Д.В. Сивухин - Общий курс физики (механика) (1113370), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. продолжает оставаться перпендикулярной к плоскости крыла, так как силы взаимодействия самолета с окружающей средой зависят лишь от относительною движения самолета и среды. й 12. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА 1. Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих материальных точек. В этом случае справедлив закон сохранения импульса р, + рз = сопап Дифференцируя это соотношение по времени, получим Р~+Рг=н нли, на основании второго закона Ньютона (11.1), Р = — Р (12.1) где Р, и Рз — силы, с которыми рассматриваемые материальные точки действуют друг на друга. Привлечем сюда опытный факт, согласно которому силы Р, н Рз направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие точки.
Тогда мы придем к третьему закону Ньютона: Силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположно направлены и действунтт вдоль прямой, соединяющей эти материальные пточки. Одну из сил, Р, или Рм согласно Ньютону, иногда называют действием, а другую — противодействием, и формулируют третий закон следующим образом. Всякому действию соответпстпвует равное и противополо:кна направленное противодействие. Следует, однако, заметить, что «действие» по своей физической природе ничем не отличается от «противодействия». Если действующая сила обусловлена деформацией, всемирным тяготением или наличием электрического поля, то и противодействующая сила обусловлена тем же самым. Так, тяжелое тело, лежащее на столе, давит на стол, испытывая со стороны стола противоположно направленное противодавление.
Действие — давление камня на стол — обусловлено деформацией камня, противодействие— давление стола на камень — обусловлено деформацией стола. В основе подразделения снл на «действующне» и «противодействующие» лежит представление об активных телах, производящих действие, и пассивных телах, оказывающих противодействие. з 1д тРетий 3АкОн нькэтонА и 3АкОн сОхРАнения импульсА з5 Так, если лошадь тянет телегу, то активным телом, производящим действие, будет лошадь, а пассивным телом, оказывающим противодействие, — телега. Однако подразделение тел на активные и пассивные можно провести далеко не всегда. Например, когда Солнце и планета притягиваются друг к другу силами всемирного тяготения, то в этом взаимодействии они выступают совершенно равноправно, и нельзя указать, какое из этих взаимодействующих тел является активным, а какое пассивным. Какую из сил Р, и Р2 назвать действием и какую противодействием— это в большинстве случаев вопрос соглашения.
2. Третий закон Ньютона мы сформулировали для замкнутой системы, состоящей из двух взаимодействующих материальных точек. Постулируем теперь его справедливость для системы из произвольного числа материальных точек. Мы исходим из представления, что и в этом случае взаимодействие сводится к силам попарного ввиимодвйетвил между материальными ~очками. Пусть Р22 — сила, с которой 1-я материальная точка действует на Й-ю, а Ры — сила, с которой Й-я точка действует на 2-ю. Третий закон утверждает, что обе эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие точки, причем Р22 = — Рьи В таком понимании третий закон Ньютона позволяет выполнить переход от .чеханики отдельной лчотериальлой точки к механике систелчы материальных точек.
В частности, он позволяет распространить закон сохранения импульса на случай системы произвольного числа и взаимодействующих материальных точек. Рассмотрим этот вопрос, а также другие связанные с ним важные вопросы. Силы, действующие на материальные точки системы, можно разделить на внутренние и внешние. Внутренние силы — это силы взаимодействия между материальными точками самой системы. Выше мы обозначили их символами Ры с ДвУмЯ инДексами 2 и й, которьге указьгвают, какие точки взаимодействуют.
Внешние силы— это такие силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела. Согласно третьему закону Ньютона Ры = — Ры, т. е. Ры + Ры = О, Отсюда следует, что геометрическая сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю. Запишем этот результат в виде соотношения Р1Н+Р~>+ „, +РН1=0, (12.2) снабдив каждую силу верхним индексом (2), который указывает, что речь идет о внутренних силах. Нижний индекс обозначает номер материальной точки, на которую действует сила.
Таким образом, Р1О, например, обозначает полную внутреннюю силу, действующую на первую материальную точку. Обозначим далее символами Р1"'1, Р~'1, ... внешние силы, действующие на материальные Зб (гл. и зьконы ньютонл точки системы. Тогда на основании второго закона Ньютона мож- но написать р1() + р)е) в( "ее р)!) + Р~е) в( Сложив почленно этн уравнения и приняв во внимание соотношение 112.2), найдем е + + + ) р(е) 1 р(е)+ +р(е) в Й вЂ” р(е) ш (12.3) где р — импульс всей системы, Р(' — равнодействующая всех внешних сил, действующих на нее. Таким образом, производная по времени от импульса системьс материальных точек равна геометрической сумл(е всех внешних сил, действующих на сис(нему. Внутренние силы исключаются третьим законом Ньютона. Уравнение (12.3) является обобщением соответствующего уравнения для одной материальной точки.
Допустим теперь, что геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю 1это имеет место, например, для замкнутой системы). фЯ Тогда = О. Производная постоянной величины равна нулю. Справ( ведливо и обратное утверждение: если производная некоторой величины равна нулю, то эта величина постоянна. Поэтому нз последнего уравнения следует, что р = сопзк Итак, если геоз(етрическая сумма внешних сил, действуи>щих ча систему, равна нулю, то импульс систеиы сохраняется., т.
