Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Если у = »(х) — уравнение синусоиды, то в вершинах»' = О, и радиус кривизны в этих точках можно вычислить по формуле 1гй = 1»" !. Имея все 2лх это в виду и записав уравнение синусоиды у = А сйп (амплитуда А и 1 пространственный период) постоянны), нетрудно получить условие, прн когором заноса не будет: < — ' ~~. 2л А' где н — коэффициент трения, я — ускорение свободного падения.
6. Решить ту же задачу, предполагая, что автомобиль движется равномерно по эллипсу с полуосями А и В. В каких точках траектории нормальное ускорение автомобиля достигает максимального и минимального значений? Найти эти значения. Ав лв' Ответ.
а,= —,, а „„= —,. Заноса не будет при условии г <В т~ —. )А' 7. Предполагая, что обе пружины на рис. 30 одинаковы, найти для тела А размеры области застоя. Ответ. Центр основания тела А может находиться в равновесии в любой точке в пределах области — Е-«. +й —, Р Р 22 " 2А' где Р— вес тела, р — коэффициент трения, к — жесткость пруткины (одной). За начало координат принят центр области застоя.
8. Парашютист совершает затяжной прыхгок. Считая массу парашютиста т равной 70 кг, найти установившиеся скорости его падения без парашюта и с раскрытым парашютом. Для человеческого тела при падении без парашюта коэффициент )гз = 2 г(см. При раскрытом парашюте этот коэффициент возрастает примерно в 100 раз, т. е. составляет приблизительно 200 г/см.
Р е ш е н и е. Установившаяся скорость падения найдется из условия, чтобы вес человека У = шя уравновешивался силой трения. Это дает ! тх !60 м/с без парашюта; =! '(6 м(с с раскрытым парашютом. ГЛАВА Н1 НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА ф 18. ИМПУЛЬС СИЛЫ И ИЗМЕНЕНИЕ ИМПУЛЬСА 1. Как было показано в з 12, производная импульса р системы материальных точек по времени определяется уравнением ЕЕ Рыг, (18.1) аг где Рьн — геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на систему. Внутренние силы не входят в это уравнение из-за третьего закона Ньютона.
В случае одной материальной точки уравнение (18.1) переходит в уравнение, выражаюшее второй закон Ньютона, Допустим, что сила Р1':~ постоянна, Тогда из уравнения (18,1) следует Р Ро=Р ~(Г Го) (18.2) где векторы р и ро означают импульсы системы в моменты времени г и го соответственно. Произведение постоянной силы Роо на время ее действия называется импульсом силы за то же время.
Это понятие нельзя смешивать с ранее введенной величиной р = т,ч, + ... + тьвь, которая называется импульсом системы лгатериальиых точек или иятульсом тела. Недоразумений возникнуть не может, так как слово «импульс» отдельно нигде встречаться не будет. Оно будет входить в комбинации либо со словом «сила», либо со словом «тело» (или «материальная точка» и «система материальных точек»). Поэтому всякий раз будет ясно, о каком импульсе идет речь. Впрочем, понятие импульса силы будет встречаться сравнительно редко, 2. Соотношение (18.2) означает, что приращение импульса тела или системы тел равно импульсу геометрической суммы всех внеш- них сил, действуюших на систегиг гт г му.
Этот результат получен на- ми в предположении, что сила го В гг Рыг постоянна. Он может быть Рис. 31 обобшен и на тот случай, когда эта сила меняется во времени. Разделим промежуток времени г — го на более мелкие промежутки (1, — Го), (1 — Гг), ..., (1 — гь,) (рис. 31). Выберем эти промежутки !!з Е 1В! ИМПУЛЬС СИЛЫ И ИЗМЕНЕНИЕ ИМПУЛЬСА настолько малыми, чтобы на каждом из них силу Р<'! без большой ошибки можно было считать приблизительно постоянной.
Соответствующие значения силы Р<".~ на таких промежутках обозначим через Р1'1, ..., Р~;>. Тогда на основании соотношения (18.2) можно написать приближенно Р~ Ро = Р!ь (1~ 1о) Рз Р1 = Рз' (1г 11) р — р„, = Р~,"'(1 — 1„,), где р,, рм ..., р„, — импульсы системы в моменты времени , соответственно. Складывая эти равенства, получим р ро=Х Р А1 Е где использовано стандартное обозначение А1, =1„.
— 1,, последнее равенство является приближенным и не совсем определенным, поскольку значения внешней силы Р',", Р~', .„, Р';;> не фиксированы точно. Однако эта неопределенность устраняется и указанное равенство переходит в точное соотношение, если перейти к пределу, устремляя к нулю наибольший из промежутков времени Аг; при неизменной длине временного интервала ! — 1о. В результате такого предельного перехода получится р — р =!пп Х ~Р1ЫА1п А~ О, Как известно, предел, стоящий в правой части этого равенства, называется определенным интегралом функции РЫ1(1) в пределах от до 1: о 1 РЫ)(т) йт ья !1П1 Х Р(е)А1..
