Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Можно показать, что для однозначного решения этих уравнений надо задать 2йг векторных или б)тг числовых величин, определяющих начальные значения координат и скоростей материальных точек системы. ЗАДАЧА Тело брошено вверх под углом а к горизонту с начальной скоростью тв. Исследовать его движения, пренебрегая сопротивлением воздуха. Найти уравнение траектории, дальность полета и максимальную высоту подъема, считая земную поверхность горизонтальной.
При каком угле а дальность полета максимальна? Р е ш е н и е. Точку земной поверхности, откуда брошено тело, примем за начало координат (гз = О). Тогда, как видно из (14.4), движение будет происходить в вертикальной плоскости, в которой лежат векторы я и тв. Примем ее за координатную плоскость ХУ, направив ось Х шризонтально в сторону движения, а ось У вЂ” вертикально вверх.
Запишем уравнение (14.4) в проекциях на координатные оси, в,=носова, в =вез!па — ят, х=оо(сова, у=во(шла д~. г Ут 2 Исключая из последних двух уравнений время (, найдем уравнение траектории у = х (К а хх' 2в, 'соз' а Это уравнение параболы. Отсюда находим дальность полета ва х= — 'з!и 2а х и максимальную высоту поднятия в Ив'а 2х Максимальная дальность достигается при а = 45' и равна вв х х ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ й 15.
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕПЬНОСТИ ГАПИЛЕЯ 1. Уравнение, выражающее закон Ньютона, та =Р, 97 (15.1) отчетливо показывает, что этот закон не может быть справедлив в любой системе отчета, Действительно, ускорение а, вообще говоря, имеет разные значения в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга с ускорением. Сила же Р не может зависеть от выбора системы отсчета, так как она определяется только взаимными располохсениями и относительными скоростями материальных точек системы, а эти величины согласно нерелятивистской кинематике от выбора системы отсчета не зависят.
Отсюда следует, что если второй закон Ньютона справедлив в какой-либо системе отсчета, то он не может оставаться справедливым в другой системе отсчета, движущейся относительно первой с ускорением. 2. Допустим, что система отсчета 5 инерциальна. Рассмотрим вторую систему отсчета 5', движушуюся относительно первой поступательно с постоянной скоростью У. Пусть известно движение материальной точки в одной из этих систем, например в системе 5. Как найти движение той же точки в системе 5'? Задача в дорелятивистской ее постановке сводится к нахождению формул, выражающих координаты х', у', з' движущейся точки в системе 5' через ее координаты х, у, з в системе 5 в один и тот же момент времени.
Начало координат и направление координатных осей можно выбрать произвольно как в системе 5, так и в системе 5'. Если координатные системы неподвижны друг относительно друга и отличаются друг от друга только положениями начал и направлениями координатных осей, то преобразование координат есть чисто геометрическая задача. Ее решение известно из аналитической геометрии.
Остается только выяснить, что нового вносит в вопрос о преобразовании координат движение одной системы отсчета относительно другой? Для простоты можно принять, что координатные оси Х', г', х,' соответственно параллельны координатным осям Х, 1', У и что в начальный момент времени ~ =0 начало О' совмещается с началом О. Кроме того, можно считать, что скорость У параллельна оси Х. Лри этих условиях ось Х' все время будет совпадать с осью Х. Такие упрощения в постановке задачи не лишают ее общности, поскольку переход к обшим формулам может быть совершенен дополнительным переносом начал координат и поворотом координатных осей. Пусть в момент времени 1 движущаяся точка находится в положении М (рис. 26).
Тогда ОМ = ОО' + О'М. За время ~ начало ко- ~гл. и ЗАКОНЫ НЬЮТОНА ординат системы 5' переходит из положения О в положение О', причем ОО' = Уг. Ввиду этого предыдущее соотношение принимает вид г= г'+ Уг', (15.2) где г = ОМ, г' = О'М вЂ” радиусы-векторы движущейся точки в системах Б и 5' соответственно. Запишем соотношение (15.2) в проекциях на координатные оси: х = х' + Уг', у = у', (15.3) Формулы обратного преобразования имеют вид г' = г — У1, (15.4) или в координатной форме (15.5) х=хуг,у=у,з=з,1=К Эти формулы и дают решение поставленной задачи.
Онн называются преобразованием 1'алилея. Мы присоединили к формулам преобразования координат дополнительную формулу 1' = г, чтобы явно отметить, что в нерелятивистской кинематике время считается аб- солютным, а потому не преобразуется. У У ы С точки зрения «здравого смысла» преобразование Галилея кажется самоочевидным.