е. пе меняется со временем. В частности, это имеет место, когда система замкнута. Допустим теперь, что Р(" ~ О, однако равна нулю проекция силы Р<е) на какое-либо направление, например на направление оси Х. Тогда нз уравнения (12.3) следует, что для этой проекции — ' = О, а в( потому рх = сонэ(. Таким образом, полный импульс системы не сохраняется, но сохраняется проекция импульса на направление оси Х. Например, импульс свободно падающего тела не может сохраняться, так как на тело действует вниз сила тяжести.
Под действием этой силы вертикальная составляющая импульса непрерывно изменяется. Однако горизонтальная составляющая импульса при свободном падении остается неизменной. 1Мы учитываем действие только силы тяжести и отвлекаемся от силы сопротивления воздуха и прочих сил.) З 1Д ТРЕТИЙ .ЗАКОН НЬЮТОНА И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА З7 3. Относительно приведенного вывода закона сохранения импульса надо сделать следующее замечание. Вывод предполагает, что материальные точки замкнутой системы взаимодействуют между собой попарно, и это взаимодействие подчиняется третьему закону Ньютона.
Для справедливости результата достаточно потребовать выполнения более слабого условия (!2.2). Достаточно, чтобы обращалась в нуль геометрическая сумма внутренних сил, действующих в системе, Соблюдение этого условия, как будет показано в й 38, является следствием весьма общего свойства пространства — его однородности, Возможно, что и это более слабое условие не является необходимым.
Возможно, что закон сохранения импульса останется справедливым даже в тех случаях, когда теряет смысл разделение системы на части и нельзя пользоваться представлением о силах взаимодействия между ними, а также другими представлениями и понятиями классической механики. Возможно, что такая ситуация встречается внутри атомных ядер или при превращениях «элементарных» частиц. Опыт показывает. что закон сохранения импульса, надлежащим образом обобщенный, являетсл Фундаментальным законом природы, не знан2и1им никаких исключений.
Однако в таком широком понимании он уже не может рассматриваться как следствие законов Ньютона. 4. В нашем изложении закон сохранения импульса для замкнутой системы из двух взаимодействующих материальных точек был постулирован. Его доказательством служил опыт. Это было сделано для того, чтобы ввести понятие массы. Но можно ввести это понятие иначе, а именно определить отношение масс сравниваемых тел по обратному отношению ускорений, сообщаемым им равными силами. Этот способ не требует предварительного измере>шя сил. Достаточно лишь располагать критерием равенства сил. Например, если на два тела последовательно подействовать одной и той же пружиной, растянутой на одну и ту же длину, то можно утверждать, что действующие на них силы одинаковьь В сущности, способ определения массьц использованной нами в й 1О, является частным случаем этого второго, более общего способа.
Он использует то обстоятельство, что два тела, приведенные во взаимодействие, подвергаются согласно третьему закону Ньютона воздействию снл, равных по модулю. Понятно, что если при определении массы не опираться на третий закон Ньютона, а пользоваться каким-либо другим независимым способом, то при доказательстве закона сохранения импульса не потребуется особо выделять случай двух взаимодействующих материальных точек.
И в этом случае закон сохранения импульса будет теоремой механики. Определение массы, принятое нами в й 10, обладает, однако, тем преимуществом, что оно не нуждается в указании дополнительного критерия, позволяющего судить о равенстве действующих сил. В общем случае такой критерий, не опирающийся на третий закон Ньютона, указать затруднительно. вв 1гл. и 3АкОны ньютонА 5. Иногда взаимодействие двух тел А и В осугдесгвляется посред- ством третьего тела. Тогда мы имеем дело с системой трех тел„и надо принимать во внимание уравнение движения этого третьего тела.
Между тем во многих случаях рассуждают так, как если бы этого третьего тела совсем не было. Выясним, когда такой способ рассуждения допустим и не приводит к г Ь1 гг ошибкам. Для этого рассмотрим следующим пример, Тела А и В связаны между г собой нерастяжимой нитью (рис. 23), На тело А действует Рис. 23 сила Р, натягивающая нить, вследствие чего оба тела А и В движутся с одним и тем же ускорением а, Обычно рассуждают следу- ющим образом. Обозначим через В, силу, с которой тело В действует на тело Л посредством натянутой нити, а через Р— противоположно направленную силу, с которой тело А действует на тело В, Тогда тва =  — Гн гпва = Вг, (12.4) где тв и лгв — массы тел А и В. По третьему закону Ньютона Р, = — Вг. Исключая В, и Гг, находим ускорение Е а= 'в 1 Ьв'в а затем силы В, и — Рг: и'в ми ь"'в Это рассуждение неполно и может привести к неправильному результату.
Из рассуждения выпало третье тело — нить, которая также движется ускоренно. Тела А и В не взаимодействуют непосредственно между собой. Они взаимодействуют с нишью, и третий закон Ньютона надо применять именно к таким взаимодействиям. Вот более подробное рассуждение, в котором учитывается ускорение, сообщаемое нити. В нем под В, и Гг следует понимать силы, с которыми на тела А и В действует натянутая нить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
