Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Здесь Р однозначно определяется свойствами рассматриваемой материальной точки и окружающих ее тел, а также положениями и скоростями этих тел относительно материальной точки. Величина Р называется силой, действующей на рассматриваемую материальную точку. В частных случаях сила Р может определяться одним только положением материальной точки или только одной ее скоростью, но по самому смыслу в механике Ньютона она не может явно зависеть от ускорения этой точки. Очевидно, сшса Р есть вектор, поскольку она равна производной вектора р по времени.

Отсюда следует, что сложение сил подчиняется правилу параллелограмма. Таким образом, в инерииальной системе отсчета производная импульса материальной точки по времени равна действующей на нее силе. Это утверждение называется вторым законом Ньютона, а соответствующие ему уравнения — уравнениями движения материальной точки. В случае системы материальных точек уравнения движения должны быть написаны для каждой из них и учтено их взаимодействие между собой. Следует, однако, иметь в виду, что второй закон Ньютона только тогда имеет смысл закона, а не определения понятия силы, когда в нем сила Р определена не по сообщаемому ей действию 1Т, е.

не по ускорению или изменению импульса тела), а другим независимым способом (именно, по расположению и двихсению окружающих тел). Конечно, если движение тела 1материальной точки) известно, т. е. известны ее координаты как функции времени 7, то простым дифференцированием по 7 можно определить величину действующей силы как функцию того же времени. Однако природа силы может считаться установленной только тогда, когда будет выяснено, как эта сила зависит от состояния 1положения и скоростей) окружающих тел. 2.

Приведем простейший пример, ограничиваясь ради простоты одномерным движением материальной точки. Подвесим тело на спиральной пружине (рис. 21). Когда система успокоится, немного оттянем тело вниз из положения равновесия, а затем отпустим. Возникнут колебания т вверх и вниз. При подходящих параметрах системы они будут затухать слабо. Тело успеет совершить несколько десятков колебаний, прежде чем колебания заметно затухнут. Рвс з! Мгновенное положение тела можно характеризовать одной координатой х — смещением тела из положения равновесия. Для определения функции х = х17) можно через малые промежутки вре- ~гл, и ЗАКОНЫ НЬЮТОНА менн фотографировать тело на кинопленку, а затем обработать фотографию н построить график х = х(/).

Можно поступить н как-ннбудь иначе. Для слабо затухающих колебаний график почти не отличается от синусоиды (рнс. 22) и представляется уравнением х= Асоз —, (11.4) т' где А и Т вЂ” постоянные, называемые гьчплитудой и периодом колебаний. Дважды дифференцируя это выражение, находим скорость и ускорение: ~г 2кЛ . 2хС .. /2х1 2хс х= — " з1п —,, х= — ~ —,~ Асоз — ' т т ' ' ~т) Т Сравнивая, последнее выражение с (11.4), получаем или после умножения на массу тела тх = — кх, (11.5) где введено обозначение (11.6) Сравнивая (11.5) с (1!.3), находим силу г" = — /сх. (11.7) Мы видим, что величина г зависит только от удлинения пружины х — единственного переменного параметра, определяющего положения внешних тел, оказывающих действие на рассматриваемое тело.

Если к пружине подвесить тело другой массы, то изменится и период колебаний Т. Однако опыт показывает, что отношение ш/Тз, а с ним и коэффициент /с остаются без изменения. Значит, сила г определяется только растяжением прух жины и совершенно не зависит от того, каким телом это растяже- О ние вызвано. Эти опытные факты могут служить подтверждением второго закона Ньютона. СледоРис. 22 вательно, можно ожидать, что если, кроме пружины, на тело больше ничто не действует, то его ускорение всегда будет равно /сх/гп и направлено вдоль оси пружины в сторону, противоположную ее удлинению х.

Оно совершенно не зависит от того, как движется тело: прямолинейно, по кругу или как-нибудь иначе. Это предположение также подтверждается опытами. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СИЛА тя 9 н1 Одновременно мы видим, что сила натяжения пружины г пропорциональна ее удлиненщо х. Как показали более точные исследования, этот результат является приближенным. Им можно пользоваться, когда удлинение пружины не очень велико.

Он называется законом Гука (по имени английского физика Роберта Гука (1635— 1703)). Величина й называется жесткостью пружины (коэффициентом жесткости). Для конкретной пружины жесткость постоянна, но может меняться от пружины к пружине. Необходимо сделать два замечания относительно приведенного примера.

