Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 34
Текст из файла (страница 34)
р' = тн1у1 + тзуз+ ... Его можно представить в виде р' = ту„где у, — скорость центра масс системы материальных точек относительно 5', а т — ее суммарная масса. Таким образом, К = К'+ — тР2+ т(УУ',.). (23.2) Если центр масс покоится в системе отсчета 8', т. е. т,'. = О, то К = К' + — т 1/2 1 2 (23.
3) Это равенство выражает так называемую теорему Кенига: кинетическая энергия системы материальных гпочек равно сумме кинетической энергии всей массы системы,,чысленно сосредоточен- Как ясно из формулы (22.8), кинетическая энергия тела зависит от выбора системы отсчета, относительно которой рассматривается его движение. Можно поставить вопрос, как преобразуется кинетическая энергия при переходе от одной системе отсчета к другой. Приведем решение этого вопроса в нерелятивистской механике. Сначала рассмотрим частный случай, когда тело состоит всего из одной материальной точки. Обозначим через К кинетическую энергию материальной точки в какой-либо системе отсчета 8, а через К' — в другой системе 5', движущейся относительно 5 поступательно со скоростью У. (Скорость У может быть постоянной, но может и меняться во времени.) В нерелятивистской механике скорости у, у' и У связаны соотношением ч = у'+ У.
Поэтому тнг — то'2 + Рг + т(у'У) ! 1, 1 2 2 2 гзВ ~ГЛ,Ш РАБОТА и энеРГия й24. КОНСЕРВАТИВНЫЕ И НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ 1. Все силы, встречающиеся в макроскопической механике, принято разделять на консервативные и иекопсервативные. Прежде чем вводить эти понятия, рассмотрим некотоА, рые примеры. Вычислим сначала работу силы тяжести, которую она совершает при переходе материальной точки из положения 1 в положение 2 вдоль прямолинейного отрезка 12 А,-ьл нг 1рис. 38). Примером может служить скольРис. 38 жение без трения материальной точки по гладкой наклонной плоскости. Очевидно, эта работа А,г= тяв сох и, или 124.1) г11г = тел гьг "г) = гпь".Аг ть.ьг~ где 1г, и пг — высоты, на которых находилась материальная точка в начале и конце пути, отсчитанные от какою-либо произвольного уровня, например от земной поверхности нчи от уровня моря.
Формула (24.1) остается справедливой и при перемещении вдоль произвольной кривой, например по пути 132 (рис. 39). Это станет очевидным, если разбить весь путь 132 горизонтальными плоскостями на ма- 1 А лые участки, каждый из которых мо- 1 жег быть принят за прямолинейный. — — — — — — — — — — Применив к каждому участку формулу — — — — — — — — — — (24.1) и сложив полученные работы, — — — — — — — — — — мы придем к прежнему результату — — — — — — — — — — (24.1).
Если вместо пути 132 взять любой другой путь 142 между теми же Рис. 39 начальным и конечными положениями 1 и 2, то работа силы тяжести не изменится, так как она определяется только разностью высот и, — 1гг, которая от формы пути не зависит. Таким образом, работа тяжести не зависит от формы пути, а определяется только начальным и конечнылг положениялш пере.чещагощейся точки. 2. В качестве второго примера рассмотрим работу при перемещении материальной точки в поле центральных сил, Сила называется центральной, если она направлена к одной и той же точке ной в ее центре масс и движущейся вместе с иилц и кинетической энергии той же системы в ее относительном движении по отно- шению к поступательно движущейся системе координат с нача- лом в центре масс. 1ЗВ КОНСЕРВАТИВНЫЕ И НЕКОНСЕРВАТИВНЫР СИЛЫ (или от одной и той же точки) и зависит только от расстояния до этой точки, называемой центром сил или силовым центром.
Примером может служить сила гравитационного притяжения, с которой Солнце действует на планету, или сила электростатического взаи- г модействия двух точечных зарядов. По определению элементарной работы дА = вг = Р сЬ соз (Р, йз). Величина дх соз (Р, дз) дь есть проекция элементарного перемещения дз,/ на направление силы, или, что то же самое, 1 на направление радиуса-вектора г (если за положительное направление силы принять направление от силового центра О). Следовательно, дз соз ~Р, дз) = дг, где Йг — элементарное приращение длины г, т. е.
расстояние о материальной точки от силового центра Рис 40 (рис. 40). Таким образом, дА = Р(г) дг, причем по предположению сила Р зависит только от расстояния г. Поэтому работа Аы выразится определенным интегралом Аы —— ~ Г(г) дг, (24. 2) значение которого зависит только от расстояний г, и «т точек 1 и 2 до силового центра О, но не зависит от грормы пути, по которому материальная точка перешла из начального положения 1 в конечное положение 2, В формулу (24.2) путь перехода вообще не входит, в нее входят только расстояния до силового центра. 3. Допустим, что в силовом центре помещено физическое тело (материальная точка), взаимодействующее с рассматриваемой материальной точкой (которая с тем же основанием может быть принята за силовой центр).
