Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Под А,2 надо понимать сумму работ всех сил, как внутренних, так и внешних, действующих на материальные точки системы. Таким образом, работа всех сил, действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии этой системы. Имеется существенное отличие этой теоремы от аналогичной, в которой говорится о связи между импульсом силы и изменением импульса системы Я 18). Внутренние силы вследствие равенства действия и противодействия не меняют импульс всей системы. ПрираШение импульса системы определяется только внешними силалш.
Не так обстоит дело в случае кинетической энергии. Работа внутренних сил, вообше говоря, не обращается в нуль. Представим себе, например, замкнутую систему, состоящую из двух материальных 1зг ~гл,ш РАБОТА и энвггия точек, взаимодействующих между собой силами притяжения Р, и Рг. Если точки придут в движение навстречу друг другу, то каждая нз сил Р, н Рг совершит положительную работу. Будет положительной и работа обеих сил.
Она пойдет на прирашение кинетической энергии системы. Кинетическая энергия изменится под действием одних только внутренних сил. Следовательно, приращение кинетической энергии определяется работой не только внешних, но и внутренних сил. 4. Доказанная теорема для материальной точки имеет место и в релятивистской механике. Надо только изменить выражение для кинетической энергии. В релятивистской механике формула (22.7) также справедлива, однако при вычислении интеграла (22.7) надо учитывать зависимость массы от скорости. Масса определяется формулой ть т= Ч):чгдст' Подставив в эту формулу и = р/гп и возведя в квадрат, получим р + 1т„с) = 1гпс)г.
(22.10) Дифференцированием этого соотношения находим р др = сгт а'т, А так как рдр=рдр и р=тч, то ч др= сгдт. Таким образом, А,г = ~) ч др = ) с дгп. Г г м, Отсюда (22.11) А,г = с 1тг — т,) = с 1хгп, .г г где т, и тг — массы материальной точки в начальном и конечном положениях. Таким образом, в релятивистской механике работа определяется только приращением массы макпериальной точки. Этот результат проще соответствующего результата нерелятивистской механики. Введем обозначение (22.12) Е = тсг и назовем величину Е полной или релятивистской энергией частиды (материальной тачки).
Тогда А1г Ег Е| ° (22.13) 2ЗЗ РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНРРГИЯ В частном случае, когда частица покоится, ее релятивистская энергия определяется выражением Ео = тосг (22.14) и называется энергией покоя. Кинетическая энергия есть часть релятивистской энергии, обусловленная движением частицы. Она представляется разностью К Е Ео 1т то)сг 1'22.15) или (22.16) К вЂ” тос Ясно, что работу А, можно вычислить также по формуле Аг= Кг Кс Если в формулу (22.10) ввести величины Е и Ео, то получится Е2 — Е2 + 1рс)2 (22.18) Эта формула выражает в релятивистской механике связь между импульсом частицы и ее полной энергией. Она справедлива не только для отдельных частиц, но и для систем, состоящих из нескольких частиц.
Под то и Ео следует понимать массу и полную энергию такой системы в системе отсчета, относительно которой она покоится. Формула (22.16) дает выражение для кинетической энергии в релятивистской механике. При медленных движениях она переходит в привычную формулу (22.8). Действительно, пользуясь формулой бинома Ньютона, может написать — 1 в 2 †1 2+8 .+" Когда иг/сг«1, можно оборвать это разложение на втором члене. Тогда формула (22.16) перейдет в формулу (22.8).
5. В атомной физике удобной единицей энергии является электронвольт (эВ). Это есть энергия, приобретаемая электроном в электрическом поле при прохождении разности потенциалов в один вольт: 1 эВ = 1,602 10 '2 зрг. Употребляется также килоэлектронвольт (1 кэВ = 1000 эВ). В ядерной физике, а также в ускорительной технике употребляются более крупные единицы: мегаэлектронвольт (1 МЭВ = 10" зВ), гигаэлектронвольт (1 ГЭВ = 10о эВ) и гпераэлектронвольт (1 ТэВ = 134 (гл. гу РАБОТА и энеРГия = 10'2 эВ).
Энергия покоя для электрона и протона соответственно равна: т,),с2 = 0,511 МЭВ, т,)„с2 = 938 МэВ. Если полная релятивистская энергия части!(и Е велика по сравнению с ее энергией покоя Ео= тост, то говорят о движении с ультрарелятивистскилги скоростями. Такие скорости получаются в ускорителях, они встречаются также в космических лучах. Зная энергию ультрарелятивистской частицы, можно вычислить и ее скорость. Гочнсс, можно вычислить не саму скорость частицы (для этого недостаточна точность, с которой известна скорость света с), а разность между этой скоростью и скоростью света в вакууме.
С этой целью перепишем формулу (22.12) в виде г "ч Е= Ь! — ч (с .„/,э г Отсюда получаем Е (с+ в) (с — о) = !не~ = Е2!,ст. Так как скорость о близка к с, то во втором множителе с+ ! величину о можно заменить на с. В результате получится (22.19) г 2Е~ Для протонов с энергией Е = 10 ГэВ получаем — = —., = 0,0044.
