеРеменнОЙ мАссОЙ й 21. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ С ПЕРЕМЕННОЙ МАССОЙ. РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ 1. Термин «переменная массив употребляется в этом параграфе в совершенно ином смысле, чем в теории относительности. В теории относительности масса движущегося тела изменяется за счет изменения его скорости, причем никакого вещества во время движения тело не получает и не теряет.
Напротив, в настоящем параграфе говорится о медленном движении тел, масса которых меняется за счет потери или лрнобретения веп1естаа, Например, масса автомобиля для поливки улиц уменьшается за счет вытекающих водяных струй; дождевая капля растет при падении в воздухе, пересыщенном водяными парами; масса ракеты или реактивного самолета уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива.
В таких случаях говорят о движении тел с переменной массой. Уравнения движения тел с переменной массой не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, а являются их следствиями. Тем не менее они представляют большой интерес, главным образом в связи с ракетной техникой. 2. Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой.
Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет. Целесообразно, однако, обобщить задачу, предположив, что на ракету действуют внешние силы. Такими силами могут быть сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.
Пусть т(1) — масса ракеты в произвольный момент времени 1, а Г(1) — ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент времени будет тж Спустя время гй масса и скорость ракеты получат приращения 0т н 1т (величина 1т отрицательна!). Импульс ракеты станет равным (т + Ыт) х (т + сЬ). Сюда надо добавить импульс движения газов, образовавшихся за время Ж. Он равен Ылгг„тгвн гДе с(т,„,, — масса газов, обРазовавшихсЯ за вРемЯ сй, а Г,„— нх скорость. Вычитая нз суммарного импульса системы в момент 1+ Ж импульс системы в момент 1, найдем приращение этой величины за время Ж. Согласно известной теореме это приращение равно Р Ж, где Р— геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.
Таким образом, (т+ Ыт) (я+ 1Ь) + ~ЬР1„,Г„, — тя= Р Ж. 120 некОтОРые следствия и НРименения 3АкОнОВ ньютОБА 1гл. ш Отсюда делением на Ж получаем от впг т — = ч — + Р. йг огн (21.2) По форме уравнение (21.2) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела т здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе Р добавляо ггг ется дополнительный член ч„,„ †, , который может быть истолкован как реактивная сила, т. е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы.
Уравнение (21.2) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским (1859 — 1935). Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (21.1), называется уравнением Меи1ерского или уравнением движенггя точки с переменной миссой. 3. Применим уравнение (21.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая Р = О, получим т ач = ч„„с(т. Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи ч„,„.
Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора ч„„, на это направление будет отрицательной и равной — п„„г Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так: т иге = — ионн с(т, причем в соответствии с принятыми обозначениями величина ио,в существенно положительна.
Следовательно, (21. 3) Скорость газовой струи и„,„может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве икпч очевидно, не затрагивает основные черты явления, но сильно облегчает решение уравнения (21.3). В этом случае г опг Время Ж, а с ним н приращения г1т и агч мы должны устремить к нулю — нас интересуют предельные решения, или произвольные г1пг г1ч — и —.
Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведе- Ж ог' ние г1т.дч, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, агт + г(гн„, = О. Пользуясь этим, можно исключить массу газов г(т,.„к Наконец, разность ч„,,„= чьо — ч есть скорость истечения газов относительно ракеты. Мы будем называть ее скоростью газовой струи. С учетом этих замечаний предыдущее соотношение легко преобразуется к виду т Йч = ч„„с1т + Р гй. (21.1) движение тел с пегеменнОЙ мАссОЙ 121 Е зп П~0 и = е„,„!и —, (21.4) или М0 — =е м (21.5) Последнее соотношение называется Формулой Циолковского (по имени советского ученого К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