При взаимодействии перемещаются как материальная точка, так и силовой центр. При выводе формулы (24.2) перемещение силового центра не принималось во внимание. Однако справедливость самой формулы не связана с этим ограничением. Работа Аы зависит только от относительного перемещения материальных тачек, но не может зависеть от абсолютных перемещений каждой из точек в отдельности, 8 этом можно убедиться простым вычислением. Пусть взаимодействуют две материальные точки 1 и 2, причем силы взаимодействия Р, и Р подчиняются третьему закону Ньютона.
Обозначим через г, и гт радиусы-векторы этих точек, проведенные из какого-либо неподвижного начала. Тогда для элементарной работы можно написать ВА = Р, дг, + Рз дгм По третьему закону Ньютона Р, = — Рм а потому аА= Рт(дгз — йг,) = Рт д(гт — г,). Но гт — г, есть ради- 140 1гл,щ РАБОТА И ЭНЕРГИЯ ус-вектор точки 2 относительно точки 1. Обозначим его через г,г. Тогда (24. 3) г(Л Р2 ЫГ12 Значит, при вычислении элементарной, а с ней и полной работы точка 1 может считаться неподвижной, а точка 2 — перемещаю- шейся относительно нее. Можно было бы, конечно, считать неподвижной точку 2, а точку 1 — движущейся. Результат получился бы тот же самый.
Вообще, как и раньше, выражение (24.3) может быть преобразовано к виду (24. 4) с(Л = Р(») д», Сюда входят только расстояние между взаимодействующими точками» и его приращение 11». Отсюда немедленно получается формула (24.2), что и доказывает наше утверждение. Отметим одно следствие формулы (24.2). Допустим, что материальные точки 1 и 2 соединены абсолютно жестким стержнем. При такой идеализации расстояние между взаимодействующими точками будет оставаться неизменным при любых их перемещениях: г1» = О.
Поэтому всегда будет равен нулю интеграл в формуле (24.2), а с иим и работа сил взаимодействия материальных точек 1 и 2 на любом перемещении. Так называемые абсолютно твердые тела могут рассматриваться как системы материальных точек, расстояния между которыми не меняются при любых движениях. Такая неизменяемость обеспечивается внутренними силами или силами связей, действующими между материальными точками системы. Всю систему можно мысленно разбить на пары взаимодействующих точек и применить к ним доказанное выше следствие. Отсюда следует, что работа внутренних сил, действуюгцих в абсолютно твердых телах, равна нулн1 при любых движениях. Реальные тела не являются абсолютно твердыми. Действующие в них силы обусловлены связями, которые могут быль очень жесткими, но не бесконечно жесткими.
Работа таких сил, вообще говоря, отлична от нуля, Однако по мере увеличения жесткости работа становится все меньше и меньше и в пределе для бесконечно жестких связей обращается в нуль. Результаты, полученные для двух материальных точек, обобщаются на случай произвольной системы материальных точек, между которыми действуют центральные силы.
Если задать положение каждой материальной точки, то этим определится и положение всей системы или ее конфигурация. Раегп1а центральных сил не зависит от способа (или «путиь) перехода системы из начальной конфигу12ации в конечнуго — она определяется исключительно самими конфигурациями. 4. Если силы взаимодействия зависят только от конфигурации материальных точек системы (т. е. от их координат) и работа этих сил при перемещении системы из произвольного начального поло- кОнсеРВАтиВные и некОнсеРВАтиВные силы 141 жения в произвольное конечное положение не зависит от пути перехода, а определяется только начальной и конечной конфигурациями системы, то такие силы называются конеервативныли. Рассмотренные нами примеры показывают, что сила тяжести и все центральные силы являются сажали консервативнылие Можно дать другое определение консервативных сил, эквивалентное приведенному. Пусть система из положения 1 (рнс. 4!) перешла в положение 2 по пути 132, (Мы символически изображаем по- 2 ложен не системы точкой на плоскости, а путь перехода — линией, хотя буквально такой способ применим лишь для системы, состоящей всего из одной материальной точки.) При этом будет совершена работа Аыз.
Если бы система перешла в положение 2 по пути 142, то совершенная работа была бы равна А,42. По определению консервативных сил Аыз — — А,42. Так как силы зависят только от конфигурации системы, то А,42= — Ая«н где А24, — работа, которая была бы совершена при переходе системы из положения 2 в положение 1 по тому же пути, но в обратном порядке, т. е. по пути 241. Таким образом, А422+ А24, — — О.
Но сумма Аыз+ А241 есть работа, совершенная силами, когда система вернулась в исходное положение 1. В этом случае говорят о работе по «залкнутолу пути». Итак, работа консервитивпых сил по лн1болу залкнутолу пути равна нулю. Проведя это рассуждение в обратном порядке, без труда докажем, что из обращения в нуль работы по любому пути следует независимость работы от пути перехода. Поэтому можно дать еще такое определение консервативных сил. Кгн4сервативныли называются силы, зависящие только от конфигурации системы, и работа которых по люоому замкнутому пути равна нулю.
5. Все силы, не являющиеся консервативными, называются неконсервативнь4ли силами, К ним относятся, прежде всего, так называемые диссипативные силы, например силы трения, возникающие при скольжении какого-либо тела по поверхности другого. Сюда же относятся силы сопротивления, испытываемые телом при движении в жидкой или газообразной среде. Их также иногда называют силами трения (см. З !7). Все эти силы зависят не только от конфигурации тел, но и от их относительных скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