( Ай О, о Аргумент функции Р<"'>, по которому производится интегрирование, обозначен через т, чтобы не смешивать его с верхним пределом ин- теграла 1. Величина т называется переменной интегрирования. Зна- чение определенного интеграла при заданной подынтегральной функции определяется только значениями пределов интегрирования 1 о Таким образом, обобщением соотношения (18.2) является фор- мула 114 НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ ЗАКОНОВ НЬЮТОНА 1ГЛ. Ш Интеграл, стоящий в праной части этого равенства называется импульсом силы РИ1 за время от 1ь до Е Следовательно, и в случае силы, меняющейся во времени. приращение импульса системы материальных точек равно импульсу геометрической суммы всех действующих на нее внешних сиж Внутренние силы, как уже подчеркивалось выше, не влияют на изменение полного импульса системы, поскольку они всегда входят попарно и удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия.
3. Импульс, приобретаемый телом, зависит, таким образом, не только от силы, но и от продолжительности ее действия. Иллюстрацией этого может служить следующий простой опыт. Тяжелая гиря 1рис. 32) подвешена на нити, снизу к ней прикреплена такая же нить. Если медленно тянуть за нижнюю нить, то рвется верхняя нить. Причина ясна. Так как гиря практически все время находится в покое, разность натяжений нити Т, — Тз должна уравновешивать вес груза Р: Т, — Тз= Р.
Отсюда следу~т Т, > Т . Обозначим символом Т„максимальное натязкение, которое может выдержать нить, не разрываясь. Когда мы медленно тянем за нижнюю нить, то в неко- 1 тарый момент времени натяжение Т, достигает предельной величины Т . В этот момент натяжение нижней нити Тз еще меньше Тгс Поэтому нижняя нить остается Р целой, а верхняя рвется. Однако если быстро дернуть за нижнюю нить, то верхняя нить остается целой, а нижняя рвется.
Дело в том, что для разрыва верхней нити '13 ее необходимо растянуть на определенную длину. А для этого надо привести в движение гирю. Чтобы сообщить Рнс. Зг гире необходимое смещение, требуется конечное время, даже когда на нее действует большая сила. Быстро дергая за нижнюю нить, мы не успеваем сообщить гире достаточное смещение. В нижней нити возникает натяжение, превосходящее предельное Т„, в то время как верхняя нить еще не успевает растянуться, и ее натяжение практически остается неизменным. Поэтому и рвется нижняя нить. Опишем второй опыт, иллюстрирующий влияние продолжительности действия силы. Из ватманской бумаги вырезаются два одинаковых кольца с наружным диаметром около 20 см и внутренним диаметром около 15 ем. Кольца подвешиваются на двух горизонтальных металлических стержнях, зажатых в штативах. В кольца вставляется четырехугольная сосновая планка длиной 1 м с поперечным сечением 2 — 3 смз.
Расстояние между бумажными кольцами должно быть лишь немного меньше длины планки. Если плавно нажимать на середину планки, то одно из бумажных колец Еили оба вместе), рвется, а планка остается целой. Нанесем теперь по середине планки резкий сильный удар тяжелым металлическим стерж- 115 Е ы] ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ПЕНТГА МАСС нем. Планка ломается, а кольца остаются целыми.
Поразительным в этом опыте является не то, что ломается планка, — она переломилась бы и при отсутствии колец, а то, что остаются целыми бумажные кольца. й 19. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС В нерелятивистской механике, ввиду независимости массы от скорости, импульс системы р = тгчг+ тгчг+ ... может быть выражен через скорость ее центри масс.
Центром ласс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиус- вектор И которой выражается через радиусы-векторы г„гг, ... Материальных точек по формуле н11г1 ч' н'ггг Р " . (19. 1) где т = т, + тг+ ... — общая масса всей системы. Эту точку мы обычно будем обозначать буквой С.
Если продифференцировать выражение (19.1) по времени и умножить на т, то получится тИ т1Г1 + т2Г2 + или тУ т1У1+ тгуг+ ''' где Ч = Й вЂ” скорость центра масс системы. Таким образом, (19.2) р = гнт'. Подставив это выражение в формулу 118.1), получим т — = Р"1. ЫУ (19.3) Отсюда следует, что центр масс системы движется как литериальная точки, масса которой равна суммарной миссе всей системы, и действуюшая сила — геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Этот результат называется теоремой о движении центри масс. Примером может служить движение снаряда по параболе в безвоздушном пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