Однако в основе его выг г' вода лежит предположение дореляти- вистской кинематики об абсолютности О О' длин и промежутков времени. Абсо- лютность времени явно отмечена в 3»' Ч ' уравнении 1= 1', При выводе остальных формул использовано предположение об абсолютности длин. Действительно, формулы (15.2), (15,3) и (15.4) были бы самоочевидными, если бы радиусы-векторы г и г', а с ними и все координаты х, у, з, х', у, з' измерялись в одной и той же системе отсчета, например 5. Но в действительности формулы предполагают, что «нештрихованные» величины г, х, у, з измеряются в системе 5, а «штрихованные» г', х', у', з' — в системе 5'. По этой причине при выводе формул преобразования Галилея без предположения абсолютности расстояний и промежутков времени обойтись нельзя. Релятивистская физика отказалась от такой абсолютности. Преобразование Галилея она заменила преобразованием Лорении (по имени ирландского физика-теоретика Лоренца (1853 — 1928)).
Этот вопрос будет подробно рассмотрен при изложении теории относительности (см. т.!У). Сейчас достаточно отметить, что преобразование Галилея является предельным случаем преобразования Лоренца и получается из последнего, когда скорость 1' пренебрежимо мала по срав- 3 Г51 ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ нению со скоростью света в вакууме. При изучении «медленных движений» (Г усз«1) можно пользоваться преобразованием Галилея. В случае «быстрых движений» этого делать нельзя. 3. Дифференцируя соотношение (15.2) по времени ц получим — = — +Ч= —,+Ч сс г сс'г' сСГ' ссс ссс сгс' или (15.6) тс =ч'+ Ч, где т — скорость точки в системе 5, а т' — в системе 5'. Эта формула выражает нерелятивистский закон сложения скоростей (в физическом смысле).
Оиа выведена здесь в предположении, что скорость Ч постоянна. Но формула верна и в случае, когда скорость Ч не постоянна. Однако для целей настоящего параграфа достаточно скорость Ч считать величиной постоянной. Дифференцируя второй раз в предположении постоянства Ч, получим д» д» д» ссг сй ссг' ' а =а'. (15.7) Здесь а — ускорение точки в системе 5, а а' — ускорение той же точки в системе 5'. Таким образом, ускорение в обеих системах отсчета одно и то же. Говорят, что ускорение инвириантно относительно преобразования Галилея.
Свободная материальная точка движется в системе 5 без ускорения, так как по предположению система 5 инерциальна. Формула (15.7) показывает, что ее движение в системе 5' будет также неускоренньгм. Следовательно, система 5' — тоже инерциальная система отсчета. Таким образом, система отсчета, двигк1пссагсся прямолинейно и равномерно относительно инерссиссльной системы, сама является инерциальной систелсой отсчета. Если существует хотя бы одна инерциальная система отсчета, то существует и бесконечное множество инерциальных систем, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Сила является функцией только инвариантных величин: разностей координат и разностей скоростей взаимодействующих материальных точек.
Поэтому она не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой: Р = Р'. Иначе говоря, гила инварианта относительно преобризования Галилея. Так как ускорение инвариантно: а = а', то из уравнения (15.1) следует та' = Р'. 1оо ~гл. и зхконы ньютонл Это уравнение выражает второй закон Ньютона в «штрихованной» системе отсчета Б'. Оно имеет такой же вид, что и в «нештрихованной» системе 5. Уравнения, остающиеся неизменными при переходе от одной системы отсчета к другой, называются инвариант- ными. Таким образом, уравнения механики Ньн>тона инвариантны относительно преобразования Галилея.
Это утверждение называется принципом относительности Галилея. 4. Принцип относительности Галилея утверждает полное равноправие всех инерциальных систем отсчета. Значит ли зто, что одно и то же движение выглядит одинаково во всех инерциальных системах отсчета? Конечно, нет. Движение тела, свалившегося с полки равномерно движущегося вагона, является прямолинейным, если его рассматривать относительно вагона, Но то же движение происходит по параболе в системе отсчета, связанной с полотном железной дороги, хотя законы механики Ньютона одинаковы в обеих системах отсчета. Движение выглядит по-разному потому, что законы Ньютона выражаютсл ди44еренциальными уравнениями, а таких уравнений недостаточно, чтобы полностью определить движение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