Во-первых, силу г можно было бы найти исключением времени из двух уравнений (11.4). Таким путем величина Р была бы выражена как функция координаты х и скорости х. Уравнение (1!.2), конечно, было бы удовлетворено, но так найденное выражение для р содержало бы в качестве параметра также амплитуду Л, и чтобы уравнение (11.2) удовлетворялось, амплитуда Л должна иметь уже определенное значение.

При той же прухсине и массе т, но другой амплитуде Л уравнение (11.2) не удовлетворялось бы. Это значит, что при заданных й и т и найденном значении Р уравнение (11.2) описывало бы только виол- не определенный частньгй вид движения. Между тем требуется получить такое выражение для р, которое не содержало бы параметра Л. Тогда уравнение (11.2) будет описывать все движения, возмоягные при заданных к и т (т.

е. движения с произвольной амплитудой Л). Во-вторых, каждой силе Г соответствует определенное удлинение пружины. Получается проградуированная пружина, которую можно использовать для измерения сил в различных случаях. Описанный способ градуировки, основанный на втором законе Ньютона, принципиально возможен, но практически для градуировки пружины к ней подвешивают грузы различного веса н измеряют соответствующие удлинения. Нет необходимости описывать, как этим способом градунруются различные динамометры и как ими пользуются. Важно подчеркнуть, что прн наличии дннамометра можно независимо измерить силу и ускорение и проверить справедливость второго закона Ньютона.

Опыт показывает, что колебания тела, подвешенного на пружине, постепенно затухают н в конце концов прекращаются. Отсюда следует, что уравнение движения (11.5) является приближенным. Оказывается, что тело, движущееся в газообразной нлн жидкой среде, встречает сопротивление, зависящее от скорости тела. Если скорость тела (относительно окружающей среды) не очень велика, то эта сила приблизительно пропорциональна первой степени скорости. Так, в случае шара на пружине затухание его колебаний в газе довольно точно описывается уравнением (11.8) тх = — кх — Ьх, во 1гл.

и звконы ньютонл где Ь вЂ” постоянный коэффициент, зависящей от размеров шара н рода газа, в котором он колеблется. Здесь мы имеем пример силы, которая зависит не только от положения, но и от скорости шара. 3. Для решения задач на движение материальных точек и их систем нужны дифференциальньге уравнения движения. Способ получения таких уравнений не имеет значения.

В частности, их можно было бы получать и строить всю механику без введения понятия силы, При рассмотрении различных динамических задач механика ставит и решает два вопроса: 1) по заданному движению тел вычислить силы, действующие на них; 2) по заданным силам определить движение тел. Задачи первого типа сравнительно просты. Они сводятся к вычислению ускорений материальных точек, из которых состоит система. Примером таких задач может служить разобранная нами задача о силе, действующей на колеблющееся тело, подвешенное на пружине. Задачи второго типа много сложнее и являются основными в механике.

Здесь прежде всего надо написать уравнение движения для каждой материальной точки, входящей в систему. Это сводится к отысканию сил как функций координат и скоростей взаимодействующих точек. В результате получится система дифференциальных уравнений, решение которой (при определенных начальных условиях) даст полное представление о всех деталях движения. Таким образом, при решении таких задач требуется интегрирование дифферендаальных уравнений, а это значительно сложнее дифференцирования.

Могут быть и задачи смешанного типа. Сюда относятся, например, такие задачи, когда на движение системы наложены определенные ограничения, например движущаяся точка должна находиться на какой-то линии или поверхности. Такого рода ограничения называются связями. Действие таких линий или поверхностей, как и всяких связей, ограничивающих свободу движения, сводится к тому, что они воздействуют на движущиеся тела с определенными силами, называемыми реикдиями связей.

Во всех подобных случаях задача сводится не только к определению движения каждой материальной точки системы, но и к нахождению реакций связей. 4. Остановимся на вопросе о соотношении между первым и вторым законами Ньютона. Если в уравнении (11.1) положить Р = О, Ый то получится = О. Отсюда следует, что р = сопз1, т. е. импульс, а аг с ним и скорость свободно движущейся материальной точки постоянны. Таким образом, формально первый закон Ньютона является следствием второго. Почему же тогда он выделяется в самостоятельный закон? Дело в том, что уравнение (11.1), выражающее второй закон Ньютона, только тогда имеет смысл, когда указана система отсчета, в которой оно справедливо.

Выделить же такую систему 1или такие системы) отсчета позволяет первый закон. Он утверждает, что существует система отсчета, в которой свободная мате- ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА. СИЛА З1 ! И1 риальная точка движется без ускорения. В такой системе отсчета (и в этом состоит второй закон) движение всякой материальной точки подчиняется уравнению (1!.1).

Характеристики

Список файлов книги