с — ч оязз~ 2 !О Для электронов с энергией Е = ! Гэ — оэп 2 г 2!О' В космических лучах регистрировались протоны с энергией 1Ото эВ = = 1Оц ГэВ. В этом случае ! 0-2! с т. е. скорость частицы тличается от скорости света всего на 3 10 н см!с. ЗАДАЧИ 1. Через неподвижный блок, массой которого можно пренебречь перекинута замкнутая тяжелая веревка массой М.
В начальный момент времени за точку веревки, расположенную между блокам и нижним заворотом ее, цепляется обезьяна массой т и начинает карабкаться вверх так, чтобы удержаться на неизменной высоте. Какую мошность Р должна для 135 Е 22! РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ шу лг ю Ъ! — вЧс' Ъ) — и' !с' (22.20> т лг + "' = сопз1. Ъ! эЧс Ъ 1 1— в )сг (22.21> Дифференцируя уравнение (22.20) с учетом (22.2!) и полагая в окончатель- ном результате т , = О, получим ьггг+ (гг — г,, )ьг = О. Ъ7 — РЧс' Ъ1 — РЧс' По релятивистскому закону сложения скоростей гг — е н ! — Рв „(с (22.22) где г я — скоросгь газовой струи относительно ракеты.
Исключая ггеш после несложных преобразований находим ав " дт 62 — сг сг гл ' Предполагая скорость гг постоянной и интегрируя, получим !(2,г (22.23) . —',,,', При выводе мой формулы предполагалось, что вся энергия и весь импульс сосредоточены в веществе. Энергия и импульс излучения все хге учитываются, хотя и частично. Действительно, часть излучения поглоша- этого развивать обезьяна? Через сколько времени она перестанет справляться со своей затеей, если максимальная мощность, которую она может развивать, равна Р .,? Отает. Р= й т=, Рм (тя)г М (гггя)г и ггс 2. Вывести формулу (21.6), являющуюся релятивистским обобщением формулы Пиолковского для движения ракеты.
Считать, что скорость ракеты и газовой струи направлены вдоль одной прямой. Решен ив. Решение основано на релятивистских законах импульса и энергии (релятивистской массы). Они нами были сформулированы. Кроме тонн требуется знать релялгненстсклй закон сложения скорослгег), который нами не формулировался. Читатель, желающий разобрать решение, приводимое ниже, должен обратиться к руководствам по теории относительности или принять па веру формулу (22.22), приводимую ниже. Пусть т и гг — масса покоя и скорость ракеты в произвольный момент времени (, а т, и н, — те же величины для газов, образовавшихся из топлива ракеты к этому моменту времени.
Так как газы, уже покинувшие ракету, не оказывают влияния на се движение, то можно принять гп, = О. Однако газы непрерывно образуются, так что ьгш, ~ О. На основании закона сохранения импульса и энергии (релятивистской массы) 13б [ГЛ. >т РАБОТА И ЭНЕРГИЯ ется газами, образующимися при сгорании топлива ракеты. За счет этого масса покоя газов несколько увеличивается. В результате некоторая часть энергии и импульса излучения переходит к веществу и учитывается при вычислении.
3. Импульс излучения рии связан с его энергией Юи, соотношением Используя это соотношение, найти,как изменится формула (22.23) для фотонной ракеты. Решен не. Изменения полной энергии и импульса ракеты (с точностью до знака) равны энергии и импульсу образовавшегося излучения, т. е. >по — с = би и> и — — ил = Р„. Значит, ! и> 2 17>ое >по с > = силл >'ризл = О 'и'! — ))> ) и>Ъ вЂ” ри Отсюда (22.24) >и 11 — б Формально эта формула является частным случаем формулы (22.23) при е и=г. 4.
Определить мощность фотонной ракеты, которой сообщается ускорение а = 10 м!ст. Р е ш е н и е. Изменение импульса ракеты за время >(! равно >Ио >((>л> ) = т >й +» >!ш, где ш = — релятивистская масса ракеты. Оно ч'): би компенсируется изменением импульса излучения: >и а>н + и О(7И = >(ри,л По закону сохранения энергии сз >(л> + >Ю„„= О. Для излучения о(>Би, = ори, Исключая >(р„„получим >(8 и> о>н+ (1 — р). с Мощность ракеты (Е, >ига ю,са Р— Р> (1 ))2)л> На старте (3 = О, Р [МВт] = и>оса = ЗОООто, З гд кингтичкскля энвггия в глзличных систвмях отсчвта 127 где те — масса в килограммах. Удельная мощность излучения, т.
е. мощ- ность, требуемая для ускорения одного килограмма ракеты, равна мощности нескольких тысяч крупных электростанций. 823. СВЯЗЬ МЕЖДУ КИНЕТИЧЕСКИМИ ЭНЕРГИЯМИ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА. ТЕОРЕМА КЕНИГА или К = К'+ -,' Рз+ (р У), (23.1) где р' = ту' — импульс материальной точки в системе 5'. Формула (23.1) справедлива и для произвольной системы материальных точек. Чтобы убедиться в этом, достаточно написать соотношение (23.1) для каждой материальной точки системы, а затем просуммировать по всем точкам. Тогда получится снова формула (23.1), в которой под р' надо понимать импульс всей системы .чотериальных точек в системе отсчета 5', т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
